高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)i2_5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課件理蘇教版

2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù),基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類 深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 (a0，m，nN*，且n1).正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī) 定 (a0，m，nN*，且n1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 ；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 . (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：asatast，(as)tast，(ab)tatbt，其中s，tQ，a0，b0.,知識(shí)梳理,0,沒(méi)有意義,2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),(0，),R,幾何畫(huà)板展示,(0，1),y1,0y1,0y1,y1,增函數(shù),減函數(shù),1.指數(shù)函數(shù)圖象畫(huà)法的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 畫(huà)指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，(1， ). 2. 指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的 圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為cd1ab. 由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y ax(a0，a1)的圖象越高，底數(shù)越大.,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”),(4)函數(shù)yax是R上的增函數(shù).( ) (5)函數(shù)y (a1)的值域是(0，).( ) (6)函數(shù)y2x1是指數(shù)函數(shù).( ),考點(diǎn)自測(cè),1.(教材改編)若函數(shù)f(x)ax(a0且a1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2， )，則f(1)_.,答案,解析,2.(2016蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)ax22的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)為_(kāi).,由a01知，當(dāng)x20， 即x2時(shí)，f(2)3， 即圖象必過(guò)定點(diǎn)(2，3).,答案,解析,(2，3),3.已知 則a，b，c的大小關(guān)系是_.,答案,解析,cba,即ab1，,cba.,2,原式 1 2.,答案,解析,5.若函數(shù)y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,由y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，得0a211，,答案,解析,題型分類 深度剖析,題型一 指數(shù)冪的運(yùn)算 例1 化簡(jiǎn)下列各式： (1) 0；,解答,原式,(2),原式,解答,(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；運(yùn)算的先后順序. (2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù). (3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1 化簡(jiǎn) _.,答案,解析,原式2 213101 .,題型二 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例2 已知f(x)|2x1|. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；,解答,因此函數(shù)f(x)在(，0)上遞減，在(0，)上遞增.,(2)比較f(x1)與f(x)的大?。?解答,在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)、f(x1)的圖象如圖所示. 由圖象知，當(dāng) ，即x0log2 時(shí)，兩圖象相交， 由圖象可知，當(dāng)xf(x1)； 當(dāng)xlog2 時(shí)，f(x)f(x1)； 當(dāng)xlog2 時(shí)，f(x)f(x1).,幾何畫(huà)板展示,(3)試確定函數(shù)g(x)f(x)x2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).,解答,將g(x)f(x)x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與yx2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題， 在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)|2x1|和yx2的圖象(圖略)， 有四個(gè)交點(diǎn)，故g(x)有四個(gè)零點(diǎn).,(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除. (2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論. (3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x) 設(shè)ab0，若f(a)f(b)，則 bf(a)的取值范圍是_.,答案,解析,函數(shù)的圖象如圖所示. 因?yàn)閍b0，f(a)f(b)， 所以0.5b1且1.5f(a)2. 所以0.75bf(a)2.,幾何畫(huà)板展示,題型三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 命題點(diǎn)1 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 例3 (1)(2016徐州模擬)下列各式比較大小正確的是_. 1.72.51.73； 0.610.62； 0.80.11.250.2； 1.70.30.93.1.,中，y0.6x是減函數(shù)， 0.610.62.,答案,解析,(2)設(shè)函數(shù)f(x) 若f(a)1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,(3，1),當(dāng)a0時(shí)，不等式f(a)1可化為( )a71，,又a0，3a0. 當(dāng)a0時(shí)，不等式f(a)1可化為 1. 所以0a1，,所以a3.,綜上，a的取值范圍為(3，1).,幾何畫(huà)板展示,命題點(diǎn)2 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 例4 (1)已知函數(shù)f(x) (m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_.,答案,解析,令t|2xm|，則t|2xm|在區(qū)間 ，)上單調(diào)遞增， 在區(qū)間(， 上單調(diào)遞減. 而y2t為R上的增函數(shù)， 所以要使函數(shù)f(x)2|2xm|在2，)上單調(diào)遞增，則有 2， 即m4，所以m的取值范圍是(，4.,(，4,(2)函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi).,答案,解析,(，1,設(shè)ux22x1，y u在R上為減函數(shù)，,函數(shù)f(x) 的減區(qū)間即為函數(shù)ux22x1的增區(qū)間.,又ux22x1的增區(qū)間為(，1，,f(x)的減區(qū)間為(，1.,引申探究 函數(shù)f(x)4x2x1的單調(diào)增區(qū)間是_.,設(shè)t2x，則yt22t的單調(diào)增區(qū)間為1，)， 令2x1，得x0， 函數(shù)f(x)4x2x1的單調(diào)增區(qū)間是0，).,答案,解析,0，),命題點(diǎn)3 函數(shù)的值域(或最值) 例5 (1)函數(shù)y 1在區(qū)間3，2上的值域是_.,答案,解析,因?yàn)閤3，2，,(2)如果函數(shù)ya2x2ax1(a0，a1)在區(qū)間1，1上的最大值是14， 則a的值為_(kāi).,答案,解析,令axt，則ya2x2ax1t22t1,(t1)22.,當(dāng)a1時(shí)，因?yàn)閤1，1，所以t ，a，,又函數(shù)y(t1)22在 上單調(diào)遞增，,所以ymax(a1)2214，解得a3(負(fù)值舍去).,當(dāng)0a1時(shí)，因?yàn)閤1，1，所以ta， ，,又函數(shù)y(t1)22在a， 上單調(diào)遞增，,則ymax( 1)2214，解得a (負(fù)值舍去).,綜上，a3或a .,(1)在利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)綜合問(wèn)題時(shí)，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論. (2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，要化歸于指數(shù)函數(shù)來(lái)解.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知函數(shù)f(x) 的值域是8，1， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,3，0),當(dāng)0x4時(shí)，f(x)8，1，,當(dāng)ax0時(shí)，f(x)( )a，1)，,所以 ，1)8，1，,即8 1，即3a0，,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，0).,幾何畫(huà)板展示,當(dāng)x0時(shí)，g(x)f(x)2x 為單調(diào)增函數(shù)，,當(dāng)xg(0)0， 所以函數(shù)g(x)的最小值是0.,所以g(x)g(0)0；,0,答案,解析,典例 (2016南京模擬)已知函數(shù) (a，b為常數(shù)，且a0，a1)在區(qū)間 ，0上有最大值3，最小值 ， 則a，b的值分別為_(kāi).,與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題，要對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論.,指數(shù)函數(shù)底數(shù)的討論,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列2,錯(cuò)解展示,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò),糾錯(cuò)心得,解析 令tx22x(x1)21， x0，1t0.,答案 2，2,返回,解析 令tx22x(x1)21， x ，0，t1，0. 若a1，函數(shù)f(x)at在1，0上為增函數(shù)，,若0a1，函數(shù)f(x)at在1，0上為減函數(shù)，,返回,課時(shí)作業(yè),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.(2016蘇州模擬)設(shè)2x8y1，9y3x9，則xy的值為_(kāi).,答案,解析,27,2x8y123(y1)，x3y3， 9y3x932y，x92y， 解得x21，y6，xy27.,2.函數(shù)f(x)2|x1|的圖象是_.,答案,解析,|x1|0，f(x)1，排除、. 又x1時(shí)，|f(x)|min1，排除.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.已知a40.2，b0.40.2，c0.40.8，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi).,由0.20.40.8，即bc. 又a40.2401，b0.40.2b，綜上，abc.,答案,解析,abc,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.已知f(x)3xb(2x4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，則f(x)的值域?yàn)開(kāi).,由f(x)過(guò)定點(diǎn)(2，1)可知b2， 因?yàn)閒(x)3x2在2，4上是增函數(shù)， 所以f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.,答案,解析,1，9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.(2015山東改編)若函數(shù)f(x) 是奇函數(shù)，則使f(x)3成立的x的取值范圍為_(kāi).,答案,解析,(0，1),f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，,當(dāng)x0時(shí)，2x10，2x132x3，解得0x1； 當(dāng)x0時(shí)，2x10，2x132x3，無(wú)解.,x的取值范圍為(0，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016浙江改編)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2x，xR.若f(a)2b，則a，b的大小關(guān)系為_(kāi).,依題意得f(a)2a， 若f(a)2b，則2af(a)2b，2a2b， 又y2x是R上的增函數(shù)，ab.,答案,解析,ab,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.設(shè)函數(shù)f(x) 則使得f(x)2成立的x的取值范圍是_.,當(dāng)x1時(shí)，由ex12得x1ln 2， x1時(shí)恒成立； 當(dāng)x1時(shí)，由 2得x8，1x8. 綜上，符合題意的x的取值范圍是x8.,答案,解析,(，8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.若直線y2a與函數(shù)y|ax1|(a0且a1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的 取值范圍是_.,(數(shù)形結(jié)合法) 由圖象可知02a1，0a .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.(2016鎮(zhèn)江模擬)已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)且當(dāng)x0時(shí)，f(x) ，則此函數(shù)的值域?yàn)開(kāi).,答案,解析,yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.已知函數(shù)f(x)2ax2(a為常數(shù))， (1)求函數(shù)f(x)的定義域；,函數(shù)f(x)2ax2對(duì)任意實(shí)數(shù)都有意義， 所以定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若a0，試證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；,任取x1，x2R，且x10，得ax12ax22. 因?yàn)閥2x在R上是增函數(shù)， 所以有 ， 即f(x1)f(x2). 所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(3)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)yf(x)，x(1，3的值域.,由(2)知， 當(dāng)a1時(shí)，f(x)2x2在(1，3上是增函數(shù). 所以f(1)f(x)f(3)， 即2f(x)32. 所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?2，32.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.已知函數(shù)f(x)( )|x|a. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；,解答,令t|x|a，則f(x)( )t， 不論a取何值，t在(，0上單調(diào)遞減， 在0，)上單調(diào)遞增， 又y( )t是單調(diào)遞減的， 因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0， 單調(diào)遞減區(qū)間是0，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若f(x)的最大值等于 ，求a的值.,解答,所以g(x)|x|a應(yīng)該有最小值2，即g(0)2， 從而a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.已知函數(shù)f(x) . (1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；,解答,當(dāng)a1時(shí)，f(x) ，,令tx24x3，,由于函數(shù)tx24x3在(，2)上單調(diào)遞增，,在(2，)上單調(diào)遞減，而y t 在R上單調(diào)遞減，,所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增， 即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)， 單調(diào)遞減區(qū)間是(，2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若f(x)有最大值3，求a的值.,解答,令g(x)ax24x3，則f(x) g(x)，,由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值1，,即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值為1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若函數(shù)f(x)的最小值是1，求實(shí)數(shù)的值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由(1)得g(t)t22t3,(t)232( t2)，,當(dāng) 2時(shí)，g(t)ming()23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,當(dāng)2時(shí)，g(t)ming(2)47，,令471，得 2，不符合舍去.,綜上所述，實(shí)