有限元法緒論(已排).ppt

第2部分 有限元分析及應(yīng)用有限元分析及應(yīng)用 Finite Element Analysis and Finite Element Analysis and ApplicationsApplications 1 第6章 有限元法的基本概念 2 在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常會(huì)遇到兩類典型的問(wèn)題。第一 類問(wèn)題，可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的組合。例如，材料 力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。這類問(wèn)題稱為 離散系統(tǒng)。如下圖所示平面桁架結(jié)構(gòu)，是由6個(gè)承受軸向力 的“桿單元”組成。 6.1 工程和科學(xué)中典型問(wèn)題 3 第二類問(wèn)題，通常可以建立它們應(yīng)遵循的基本方程，即微分 方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問(wèn)題，熱傳導(dǎo)問(wèn)題等。 由于建立基本方程所研究的對(duì)象通常是無(wú)限小的單元，這類問(wèn) 題稱為連續(xù)系統(tǒng)，或場(chǎng)問(wèn)題。 盡管已經(jīng)建立了連續(xù)系統(tǒng)的 基本方程，由于邊界條件的限 制，通常只能得到少數(shù)簡(jiǎn)單問(wèn) 題的精確解答。對(duì)于許多實(shí)際 的工程問(wèn)題，還無(wú)法給出精確 的解答。為解決這個(gè)困難，工 程師們和數(shù)學(xué)家們提出了許多 近似方法。 6.1 工程和科學(xué)中典型問(wèn)題 4 6.2 場(chǎng)問(wèn)題的一般描述 實(shí)例：二維熱傳導(dǎo)（穩(wěn)態(tài)）問(wèn)題 原理：從兩個(gè)方向傳入微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源 產(chǎn)生的熱量Q平衡 基本方程： 邊界條件： 5 6.3 場(chǎng)問(wèn)題的求解策略及方法 6.3.1 求解策略 1、直接法：求解基本方程和相應(yīng)定解條件的解； 2、間接法：基于變分原理，構(gòu)造基本方程及相應(yīng)定解條件 的泛函形式，通過(guò)求解泛函的極值來(lái)獲得原問(wèn)題的近似解 。即將微分形式轉(zhuǎn)化與其等價(jià)的泛函變分的積分形式。 6.3.2 求解方法 1、解析或半解析法： 2、數(shù)值法： A）基于直接法的數(shù)值法，如差分法； B）基于間接法的數(shù)值法，如等效積分法（如里茲法） 、有限元法等。 6 特 點(diǎn)優(yōu)優(yōu)缺點(diǎn) 差分法均勻離散求解域；差分代替微分；解代 數(shù)方程組組 要求規(guī)則邊規(guī)則邊 界，幾何形狀 復(fù)雜時(shí)雜時(shí) 精度低 等效積積分法 （加權(quán)權(quán)余量 法或泛函變變 分法） 整體場(chǎng)場(chǎng)函數(shù)用近似函數(shù)代替；（近似函 數(shù)常為為含n個(gè)待定系數(shù)的多項(xiàng)項(xiàng)式，）微 分方程及定解條件的等效積積分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為某 個(gè)泛函的變變分，-求極值問(wèn)題值問(wèn)題 ，（利用 極值值條件建立n個(gè)代數(shù)方程），解代數(shù) 方程組組 適合簡(jiǎn)單問(wèn)題簡(jiǎn)單問(wèn)題 ，復(fù)雜問(wèn)雜問(wèn) 題題很難難解決 有限元法可非均勻離散求解域；分片連續(xù)連續(xù) 函數(shù)近 似整體未知場(chǎng)場(chǎng)函數(shù)；解線線性方程組組。有 限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)礎(chǔ)仍是變變分法（同上） 。 節(jié)節(jié)點(diǎn)可任意配置，邊邊界適 應(yīng)應(yīng)性好；適應(yīng)應(yīng)任意支撐條 件和載載荷；計(jì)計(jì)算精度與網(wǎng) 格疏密和單單元形態(tài)態(tài)有關(guān)， 精度可控。對(duì)對(duì)裂縫縫和無(wú)限 域的分析存在不足 數(shù)值計(jì)算方法分類數(shù)值計(jì)算方法分類 7 先將求解域離散為有限個(gè)單元，單元與單元只在節(jié) 點(diǎn)相互連接；-即原始連續(xù)求解域用有限個(gè)單元的集合 近似代替 每個(gè)單元選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的場(chǎng)函數(shù)近似表示真實(shí)場(chǎng)函 數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡(jiǎn)單函數(shù)可由單元節(jié)點(diǎn)上物理 量來(lái)表示-通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù) 基于問(wèn)題的基本方程，建立單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程（即單 元?jiǎng)偠确匠蹋?借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整 體的剛度方程，這是一組以節(jié)點(diǎn)物理量為未知量的線形 方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。 6.4 有限元法基本思想 8 整體平衡 分片近似 單元平衡 結(jié)構(gòu)離散 方程求解 問(wèn)題分析 力 學(xué) 模 型 節(jié) 點(diǎn) 單 元 位 移 函 數(shù) 單 剛 方 程 總 剛 方 程 節(jié) 點(diǎn) 位 移 有限元法基本思想有限元法基本思想 9 節(jié)點(diǎn)位移向量表示： 節(jié)點(diǎn)力向量表示： 節(jié)點(diǎn)1沿x方向的位移 、 其余節(jié)點(diǎn)位移全為0時(shí)軸向壓力 為： 實(shí)例實(shí)例1 1: (1): (1) 求右圖離散結(jié)構(gòu)求右圖離散結(jié)構(gòu)2 2的點(diǎn)位移的點(diǎn)位移 10 同理，節(jié)點(diǎn)2作用于單元1上的力，其大小與之相等，方 向相反，x和y方向的分量分別記為： 注： 表示第e個(gè)單元的第j個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移，而其它 自由度上的位移為零時(shí)，第i個(gè)自由度上所受的力。常稱其 為單元的剛度系數(shù)。 實(shí)例實(shí)例1: (2)1: (2)單元分析單元分析 節(jié)點(diǎn)1作用于單元1上的力，在x和y方向的分量分別為： 11 單元2節(jié)點(diǎn)力平衡方程 實(shí)例實(shí)例1: (2)1: (2)單元分析單元分析 同理可求 分別作單位位移時(shí)相應(yīng)的剛度系數(shù)，考慮 到節(jié)點(diǎn)的實(shí)際受力為 和實(shí)際位移為 ，則據(jù)各個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力平衡得： 12 結(jié)合前式推導(dǎo)得： 實(shí)例實(shí)例1: (3)1: (3)整體分析整體分析 整體分析： 作用于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上 的節(jié)點(diǎn)力平衡，即 13 整體矩陣記為： 求解上述整體方程，可得問(wèn)題的節(jié) 點(diǎn)位移。 實(shí)例實(shí)例1: (4)1: (4)引入約束求解引入約束求解 將 代入可得整體方程 14 實(shí)例實(shí)例2 2 連續(xù)問(wèn)題 連續(xù)問(wèn)題 例：求等截面直桿在自重作用下的拉伸。 圖(a)中單位 桿長(zhǎng)重量為q，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，截面面積為A，彈性模數(shù)為E 。 15 實(shí)例 實(shí)例 2 2 材料力學(xué)方法求解直桿拉伸： 考慮微段dx，內(nèi)力 N=q (L-x) dx的伸長(zhǎng)為： x截面上的位移： 根據(jù)幾何方程求應(yīng)變，物理方程求應(yīng)力。這里 應(yīng)變： 應(yīng)力： 16 i L 1i L + 圖 2-3 i+1 i i-1 2 )LL( q 1ii+ + 1、離散化 2、外載荷集中到結(jié)點(diǎn)上，即把陰 影部分的重量作用在結(jié)點(diǎn)i上 實(shí)例實(shí)例 2 2 （ （1 1）結(jié)構(gòu)離散）結(jié)構(gòu)離散 有限單元法求解直桿拉伸： 直接公式法 17 實(shí)例實(shí)例2 2 （ （2 2）單元分析）單元分析 3、假設(shè)線單元上的位移為線性函數(shù) 18 4、以i結(jié)點(diǎn)為對(duì)象，列力的平衡方程 令 將位移和內(nèi)力的關(guān)系代入得 用結(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，其中i=1，2， n有n個(gè) 方程未知數(shù)也有n個(gè)，解方程組，得出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而計(jì)算 應(yīng)力。 實(shí)例實(shí)例2 2 （ （2 2）單元分析）單元分析 19 假設(shè)線單元數(shù)為3個(gè)的情況， 平衡方程有3個(gè)： i=1時(shí)， i=2時(shí), i=3時(shí)， 聯(lián)立解得： aL 1 = aL 3 = aL 2 = 0 u 1 u 2 u 3 u 0 1 2 3 圖 2-6 與材料力學(xué)的精確解答在結(jié)點(diǎn)處完全相同。 實(shí)例實(shí)例2 2 （ （3 3）整體分析與求解）整體分析與求解 20 力學(xué)模型 (平面應(yīng)力問(wèn)題) 微分方程 + 邊界條件 有限元模型 代數(shù)方程組 （基本變量節(jié) 點(diǎn)位移） 6.5 有限元法的基本步驟 l 所研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模 (問(wèn)題分析) l 結(jié)構(gòu)離散 l 單元分析 (位移函數(shù)、單剛方程) l 整體分析與求解 (總剛方程與求解) l 結(jié)果分析及后處理 21 在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過(guò)程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩種 不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限元法。有限元法的形成可 以回顧到二十世紀(jì)50年代，來(lái)源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法的發(fā)展 和工程師對(duì)結(jié)構(gòu)相似性的直覺(jué)判斷。從固體力學(xué)的角度來(lái)看，桁 架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在 結(jié)構(gòu)上存在相似性。 1956年，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問(wèn)題。把結(jié)構(gòu)劃 分成一個(gè)個(gè)三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)， 求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃嚒?1960年，Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（finite element）這 一術(shù)語(yǔ)。 6.6 有限單元法的發(fā)展 22 數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分 方法，變分原理和加權(quán)余量法。 在1963年前后，經(jīng)過(guò)J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工 作，認(rèn)識(shí)到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形 ，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式。 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只 要能寫成變分形式的所有場(chǎng)問(wèn)題，都可以用與固體力學(xué)有限 元法的相同步驟求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別 是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過(guò)程來(lái)求解非結(jié)構(gòu)問(wèn)題。 有限單元法的發(fā)展有限單元法的發(fā)展 23 我國(guó)的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多 貢獻(xiàn)，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢令 希（余能原理），錢偉長(zhǎng)（廣義變分原理），胡海昌（廣義 變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966 年開(kāi)始的近十年期間，我國(guó)的研究工作受到阻礙。 有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問(wèn)題 的工程問(wèn)題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來(lái)，有限元法得到 了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。 有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法?？蓮V泛應(yīng)用于各種微分方 程描述的場(chǎng)問(wèn)題的求解。 有限單元法的發(fā)展有限單元法的發(fā)展 24 l結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元法的力學(xué)基礎(chǔ)是彈性力學(xué)，而方程求解的原理 是泛函極值原理，實(shí)現(xiàn)的方法是數(shù)值離散技術(shù)，最后的技術(shù)載體 是有限元分析軟件。因此學(xué)習(xí)時(shí)，必須掌握的基本內(nèi)容應(yīng)包括： l1、基本變量和力學(xué)方程（即彈性力學(xué)的基本概念）; l2、數(shù)學(xué)求解原理（即能量原理）; l3、離散結(jié)構(gòu)和連續(xù)結(jié)構(gòu)的有限元分析實(shí)現(xiàn)（即有限元法的基本 步驟）; l4、有限元法的應(yīng)用（即有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域或工程問(wèn)題研究） ; l5、各種分析建模技巧及計(jì)算結(jié)果的評(píng)判; l6、典型分析軟件的使用。 l注意：會(huì)使用有限元軟件不等于掌握了有限元分析工具 6.7 有限元法的基本內(nèi)容 25 CADCAECAM 設(shè)計(jì)修改或優(yōu)化 運(yùn)動(dòng)性能 力學(xué)性能 可靠性 數(shù)字樣件性能分析數(shù)字加工 應(yīng)力 變形 固有頻率 有限元分析 在大力推廣CAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所 有的設(shè)計(jì)制造都離不開(kāi)有限元分析計(jì)算，F(xiàn)EA在工程設(shè)計(jì)和 分析中將得到越來(lái)越廣泛的重視。 6.8 有限元法的應(yīng)用 26 應(yīng)用實(shí)例：制動(dòng)器數(shù)字模型及應(yīng)用實(shí)例：制動(dòng)器數(shù)字模型及FEAFEA網(wǎng)格網(wǎng)格 27 應(yīng)用實(shí)例：制動(dòng)器性能分析應(yīng)用實(shí)例：制動(dòng)器性能分析 28 29 亞洲第一，世界第二起重船 高70米 起重3500噸 應(yīng)用實(shí)例：應(yīng)用實(shí)例：東海大橋和杭州灣大橋用起重船東海大橋和杭州灣大橋用起重船 30 應(yīng)用實(shí)例：應(yīng)用實(shí)例：起重機(jī)和扁擔(dān)梁模型起重機(jī)和扁擔(dān)梁模型 31 面板剛度提高2.8倍,質(zhì)量減少35%,整體厚度下降 CAD模 型 CAE分析結(jié)構(gòu)優(yōu)化 工藝設(shè)計(jì) 后的產(chǎn)品 應(yīng)用實(shí)例：面板剛性增強(qiáng)設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例：面板剛性增強(qiáng)設(shè)計(jì) 32 33 34 l結(jié)構(gòu)離散（有限元建模） l內(nèi)容： l1）網(wǎng)格劃分-即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元 l 2）邊界處理-即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理 為節(jié)點(diǎn)約束和節(jié)點(diǎn)載荷。 l要求： l1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形-單元的幾何特性； l2）一個(gè)單元內(nèi)的物理特性必須相同-單元的物理特性 。 6.9 有限元法的幾個(gè)基本概念 35 節(jié)點(diǎn)載荷 節(jié)點(diǎn)力 l單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足 一定幾何特性和物理特性的最小結(jié) 構(gòu)域。 l節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧c單元間的連接點(diǎn)。 l節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元間通過(guò)節(jié)點(diǎn) 的相互作用力。 l節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載 。 l注意： 1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，有 限元模型中，相鄰單元的作用通過(guò) 節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力， 這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差 別； 2）節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別。 單元與節(jié)點(diǎn)單元與節(jié)點(diǎn) 36 單單元類類型單單元圖圖形節(jié)節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)節(jié)點(diǎn)自由度 桿單單元21 梁?jiǎn)螁卧?3 平面單單元32 平面四邊邊形42 軸對(duì)軸對(duì) 稱問(wèn)題問(wèn)題32 板殼單單元43 四面體單單元43 典型單元類型典型單元類型 37 l 用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場(chǎng)）的近似函數(shù) 。由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點(diǎn)物理量值插值構(gòu)成，故稱為插 值函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則該函數(shù)稱為位移函數(shù)。 l選擇位移函數(shù)的一般原則： 1）位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移（即單元內(nèi)部 是連續(xù)的）； 2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解。 為了便于微積分運(yùn)算，位移函數(shù)一般采用多項(xiàng)式形式 ，在單元內(nèi)選取適當(dāng)階次的多項(xiàng)式可得到與真實(shí)解接近的 近似解 6.10 插值函數(shù)（或位移函數(shù)） 38 6.11 位移函數(shù)的構(gòu)造方法 (1)廣義坐標(biāo)法: 一維單元位移函數(shù)： 為待定系數(shù)，也稱為廣義坐標(biāo) 39 如一維單元: 二維單元: 注：Ni可為L(zhǎng)agrange、 Hamiton多項(xiàng)式或形函數(shù)， 在+1 -1間變化 l(2)插值函數(shù)法: 即將位移函數(shù)表示為各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與已知 插值基