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第七節(jié) 空間直線及其方程 一、空間直線方程 二、兩直線的夾角 三、直線與平面的夾角 一、空間直線方程 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直線可視為兩平面交線， 方向向量的定義： 如果一非零向量平行于 一條已知直線，這個向量稱 為這條直線的方向向量 / 2、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程 直線的對稱式方程 令 直線的一組方向數(shù) 方向向量的余弦稱為 直線的方向余弦. 直線的參數(shù)方程 說明: 某些分母為零時, 其分子也理解為零. 此式稱為直線的對稱式方程 (也稱為點向式方程) 直線方程為例如, 當 可將對稱式方程拆為一般方程 如對稱式方程為 可寫成一般方程 可將直線的對稱式方程 又如 注 可寫成一般方程 化為一般方程嗎 各類直線方程的互換 例1 求過點A(1,2,-3)和B（2,-1,5）的直線方程. 解 因為直線過點A和B, 所以: 例2.用對稱式及參數(shù)式表示直線 解:先在直線上找一點. 再求直線的方向向量 令 x = 1, 解方程組 ,得 交已知直線的兩平面的法向量為 是直線上一點 . 故所給直線的對稱式方程為 參數(shù)式方程為 解題思路: 先找直線上一點; 再找直線的方向向量. 解 所以交點為 取 所求直線方程 解 例4 二、兩直線間的夾角 則兩直線夾角 滿足 設直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角) 的方向向量分別為 特別有: 直線 直線 例如， 例5. 求以下兩直線的夾角 解: 直線 直線 二直線夾角 的余弦為 從而 的方向向量為 的方向向量為 解設所求直線的方向向量為 根據(jù)題意知 取 所求直線的方程 解先作一過點M且與已知直線垂直的平面 再求已知直線與該平面的交點N, 令 代入平面方程得 ,交點 取所求直線的方向向量為 所求直線方程為 當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角 線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角; 三 . 直線與平面的夾角 當直線與平面不垂直時, 設直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為 則直線與平面夾角 滿足 直線和它在平面上的投影直 特別有: 解: 取已知平面的法向量 則直線的對稱式方程為 直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 垂 例8. 求過點(1,2 , 4) 且與平面 解 為所求夾角 關于夾角的說明: 平面束 通過定直線的所有平面的全體稱為平面束 設直線L的方程為 那么三元一次方程 稱為通過直線L的平面束方程 注意：平面束方程（3）中不包含平面（2） （2） （3） （1） 例10 解 投影直線的方程為 1. 空間直線方程 一般式 對稱式 參數(shù)式 內(nèi)容小結 直線 2. 線與線的關系 直線 夾角公式: 平面

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