高數(shù)課件68多元函數(shù)的極值.ppt

第八節(jié) 多元函數(shù)的極值 一、問題的提出 二、多元函數(shù)的極值和最值 三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法 實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每 瓶進價1元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估 計，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的 每瓶賣 元，則每天可賣出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益為 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值. 一、問題的提出 二、多元函數(shù)的極值和最值 1、二元函數(shù)極值的定義 極值點必須是函數(shù)定義域的內(nèi)點. (1) 例如1 (2) (3) 2、多元函數(shù)取得極值的條件 證 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的 點，均稱為函數(shù)的駐點. 注意：有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)極值點必為駐點； 但駐點未必是極值點. 極值可疑點：駐點或一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點. 問題：如何判定一個駐點是否為極值點？ 極值點也可能是一階偏導(dǎo)不存在的點. 定理2（充分條件） 3、多元函數(shù)的最值 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的 極值來求函數(shù)的最大值和最小值. 設(shè)函數(shù) z = f (x , y) 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , 則函數(shù)在 D 上必有最大值和最小值 . z = f (x , y) 的最值既可在 D 的內(nèi)點處取得 , 也可 在 D 的邊界點處取得 . 設(shè)函數(shù) z = f (x , y) 在閉區(qū)域 D 上連續(xù)、可微 , 且 只有有限個極值點 , 若最值在 D 內(nèi)取得 , 則最值 點必是極值點 . 求出函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點、不可求偏導(dǎo) 的點處的函數(shù)值和在 D 的邊界上的最大值和最 小值相互比較，這些值中最大者即為最大值， 最小者即為最小值. 求最值的一般方法： 解 如圖, 先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點 求實際問題中，由問題的實際意義可知函 數(shù) f (x , y) 有最值，且在 D 內(nèi)只有唯一的駐點， 則該駐點的函數(shù)值就是所求的最大值或最小值. 三、條件極值拉格朗日乘子法 無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外 ，并無其他條件. 實例： 小王有200元錢，他決定用來購買兩 種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他 購買 張磁盤， 盒錄音磁帶達到最佳效果， 效果函數(shù)為 設(shè)每張磁 盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200 元以達到最佳效果 問題的實質(zhì)：求 在條 件 下的極值點 條件極值：對自變量有附加條件的極值 拉格朗日乘子法 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個或約束 條件有多個的情況： 解 則 解 可得 即 可得 即 課后練習： 多元函數(shù)的極值 條件極值與拉格朗