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1.第二章2. 設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為:X2(), 1,33xPc求 c 的值。解:由分布律的性質(zhì): ,得31()xX312817xxc所以有 278c3. 一口袋中裝有 m 個白球, n m 個黑球,連續(xù)無放回地從袋中取球,直到取出黑球?yàn)橹?,此時(shí)取出了 個白球,求 的分布律。X解:由題設(shè)知,隨機(jī)變量 的可能取值為: ,且事件0,12,m表示一共取了 k +1 次球,前 k 次取到的都是白球,第 k +1 次取()0,12,)k到的是黑球。所以有 1(), 0,2,.kmnCPX4. 設(shè)一個試驗(yàn)只有兩個結(jié)果:成功或失敗,且每次試驗(yàn)成功的概率為 ,現(xiàn) (01)p進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn),求下列 的分布律。X(1) 將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止,以 表示所需的試驗(yàn)次數(shù)(幾何分布)X(2) 將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn) k 次成功為止,以 表示獲得 k 次成功時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)(巴斯卡分布)解:(1)由題設(shè)知,隨機(jī)變量 的可能取值為: ,且事件 表1,2 ()1,2)Xn示一共進(jìn)行了 n 次試驗(yàn),且前 n 1 次均是失敗,而第 n 次成功。所以有1()(,.nPXp(2) 由題設(shè)知,隨機(jī)變量 的可能取值為: ,且事件X,12,k表示一共進(jìn)行了 n 次試驗(yàn),且前 n 1 次中成功了 k 1 次,(),12,)Xnk而第 n 次也成功。所以有1()(), ,12,.knknPXCpk5. 求 k 使得二項(xiàng)分布 達(dá)到最大值。(;,)b解:假設(shè)有 0()max()lnPXkPXl則有: ()(1)kk1(1)(1)knknknCpp()()1kpnk()1所以當(dāng) 為整數(shù)時(shí), 或 時(shí), 的值最大;(1)np(1)knp()knp()PXk當(dāng) 不是整數(shù)時(shí), ( 表示不超過 x 的最大整數(shù))時(shí), 的x()k值最大。6. 設(shè)某商店銷售某商品的數(shù)量服從參數(shù)為 5 的泊松分布,問在月初進(jìn)貨多少才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為 0.999。解:假設(shè)在月初進(jìn)貨量為 x 時(shí),才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為 0.999。則由題意有()0.9PXx即 05().!kxe由此得到 x = 16。7. 設(shè)隨機(jī)變量 具有對稱的密度函數(shù) ,即 ,證明對任意的 ,X()fx()fx0a有(1) ;01()()()2aFafd(2) ;|P(3) 。(|)1()XFa證明:(1) (=1-F(a)()()()()()()xuaaaaFfdfdfudfuFa 02aFxxd0112()()()()aafFf(2)因?yàn)?| ()PXXPXFa所以由(1)知,有 (|)2(1a(3) 因?yàn)?|1|(|)aa所以由(2)知,有 (|)PXF8. 設(shè) 都是一元分布函數(shù), ,證明 也是分布12(),Fx,01ab12()aFxb函數(shù)。證明:令 ,要證 是分布函數(shù),只要證 滿足以下性質(zhì)既12()()abFx()x()可:(1) 非降函數(shù);()Fx(2) ;1,()0(3) 是右連續(xù)函數(shù)。()x因?yàn)?都是一元分布函數(shù),所以 滿足上面的性質(zhì),又因?yàn)?2,F12(),Fx,所以有,0ab是非12()()xbx降函數(shù) 12()()()1FaFab01212, ,()lim()li()()()()yxyxFyaxbFx 即 是分布函數(shù)F9. 設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ,求常數(shù) 及密度函數(shù)。X()arctnxABx,AB解:由分布函數(shù)的性質(zhì)有: lim()120xFAB由此得到: 。1,2AB所以密度函數(shù)是: 21(), ()fxFxx10. 設(shè)隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為X,0() (0)xef求 c,使得 。1()2PXc解:因?yàn)?,所以有e1()ln2cPXe11. 確定下列函數(shù)中的常數(shù) A,使之成為密度函數(shù):(1) ;|()xfe(2) 4,0(1) fx(3) 2,()3 0,.Afxothers解:(1) 由 ,有()1fdx0 1()22 2xfAedA驗(yàn)證下列函數(shù)(2) 4011() 6()6fxdx (3) 2312961() 629fxdAxdA12. 某城市每天用電量不超過百萬度,以 表示每天的耗電量(即用電量除以百萬度) ,它X具有密度函數(shù) 2(1),01,().xxf others若該城市每天的供電量僅 80 萬度,求供電量不夠需要的概率是多少?如果每天供電量 80萬度呢?解:若該城市每天的供電量僅 80 萬度,則供電量不夠需要的概率是: 1120.80.8(.)()()0.7PXfxdxd若該城市每天供電量為 90 萬度,則供電量不夠需要的概率是: 1120.90.9(.)()().3f13. 某城市每天用電量不超過百萬度,以 表示每天的耗電量(即用電量除以百萬度) ,它X具有密度函數(shù) 21(),1,()0.xxf others若該城市每天的供電量僅 80 萬度,求供電量不夠需要的概率是多少?如果每天供電量 80萬度呢?解:若該城市每天的供電量僅 80 萬度,則供電量不夠需要的概率是: 1120.80.8(.)()()0.7PXfxdxd若該城市每天供電量為 90 萬度,則供電量不夠需要的概率是: 1120.90.9(.)()().3f14. 設(shè)隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 ,X(8,)N(1) 求 ;(01.7.6)P(2) 求常數(shù) a,使 ;(09(3) 求常數(shù) a,使 。|).1Xa解: 因?yàn)?,所以 ,則有(108, )N:8(0, )3N:(1) .117.68108(0.7.6)( )(2.33.2)3 3.2)(.)092(0.959XXPXPP108108()()()33XaaPa又因?yàn)?,所以有.25.91.285 1.85(3) (|)()()(2)(0)001 332188 ()()()PXaPaXaPXa又因?yàn)?,所以(2.35)0.90.25 7.453aa15. 設(shè)隨機(jī)變量 服從 上的均勻分布,求 的密度函數(shù)X(, 1)lnYX解: 易知 的取值范圍是 ,對任意的 ,有l(wèi)nY(0, )0y22()2ln(ln)()12yyYFyPXyPPe所以 的密度函數(shù)為2lnX21,0,().yYefyF16. 設(shè)隨機(jī)變量 服從 上的均勻分布,求 的密度函數(shù)。X2(, )NaX解:先求 的分布函數(shù)eFx0,0,()(ln),.XxPex當(dāng) 時(shí),有0x 2()ln1(l)taxed所以 的密度函數(shù)是:Xe2(ln)1,0,()20, .xaefxF17. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間(以分記)服從指數(shù)分布,其密度為: 51,0,().xef某顧客若等待時(shí)間超過 10 分,他就離開,一個 月他去銀行 5 次,以 表示一個月內(nèi)他未Y等待服務(wù)而離開的次數(shù)。寫出 的分布律,并求 。Y(1)PY解:設(shè)顧客的等待時(shí)間為 ,則有: X251010()()xpPfxde所以 ,即2(5, )Ybe:2255()(), ,234,5kkYCe5101()0.167PYe1.第三章2. 在袋中裝有 個球,其中有 個紅球, 個白球,且 ,現(xiàn)從中任取 個球n1n212nr( ) ,設(shè)取出的紅球數(shù)為 ,取出的白球數(shù)為 ,求 的分布律12mi,rXY(,)X與邊緣分布律。解: 的分布律為:(,)XY1212,(0,1,)klrklnnCPkl rlrkl 邊緣分布律為: 1,(,)krnXr2,(01,)lrlnCPYr3. 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布律為:(,)X(1),!nmnpYe,求邊緣分布律。0,1; 0,1(, 0)mn 解: 關(guān)于 的邊緣分布律為:()XY00(1),!nmnnmpPXYe0! (1) 0,2!()!n nmeep 即 服從參數(shù)為 的 Poisson 分布。X關(guān)于 的邊緣分布律為:(,)Y 0(1)(1),!(1) ! ! ,2!nmnnmnmkkpppPXYepee ,即 服從參數(shù)為 的 Poisson 分布。Yp4. 設(shè)隨機(jī)向量 的密度函數(shù)為:(,)XY1,0,2,(,)2.xyfxyothers求 中至少有一個小于 的概率。,XY解:設(shè) 為事件“ 中至少有一個小于 ”。則有A,Y121,203(),)8xyPXYdx所以 中至少有一個小于 的概率為:,XY125()8PA5. 設(shè)隨機(jī)向量 的密度函數(shù)為:(, ),0,(1)(,) (2)0,.ncxyyfxynothers求常數(shù) c 及求邊緣密度函數(shù)。解:由 10 01(,) ()(1) ()2nncfxyddxycxdcn 得 2cn關(guān)于 的邊緣密度函數(shù)為:(,)XY 10(1)2,0,(2),0,()(,) , nnX dyxxxfxfyd 關(guān)于 的邊緣密度函數(shù)為:(, )Y 10(1)2,0,(2),0,()(,) , nnY dxyyfyfxyd 6. 設(shè)隨機(jī)向量 在由曲線: 所圍成的區(qū)域 內(nèi)服從均勻分布,寫出(, )XY2,yxG的聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)。(, )解:因?yàn)閰^(qū)域 : 的面積是 ,所以 的聯(lián)合密度函數(shù)為:G201,xyx16(, )XY2,0,(,).xyfothers關(guān)于 的邊緣密度函數(shù)為:(, )XY2 6(1),01,6,0,(,) .x xxdyfxfy othersothers關(guān)于 的邊緣密度函數(shù)為:(, )XY6,01,6(),01,()(,) .yY dxyyfyfx othersothers7. 設(shè)隨機(jī)向量 的聯(lián)合密度函數(shù)為:(, )X,01,(,).xyyfothers求:在 的條件下, 的
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