江西省2016屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）含答案解析

2015年江西省紅色七校高三（下）第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知全集 U=R，集合 A=x|y= ，集合 B=y|y=2x， x R，則（ B=（ ） A x|x 2 B x|0 x 1 C x|1 x 2 D x|x 0 2已知復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù)單位），則 z 的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A i B 1+i C i D 1 i 3 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 ， 3 2等差數(shù)列，則 =（ ） A 27 B 3 C 1 或 3 D 1 或 27 4已知平面向量 =（ 0， 1）， =（ 2， 2）， | + |=2，則 的值為（ ） A 1+ B 1 C 2 D 1 5已知 x， y 的取值如表所示，若 y 與 x 線性相關(guān)，且 =a，則 a=（ ） x 0 1 3 4 y 已知命題 p： x R，使 2x 3x；命題 q： x（ 0， ）， 列是真命題的是（ ） A（ p） q B（ p） （ q） C p （ q） D p （ q） 7如果執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的值是（ ） A 2016 B 2 C D 1 8一個(gè)四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的體積是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 9已知函數(shù) f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若將其圖象向右平移 個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù) f（ x）的圖象（ ） A關(guān)于直 線 x= 對(duì)稱 B關(guān)于直線 x= 對(duì)稱 C關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對(duì)稱 D關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對(duì)稱 10已知變量 x， y 滿足以下條件： x， y R， ， z=ax+y，若 z 的最大值為 3，則實(shí)數(shù) a 的值為（ ） A 2 或 5 B 4 或 2 C 2 D 5 11定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） +f（ x） 2， 1） =2e+4，則不等式f（ x） +2（其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ） A（ 1， + ） B（ ， 0） （ 1， + ） C（ ， 0） （ 0， + ）D（ ， 1） 12已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的左右焦點(diǎn)為 橢圓 C 上恰好有 6 個(gè)不同的點(diǎn)，使得 等腰三角形，則橢圓 C 的離心率的取值范圍是（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 4 小題每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上 13點(diǎn) P（ x， y）是圓 y 1） 2=1 內(nèi)部的點(diǎn)，則 y x 的概率 14設(shè)數(shù)列 足 a2+0，點(diǎn) n， 任意的 n N+，都有向量 =（ 1， 2），則數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 15在半徑為 10球面上有 A、 B、 C 三點(diǎn)，如果 ， 0，則球心 O 到平面 距離為 16已知函數(shù) f（ x） =x3+bx+c 有兩個(gè)極值點(diǎn) f（ =關(guān)于 x 的方程 的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為 三、解答題：本大題共 5 小題，共 60 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，函數(shù) f（ x） =2x A）（ x R）在 處取得最小值 （ 1）求角 A 的大小 （ 2）若 a=7 且 ，求 面積 18某高校在 2012 年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取 40 名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分成五組：第 1 組 75， 80），第 2 組 80， 85），第 3 組 85， 90），第 4組 90， 95），第 5 組 95， 100，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時(shí)規(guī)定成績(jī)?cè)?85 分以上（含 85 分）的學(xué)生為 “優(yōu)秀 ”，成績(jī)小于 85 分的學(xué)生為 “良好 ”，且只有成績(jī)?yōu)?“優(yōu)秀 ”的學(xué)生才能獲得面試資格 （ 1）求出第 4 組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖； （ 2）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)； （ 3）如果用分層抽樣的方法從 “優(yōu)秀 ”和 “良好 ”的學(xué)生 中選出 5 人，再?gòu)倪@ 5 人中選 2 人，那么至少有一人是 “優(yōu)秀 ”的概率是多少？ 19如圖在直角梯形 ， 2D=4，現(xiàn)以 后沿邊 矩形 折，使平面 平面 直 （ 1）求證： 平面 （ 2）若點(diǎn) D 到平面 距離為 ，求三棱錐 F 體積 20如圖，橢圓 的離心率為 ，其左焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為 3，點(diǎn) P（ 2， 1）為橢圓外一點(diǎn)，不過(guò)原點(diǎn) O 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，且線段 直線 分 （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 （ 2）求 積最大值時(shí)的直線 l 的方程 21已知函數(shù) （ 1）當(dāng) 時(shí)，討論 f（ x）的單調(diào)性 （ 2）設(shè) g（ x） =2當(dāng) 時(shí)，若對(duì)任意 （ 0， 2），存在 1， 2，使 f（ g（ 求實(shí)數(shù) b 取值范圍 選做題：請(qǐng)?jiān)?22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)后的方框涂黑 選修 4何證明選講 22如圖， O 于點(diǎn) B，直線 O 于 D， E 兩點(diǎn)， 足為 C （ ）證明： （ ）若 ，求 O 的直徑 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標(biāo)系 x ，直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)）在以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，圓 C 的方程為 （ ）寫出直線 l 的普通方程和圓 C 的直角坐標(biāo)方程； （ ）若點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ，圓 C 與直線 l 交于 A， B 兩點(diǎn)，求 |值 選修 4等式選講 24已知關(guān)于 x 的不等式 |x+a| b 的解集為 x|2 x 4 （ ）求實(shí)數(shù) a， b 的值； （ ）求 + 的最大值 2015年江西省紅色七校高三（下）第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知全集 U=R，集合 A=x|y= ，集合 B=y|y=2x， x R，則（ B=（ ） A x|x 2 B x|0 x 1 C x|1 x 2 D x|x 0 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 由全集 U=R，集 合 A=x|y= =x|2x 0=x|0 x 2，求出x|x 0，或 x 2，再由 B=y|y=2x， x R=y|y 0，能求出（ B 【解答】 解： 全集 U=R， 集合 A=x|y= =x|2x 0=x|0 x 2， x|x 0，或 x 2， B=y|y=2x， x R=y|y 0， （ B=x|x 2 故選 A 2已知復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù)單位），則 z 的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A i B 1+i C i D 1 i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出 【解答】 解： 復(fù)數(shù) z= = = = i， 則 z 的共軛復(fù)數(shù) i 故選： A 3已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 ， 3 2等差數(shù)列，則 =（ ） A 27 B 3 C 1 或 3 D 1 或 27 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 由題意可得公比 q 的方程，解得方程可得 q，可得 =值計(jì)算可得 【解答】 解：設(shè)等比數(shù)列 公比為 q， 由題意可得 +2q 解得 q=3，或 q= 1（舍去）， = =7 故選： A 4已知平面向量 =（ 0， 1）， =（ 2， 2）， | + |=2，則 的值為（ ） A 1+ B 1 C 2 D 1 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 求出 的坐標(biāo)，代入模長(zhǎng)公式列出方程解出 【解答】 解： =（ 2， 2 ）， | |=2， 22+（ 2 ） 2=4，解得 =2 故選： C 5已知 x， y 的取值如表所示，若 y 與 x 線性相關(guān)，且 =a，則 a=（ ） x 0 1 3 4 y 考點(diǎn)】 線性回歸方程 【分析】 由圖表求得 =2， =入回歸直線方程得答案 【解答】 解：由圖表知， =2， = 代入 =a，得 2+a，解得 a= 故選： A 6已知命題 p： x R，使 2x 3x；命題 q： x（ 0， ）， 列是真命題的是（ ） A（ p） q B（ p） （ q） C p （ q） D p （ q） 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真假 【分析】 對(duì)于命題 p，容易發(fā)現(xiàn) x= 1 時(shí)， 2x 3x 成立，所以命題 p 是真命題；對(duì)于 x ， ，所以便可得到 以命題q 是真命題，然后根據(jù) p， p q， p q 的真假和 p， q 真假的關(guān)系即可找出正確選項(xiàng) 【解答】 解： x= 1 時(shí)， 2x 3x， 命題 p 是真命題； ， x ； 0 1， 0； ， ； 即 命題 q 是真命題； p 是假命題，（ p） q 是假命題， q 是假命題，（ p） （ q）是假命題， p （ q）是假命題， p （ q）為真命題 故選 D 7如果執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的值是（ ） A 2016 B 2 C D 1 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， k 的值，當(dāng) k=2016 時(shí)，不滿足條件 k 2016，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 2 【解答】 解：執(zhí)行程序框圖，可得 S=2， k=0 滿足條件 k 2016， S= 1， k=1 滿足條件 k 2016， S= ， k=2 滿足條件 k 2016， S=2， k=3 滿足條件 k 2016， S= 1， k=4 觀察可知 S 的取值周期為 3，由 2016=672 3 滿足條件 k 2016， S= ， k=2015 滿足條件 k 2016， S=2， k=2016 不滿足條件 k 2016，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 2 故選： B 8一個(gè)四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的體積是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)四棱錐，其較長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)已知，底面是一個(gè)正方形，對(duì)角線長(zhǎng)度已知，故先求出底面積，再求出此四棱錐的高，由體積公式求解其體積即可 【解答】 解：由題 設(shè)及圖知，此幾何體為一個(gè)四棱錐，其底面為一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為2 的正方形，故其底面積為 =2 由三視圖知其中一個(gè)側(cè)棱為棱錐的高，其相對(duì)的側(cè)棱與高及底面正方形的對(duì)角線組成一個(gè)直角三角形 由于此側(cè)棱長(zhǎng)為 ，對(duì)角線長(zhǎng)為 2，故棱錐的高為 =3 此棱錐的體積為 =2 故選 B 9已知函數(shù) f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若將其圖象向右平移 個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù) f（ x）的圖象（ ） A關(guān)于直線 x= 對(duì)稱 B關(guān)于直線 x= 對(duì)稱 C關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對(duì)稱 D關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對(duì)稱 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式進(jìn)行求解即可 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ， T= =，解得 =2， 即 f（ x） =2x+）， 將其圖象向右平移 個(gè)單位后得到 y=（ x ） +=2x+ ）， 若此時(shí)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 則 = = +k Z， | ， 當(dāng) k= 1 時(shí)， = 即 f（ x） =2x ） 由 2x = ， 解得 x= + ， k Z， 故當(dāng) k=0 時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為 x= ， 故選： B 10已知變量 x， y 滿足以下條件： x， y R， ， z=ax+y，若 z 的最大值為 3，則實(shí)數(shù) a 的值為（ ） A 2 或 5 B 4 或 2 C 2 D 5 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 畫出滿足條件的平面區(qū)域，分別將角點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出 a 的值即可 【解答】 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示： ， 由 ，解得 A（ 1， 1）， 由 ，解得 B（ 2， 1）， z=ax+y，若 z 的最大值為 3， 即 ax+y=3，將 A（ 1， 1）代入得： a 1=3，解得： a= 4， 將 B（ 2， 1）代入得： 2a 1=3，解得： a= 2， 故選： B 11定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） +f（ x） 2， 1） =2e+4，則不等式f（ x） +2（其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ） A（ 1， + ） B（ ， 0） （ 1， + ） C（ ， 0） （ 0， + ）D（ ， 1） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求得函數(shù)的單調(diào)性，則原不等式轉(zhuǎn)化成 F（ x） F（ 1），利用函數(shù) 的單調(diào)性即可求得不等式的解集 【解答】 解：設(shè) F（ x） =x） 2 x R）， 求導(dǎo) F（ x） =x） + x） 2ex=exf（ x） +f（ x） 2， f（ x） +f（ x） 2， f（ x） +f（ x） 2 0， F（ x） 0， y=F（ x）在定義域上單調(diào)遞增， x） 2，即 F（ x） 4， 又 F（ 1） =1） 2e=4， F（ x） F（ 1）， x 1， 故選 A 12已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的左右焦點(diǎn)為 橢圓 C 上恰好有 6 個(gè)不同的點(diǎn)，使得 等腰三角形，則橢圓 C 的離心率的取值范圍是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 分等腰三角形 底和以 一腰兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合以橢圓焦點(diǎn)為圓心半徑為 2c 的圓與橢圓位置關(guān)系的判斷，建立關(guān)于 a、 c 的不等式，解之即可得到橢圓 C 的離心率的取值范圍 【解答】 解： 當(dāng)點(diǎn) P 與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)， 成以 底邊的等腰三角形， 此種情況有 2 個(gè)滿足條件的等腰 當(dāng) 成以 一腰的等腰三角形時(shí)， 以 為等腰三角形的底邊為例， 1P， 點(diǎn) P 在以 圓心，半徑為焦距 2c 的圓上 因此，當(dāng)以 圓心，半徑為 2c 的圓與橢圓 C 有 2 交點(diǎn)時(shí)， 存在 2 個(gè)滿足條件的等腰 在 ， 2c+2c 2a 2c， 由此得知 3c a所以離心率 e 當(dāng) e= 時(shí)， 等邊三角形，與 中的三角形重復(fù)，故 e 同理，當(dāng) 等腰三角形的底邊時(shí)，在 e 且 e 時(shí)也存在 2 個(gè)滿足條件的等腰 樣，總共有 6 個(gè)不 同的點(diǎn) P 使得 等腰三角形 綜上所述，離心率的取值范圍是： e （ ， ） （ ， 1） 二、填空題：本大題共 4 小題每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上 13點(diǎn) P（ x， y）是圓 y 1） 2=1 內(nèi)部的點(diǎn)，則 y x 的概率 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 求出圓 y 1） 2=1 的面積為 ，滿足 y x 在圓內(nèi)部分的面積為 + ，即可得出概率 【解答】 解：圓 y 1） 2=1 的面積為 ， 滿足 y x 在圓內(nèi)部分的面積為 + ， 所求概率為 ， 故答案為： 14設(shè)數(shù)列 足 a2+0，點(diǎn) n， 任意的 n N+，都有向量 =（ 1， 2），則數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列與向量的綜合 【分析】 由已知得 差數(shù)列，公差 d=2，將 a2=，代入 a2+0，中，得，由此能求出 前 n 項(xiàng)和 【解答】 解： n， （ n+1， ）， =（ 1， =（ 1， 2）， ， 差數(shù)列，公差 d=2，將 a2=， a4= 代入 a2+0 中， 解得 ， +（ n 1） 2=2n 1， = 故答案為： 15在半徑為 10球面上有 A、 B、 C 三點(diǎn)，如果 ， 0，則球心 O 到平面 距離為 6 【考點(diǎn)】 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算 【分析】 設(shè) A、 B、 C 三點(diǎn)所在圓的半徑為 r，圓心為 O，從而可解得 r=8；從而求答案 【解答】 解：設(shè) A、 B、 C 三點(diǎn)所在圓的半徑為 r，圓心為 O， 則 0， 20； 則在等腰三角形 ， =8； 即 r=8； 故球心 O 到平面 距離為 =6（ 故答案為： 6 16已知函數(shù) f（ x） =x3+bx+c 有兩個(gè)極值點(diǎn) f（ =關(guān)于 x 的方程 的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為 3 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 由函數(shù) f（ x） =x3+bx+c 有兩個(gè)極值點(diǎn) 得 f（ x） =3ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，必有 =412b 0而方程 3（ f（ x） 2+2x） +b=0的 1= 0，可知此方程有兩解且 f（ x） = 分別討 論利用平移變換即可解出方程 f（ x） = f（ x） =得個(gè)數(shù) 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =x3+bx+c 有兩個(gè)極值點(diǎn) f（ x） =3ax+b=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， =412b 0解得 ， + ， 而方程 ，即方程 3（ f（ x） 2+2x） +b=0 的 1= 0， 此方程有兩解且 f（ x） = 不妨取 0 f（ 0 把 y=f（ x）向下平移 單位即可得到 y=f（ x） 圖象， f（ = 知方程 f（ x） =兩解 把 y=f（ x）向下平移 單位即可得到 y=f（ x） 圖象， f（ = f（ 0，可知方程 f（ x） =有一解 綜上 可知：方程 f（ x） = f（ x） =有 3 個(gè)實(shí)數(shù)解即關(guān)于 x 的方程3（ f（ x） 2+2x） +b=0 的只有 3 不同實(shí)根 故答案為 3 三、解答題：本大題共 5 小題，共 60 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，函數(shù) f（ x） =2x A）（ x R）在 處取得最小值 （ 1）求角 A 的大小 （ 2）若 a=7 且 ，求 面積 【考點(diǎn)】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得 f（ x） =2x A），由已知及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得 2 A=2，結(jié)合 A 的范圍即可得解 A 的值 （ 2）由已知及正弦定理得 ，解得 b+c=13，由余弦定理可得0，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ 1） f（ x） =2x A） =2+22x A）， ， ， A （ 0， ）， （ 2）由正弦定理 ，得 即 = ， 可得： b+c=13， 由余弦定理 a2=b2+2得： b+c） 2 22得： 49=169 3 可得： 0， 18某高校在 2012 年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取 40 名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分成五組：第 1 組 75， 80），第 2 組 80， 85），第 3 組 85， 90），第 4組 90， 95），第 5 組 95， 100，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時(shí)規(guī)定成績(jī)?cè)?85 分以上（含 85 分）的學(xué)生為 “優(yōu)秀 ”，成績(jī)小于 85 分的學(xué)生為 “良好 ”，且只有成績(jī)?yōu)?“優(yōu)秀 ”的學(xué)生才能獲得面試資格 （ 1）求出第 4 組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖； （ 2）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)； （ 3）如果用分層抽樣的方法從 “優(yōu)秀 ”和 “良好 ”的學(xué)生中選出 5 人，再?gòu)倪@ 5 人中選 2 人，那么至少有一人是 “優(yōu)秀 ”的概率是多少？ 【考點(diǎn)】 莖葉圖；分層抽樣方法；頻率分布表 【分析】 （ 1）根據(jù)頻率分步直方圖的性質(zhì)，根據(jù)所給的頻率分步直方圖中小矩形的長(zhǎng)和寬，求出矩形的面積，即這組數(shù)據(jù)的頻率，根據(jù)各小組的頻率之和為 1求出第四組的頻率，進(jìn)一步補(bǔ)全頻率分布直方圖 （ 2）第一、二兩組的頻率和為 三組的頻率為 以中位數(shù)落在第三組，由此能求出筆試成績(jī)的中位數(shù) （ 3）根據(jù)概率公式計(jì)算，事件 “5 位同學(xué)中抽兩位同學(xué) ”有 10 種可能，而且這些事件的可能性相同 ，其中事件 “至少有一人是 “優(yōu)秀 ”可能種數(shù)是 9，那么即可求得事件 M 的概率 【解答】 解：（ 1）其它組的頻率為 （ 5= 所以第 4 組的頻率為 頻率分布圖如圖： （ 2）設(shè)樣本的中位數(shù)為 x，則 5 x 85） 解得 ， 所以樣本中位數(shù)的估計(jì)值為 （ 3）依題意良好的人數(shù)為 40 6 人，優(yōu)秀的人數(shù)為 40 4 人 優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為 3： 2，所以采用分層抽樣的方法抽取的 5 人中有優(yōu)秀 3人，良好 2 人 記 “從這 5 人中選 2 人至少有 1 人是優(yōu)秀 ”為事件 M， 將考試成績(jī)優(yōu)秀的三名學(xué)生記為 A， B， C，考試成績(jī)良好的兩名學(xué)生記為 a， b 從這 5 人中任選 2 人的所有基本事件包括： 10 個(gè)基本事件 事件 M 含的情況是： 9 個(gè) 所以 19如圖在直角梯形 ， 2D=4，現(xiàn)以 然后沿邊 矩形 折，使平面 平面 直 （ 1）求證： 平面 （ 2）若點(diǎn) D 到平面 距離為 ，求三棱錐 F 體積 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由已知利用面面垂直的性質(zhì)可得 解直角三角形可得 由線面垂直的判斷得答案； （ 2）設(shè) DE=x，利用 E 得 x 值，再利用 B 得三棱錐 F 體積 【解答】 （ 1）證明：在正方形 ， 又 平面 平面 平面 平面 D， 平面 在直角梯形 ， D=2， ，可得 在 ， D=2 ， ， ， 平面 （ 2）解： 平面 ， 設(shè) DE=x，則 = 又 ， 聯(lián)立解得 x= 20如圖，橢圓 的離心率為 ，其左焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為 3，點(diǎn) P（ 2， 1）為橢圓外一點(diǎn)，不過(guò)原點(diǎn) O 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，且線段 直線 分 （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 （ 2）求 積最大值時(shí)的直線 l 的方程 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由橢圓的幾何性質(zhì)可知 e= = ， a+c=3， b2=可求得 a 和b 的值，求得橢圓方程； （ 2）由 A 和 B 在橢圓上，將 A 和 B 點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得直線斜率 直線 方程， y= ，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得 xA+xA弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式求 得 m=1 時(shí)， S 最大值，即可求得直線 l 的方程 【解答】 解：（ 1）由題意可知： e= = ， 左焦點(diǎn)（ c， 0）到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為 3， 即使 a+c=3，可解得： a=2， c=1， b2=， 所求橢圓 C 的方程為： ； （ 2）易得直線 方程： y= x， 設(shè) A（ B（ R（ 其中 A， B 在橢圓上， ， = = 設(shè)直線 方程為 l： y= （ m 0）， 代入橢圓： ，整理得： 3 3mx+ 3=0 ，根據(jù)韋達(dá)定理可知： xA+xB=m， xA， | ， 點(diǎn) P（ 2， 1）到直線 l 的距離為： d=丨 丨 =丨 丨， S d| |m 4| ， 當(dāng) m=1 時(shí)， S 最大值， 此時(shí)直線 l 的方程 y= +1 21已知函數(shù) （ 1）當(dāng) 時(shí)，討論 f（ x）的單調(diào) 性 （ 2）設(shè) g（ x） =2當(dāng) 時(shí)，若對(duì)任意 （ 0， 2），存在 1， 2，使 f（ g（ 求實(shí)數(shù) b 取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ 2）問(wèn)題等價(jià)于 g（ x）在 1， 2上的最小值不大于 f（ x）在（ 0， 2）上的最小值 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù) g（ x）的最小值和 f（ x）的最小值，得到關(guān)于 b 的不等式，解出即可 【解答】 解：（ 1）因?yàn)?所以 令 f（ x） =0，解得： x=1 或 1， 當(dāng) 0 a 時(shí)， ， x （ 0， 1）時(shí)，此時(shí) f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí) f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí) f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減： （ 2）因?yàn)?，由（ I）知， ， 當(dāng) x （ 0， 1）時(shí)， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減； 當(dāng) x （ 1， 2）時(shí)， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增， 所以 f（ x）在（ 0， 2）上的最小值為 由于 “對(duì)任意 （ 0， 2），存在 1， 2， 使 f（ g（ 價(jià)于 g（ x）在 1， 2上的最小值不大于 f（ x）在（ 0， 2）上的最小值 ”（ *） 又 g（ x） =（ x b） 2+4 x 1， 2， 所以 當(dāng) b 1 時(shí)，因?yàn)?g（ x） g（ 1） =5 2b 0 此時(shí)與（ *）矛盾， 當(dāng) 1 b 2 時(shí)，因?yàn)?同樣與（ *）矛盾， 當(dāng) b 2 時(shí)，因?yàn)?g