試議提高《解幾》解題速度的策略

漫談提高解幾解題速度的策略蘇州外國語學(xué)校 張錦成解析幾何就是運用坐標(biāo)法解決兩類基本問題：一類是求滿足給定條件的點的軌跡即曲線，通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求其方程也就是求曲線的方程；另一類是通過對曲線方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。高考中對于解析幾何要求較高，究竟“考什么、怎么考、考多難”，結(jié)合08 年課改后各省市及全國高考卷中的解析幾何題，可以看出高考中的解析幾何就是圍繞解析幾何的兩類基本問題來考查的，大部分學(xué)生覺得題難，有點讓人摸索不透，很多學(xué)生為其而煩。解幾題如果方法不當(dāng)，則很難實施解題，即便免強能解，也是運算量超大，讓人如臨大敵，因此提高解題技巧，優(yōu)化解題方法，就顯得尤為重要，現(xiàn)就解幾中常見的題型，強調(diào)幾個應(yīng)注意的策略： 一、.把向量條件數(shù)量化是解決以向量為背景的解析幾何問題的第一程序解析幾何在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想“數(shù)形結(jié)合”，它能有效的培養(yǎng)學(xué)生的分析、解決問題的能力，其中以向量與解幾的結(jié)合是數(shù)形結(jié)合的最佳載體，既有數(shù)的運算又有相應(yīng)的幾何意義。當(dāng)解析幾何問題中涉及到夾角、平行、垂直、共線、求動點軌跡等問題時可借助于向量進(jìn)行解決。要充分利用向量條件中的信息，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量，將向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，這樣復(fù)雜的問題就能簡單化，容易理解、便于解決。例1 設(shè)橢圓的左焦點為F，上頂點為A，過A與AF垂直的直線分別交橢圓C和x軸正半軸于P，Q兩點，且。 求橢圓C的離心率；OFAPQyx 若過A，Q，F(xiàn)三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程。【分析】：本題若通過直線方程來處理題設(shè)中的垂直，通過線段的長度來處理向量的關(guān)系，一定很煩；若是用向量處理垂直問題，設(shè)出相應(yīng)的點，用點的坐標(biāo)去表示向量，巧妙地將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，這樣會使問題簡單易解。詳解如下：解：設(shè)，則，得，設(shè)，由得：，由點P在橢圓上，得所以橢圓的離心率為。 由，所以又，所以的外接圓的圓心為于是C到直線的距離，則所以橢圓方程為二、認(rèn)清問題的本質(zhì)，把問題化歸徹底有些學(xué)生在處理問題的時候，不是不具備解析法的思想也不是沒有處理解幾問題應(yīng)該具備的計算、分析能力，而是沒有透過現(xiàn)象，認(rèn)清問題的本質(zhì)，或者說沒有讀懂題，就急于解題，這樣的解題，切不可取。此時一定要分析問題的中心是什么，是什么量決定了問題的可研究性，例2 （江蘇高考調(diào)研）已知在直角三角形中，若橢圓以、為焦點，且經(jīng)過點.(1)試建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若經(jīng)過左焦點的直線與橢圓交于、兩點，問是否存在不等于零的實數(shù)，滿足？若存在，求出實數(shù)的值 ， 若不存在，說明理由?！痉治觥浚涸擃}的第二問是對的探求問題，向量表達(dá)式的形的意義就是線段的中點、點、三點共線，即當(dāng)直線的斜率取一確定值時能保證上述條件，所以該問題應(yīng)該圍繞直線的斜率來討論，先確定的值然后再確定的值。有的同學(xué)沒有搞清問題的本質(zhì)，圍繞來做文章，那么這個問題的處理就進(jìn)了死胡同。解略。ABMxyOE例 3如圖所示,已知圓交x軸分別于A,B兩點,交y軸的負(fù)半軸于點M,過點M作圓E的弦MN.（）若弦MN所在直線的斜率為2,求弦MN的長；（）若弦MN的中點恰好落在x軸上,求弦MN所在直線的方程；（）設(shè)弦MN上一點P(不含端點)滿足成等比數(shù)列(其中O為坐標(biāo)原點),試探求的取值范圍.【分析】： 將三道小題都集中在圓的一條動弦上,同時考查了直線方程、圓的方程、平面向量的數(shù)量積、一元二次不等式、等比數(shù)列這五個C級知識點,另外還考查了直線與圓的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系等知識點.現(xiàn)在高考命題的趨勢就是在直線與圓內(nèi)尋找新的亮點.很多情況下,新意達(dá)到了,同時題目的難度也上去了。有的同學(xué)不懂該題第三問的意思不知如何下手，實際上點是動弦上的動點，就是圓內(nèi)任意一點，成等比數(shù)列，則又在一雙曲線上，即雙曲線在圓內(nèi)的部分就是的軌跡，這樣問題就好處理了。三、充分利用平面幾何知識簡化解題初中對“平幾”已作了深入研究，“解析幾何”首先以直線和圓作為研究對象，其目的是讓我們更易，更快，更深的掌握解析法。這部分內(nèi)容有著“承上啟下”的特點，“解析幾何”中往往會涉及初中平面幾何知識，在處理問題時，有時要走出解幾的思維模式，有機地運用平面幾何知識，能起到化敏為簡的功效。需要特別提醒的是：在用解析法研究直線與圓的過程中不要忽視它自身的幾何性質(zhì)。要擅于應(yīng)用它們的“幾何性質(zhì)”解題，在很多情況下“幾何性質(zhì)”顯得更為容易，方法顯得更為靈巧。例4（05浙江）如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線與x軸的交點為M，|MA1|A1F1|21求若點P在直線上運動，求F1PF2取最大值時點的坐標(biāo)A1F1MxyPF2A2Ol【分析】：該題如果從函數(shù)角度考慮，最終轉(zhuǎn)化為求正切函數(shù)的最大值 。略解如下：易求 準(zhǔn)線方程，不妨設(shè)點坐標(biāo)為當(dāng)時，；當(dāng)時，只需求的最大值即可,則當(dāng)且僅當(dāng)時，最大，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，最大。另法：根據(jù)圓的知識要保證最大，則以線段為弦的圓的半徑要最小，而點在直線上，故圓與直線又要相切，所以滿足上述兩條件的圓與直線的切點就是所求的點。由切割線定理知,所以則點坐標(biāo)為。用此方法解決下例就很方便。aCBOAPDl例5（09無錫一模）某人在一小斜坡上的P點處（坡高h(yuǎn)=10m）觀看對面一座大樓頂上的廣告畫，如圖所示，畫高BC=8m，畫所在的大樓高OB=22m，圖上所示的山坡坡面可視為直線，A為直線與水平地面的交點，OA=20m，與水平地面的夾角為，若點P在直線上，試問：距水平地面多高時，此人觀看廣告畫的視角最大？（不計此人身高）【分析】：該題當(dāng)然可以用例4的方法，借助于正切函數(shù)的單調(diào)性來處理，但同樣也可以用平面幾何的知識來處理。以為弦與直線相切的切點，就是此人應(yīng)該所處的位置。下面以解析法處理比較方便。具體過程略。四、形成幾個條件反射1.當(dāng)有點在曲線上的條件時，要注意該點的兩重性，一是點滿足曲線的定義，二是點坐標(biāo)滿足曲線的方程。圓錐曲線定義揭示了它的本質(zhì)的屬性，利用定義解題，是最基本的方法。圓錐曲線中的許多問題，是直接由定義延伸或轉(zhuǎn)化而來的，旨在考查學(xué)生對重要概念的深層次理解以及靈活運用的能力，巧用定義結(jié)合圖形解題，有利于洞察數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系，是一種簡潔的思維形式，常?？墒盏绞掳牍Ρ兜男Ч?。由于圓錐曲線是用“距離”來定義的，所以便于運用比例的性質(zhì)來建立數(shù)量關(guān)系，結(jié)合相關(guān)幾何背景，利用定比將線段轉(zhuǎn)移，并經(jīng)過比例運算，從而確定相關(guān)的幾何量。例6 若橢圓的左準(zhǔn)線為，左、右焦點分別為，拋物線的準(zhǔn)線也為，焦點為，點為和的一個交點，則 .【分析】：設(shè)到的距離為，在上則那么MPF1F2QOxy例7.已知橢圓的左右焦點分別為，其半焦距為，圓的方程為。（1）若是圓上的任意一點，求證：為定值；（2）若橢圓經(jīng)過圓上的一點且，求橢圓的離心率；（3）在（2）的條件下，若（O為坐標(biāo)原點），求圓的方程。【分析】：（1）如果一動點到兩定點的距離之比是非1的常數(shù)，那么動點的軌跡是阿波羅圓。顯然是定值。（2）求離心率就是再找一A個關(guān)于的關(guān)系，而根據(jù)點的雙重屬性結(jié)合圓與橢圓的定義，易知，而，根據(jù)余弦定理，可以求出離心是，那么。(3) 這一小題的解法比較多，可以說從不同的角度分析，就有不同的方法。第一種思路是緊抓點的坐標(biāo)滿足曲線的方程，由點的雙重屬性，可以直接求出點的坐標(biāo)（用c表示），再由兩點之間的距離公式求出c，就可得到圓的方程。但這種方法涉及解方程組，計算比較繁一點；第二種思路是圍繞橢圓的第二定義，求出點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，設(shè)點坐標(biāo)為，過點作左準(zhǔn)線的垂線垂足為，從而解得，另一途徑是由，解得，進(jìn)而求出圓的方程；第三種思路是根據(jù)向量的數(shù)量積來處理，兩邊平方，得，求得。所以圓的方程是。2當(dāng)直線經(jīng)過圓錐曲線的焦點時，注意這條直線的一些特殊性質(zhì)。例8（09南通調(diào)研） 拋物線的焦點為F，在拋物線上，且存在實數(shù)，使0，（1）求直線AB的方程；（2）求AOB的外接圓的方程【分析】：本題主要考查向量、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識，要求學(xué)生靈活運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程求圓的方程，理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，也可求出交點坐標(biāo)關(guān)注弦長公式：，拋物線的焦點弦長為關(guān)鍵是要抓住表達(dá)式的幾何意義、三點共線解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，A，B，F(xiàn)三點共線由拋物線的定義，得|= 設(shè)直線AB：，而由得。|= 從而，故直線AB的方程為，即。（2）由 求得A（4，4），B（，1）設(shè)AOB的外接圓方程為，則 解得 故AOB的外接圓的方程為五、涉及計算的時候要細(xì)心、要有信心，更要注意數(shù)據(jù)的處理方式解析幾何第一步是檢查框架，先居高臨下，站在高處看這個題，然后再考慮每一步去實施，具體的就是計算。解析幾何計算量很大，即使你不能完全做出這個題，只要你踏踏實實按照步驟來做，你就能得步驟分。如果能頑強解出一兩個題出來，你的自信心就出來了。如果計算能力不過關(guān)。這個時候就得反復(fù)練習(xí)，做一遍不行，做兩遍，做兩遍不行做三遍，一定要把題做出來，只有做出來，你才會感覺到里邊有很多你發(fā)現(xiàn)不了的問題，你才知道有很多你欠缺的問題。然后你知道問題在哪兒了，信心也就足了。平時多練習(xí)，最后加上細(xì)心，在高考中解析幾何一定可以得高分。 例9（福建文科22）如圖，橢圓（ab0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.（）求橢圓的方程；（）若為垂直于軸的動弦，直線：與軸交于點，直線與交于點求證：點恒在橢圓上；【分析】：本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡方程等基本知識，考查運算能力。該題對數(shù)學(xué)思維能力的要求相對較低，而對計算能力要求較高，對學(xué)生而言只要細(xì)心計算就可以解決問題。（1）解略 ()解如下由題意得F(1,0),N(4,0).設(shè)A(m,n),則B(m,-n)(n0),=1. AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.設(shè)M(x0,y0),則有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, n(x0-4)+(m-4)y0=0, 由，得x0=.所以點M恒在橢圓G上。解析幾何問題的類型很多，解決的方