學(xué)科教育論文-函數(shù)概念的發(fā)展與比較.doc

學(xué)科教育論文-函數(shù)概念的發(fā)展與比較摘要：函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)重要概念之一，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的。本文從自17世紀(jì)下半葉到現(xiàn)在300年來函數(shù)概念的縱向歷史研究，以及中西方幾種不同課程觀下函數(shù)概念的橫向比較入手，對函數(shù)概念的教學(xué)方面提出一些觀點與看法。關(guān)鍵詞：函數(shù)函數(shù)概念數(shù)學(xué)教學(xué)函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從集合、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展。但正是由于函數(shù)概念的抽象性與層次性，學(xué)生往往不習(xí)慣用集合、對應(yīng)的觀點去解釋函數(shù)關(guān)系，缺乏用函數(shù)思想分析問題和解決問題的能力。本文擬通過對函數(shù)概念的發(fā)展與比較的研究，對函數(shù)概念的教學(xué)進行一些探索。1、函數(shù)概念的縱向發(fā)展11早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù)十七世紀(jì)伽俐略(GGalileo，意，15641642)在兩門新科學(xué)一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，15961650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。12十八世紀(jì)函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰貝努利(BernoulliJohann，瑞，16671748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。18世紀(jì)中葉歐拉(LEuler，瑞，17071783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。13十九世紀(jì)函數(shù)概念對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1822年傅里葉(Fourier，法，17681830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認(rèn)識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，17891857)從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時指出，雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達式，不過他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學(xué)家狄利克雷。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859)認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！钡依死椎暮瘮?shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。等到康托爾(Cantor，德，18451918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。14現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù)1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合論綱要中用“序偶”來定義函數(shù)。其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”、“對應(yīng)”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合a，b，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。函數(shù)概念的定義經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，20世紀(jì)40年代，物理學(xué)研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac函數(shù)，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、測度及以上所述的Dirac函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來。因此，隨著以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會繼續(xù)擴展。2、函數(shù)概念的橫向比較函數(shù)概念，作為世界各國學(xué)生必修的內(nèi)容，各國對其分配設(shè)置、處理方式不盡相同。下圖對中國與各個西方國家的函數(shù)概念作一橫向比較：函數(shù)概念引入學(xué)習(xí)深化的過程比較中國初三時引入函數(shù)概念，強調(diào)學(xué)生對于函數(shù)概念的形式化定義，用“變量”來描述函數(shù)概念。高一時用“映射”來刻畫函數(shù)概念。法國四五年級學(xué)生認(rèn)識和使用小數(shù)集上定義的數(shù)值函數(shù)。七年級，用圖表表示情景，通過消費、發(fā)展、環(huán)境等讓學(xué)生初步感受函數(shù)。八年級，能用圖、表或解析式等多種方式表示函數(shù)，但不給出嚴(yán)格定義。九、十年級，用表格、圖表處理一些其他領(lǐng)域的問題，定義處理十分謹(jǐn)慎。高中時，大量增加函數(shù)內(nèi)容。日本小學(xué)四年級開始接觸函數(shù)關(guān)系的初步概念，對兩個相依變化的數(shù)量關(guān)系進行研究并用圖表來表示，用式子簡潔的表示數(shù)量關(guān)系。中學(xué)在數(shù)量關(guān)系領(lǐng)域把函數(shù)概念的學(xué)習(xí)劃分為三個階段，滲透函數(shù)思想。美國九年級以上的各類代數(shù)課本中，都首先定義“有序數(shù)對”、“關(guān)系”，再將函數(shù)定義為一種特殊的關(guān)系。德國初中由機器運算寄存器的有關(guān)知識展開所熟悉的簡單算法，讓學(xué)生在編寫簡單程序的同時開始學(xué)習(xí)變量、函數(shù)。英國由實際情景得到表達式，再得到數(shù)據(jù)，描點作出圖象，利用曲線解決實際問題，在實際問題的解決中引入函數(shù)概念。21函數(shù)概念引入方式上的差異我國教材函數(shù)概念引入方式為：實際例子（問題）數(shù)學(xué)解答從過程中提煉出函數(shù)概念。這種方式更注重函數(shù)概念引入的系統(tǒng)性，從兩個階段入手，多層面，多角度地向?qū)W生介紹了以“變量”為基礎(chǔ)的函數(shù)古典定義以及以“集合”為基礎(chǔ)的現(xiàn)代函數(shù)定義，所呈現(xiàn)的函數(shù)概念結(jié)構(gòu)較系統(tǒng)和完整，有利于學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的熟練掌握，但學(xué)生對“對應(yīng)關(guān)系”往往缺乏充分的理解，并且函數(shù)概念引入時間較晚，定義方式理論性較強，比較抽象，不利于學(xué)生深入理解函數(shù)思想的實質(zhì)，以及自身辨證思維能力的發(fā)展。西方各國函數(shù)概念的引入一般較早，函數(shù)概念引入方式為：實際例子（問題）數(shù)學(xué)概念實際問題。它更注重函數(shù)概念背景知識的鋪墊，重視函數(shù)思想和方法的掌握，淡化函數(shù)的形式化定義，大多沒有給出具體的函數(shù)概念，而是將實際應(yīng)用中的問題與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，以問題解決的形式讓學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識比較突出。22函數(shù)概念與信息技術(shù)結(jié)合程度上的差異我國函數(shù)概念教學(xué)中加強了函數(shù)與其他學(xué)科知識的聯(lián)系，并且結(jié)合各種現(xiàn)代教育技術(shù)初步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)能力，逐步提高學(xué)生分析問題，解決實際問題的能力。但常常局限于用計算器進行簡單求解，用計算機輔助教學(xué)等內(nèi)容，沒有很好的引導(dǎo)學(xué)生利用互聯(lián)網(wǎng)資源自