概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)金治明李永樂(lè)版課后答案

1.第二章2. 設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為：X2(), 1,33xPc求 c 的值。解：由分布律的性質(zhì)： ，得31()xX312817xxc所以有 278c3. 一口袋中裝有 m 個(gè)白球， n m 個(gè)黑球，連續(xù)無(wú)放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，此時(shí)取出了 個(gè)白球，求 的分布律。X解：由題設(shè)知，隨機(jī)變量 的可能取值為： ，且事件0,12,m表示一共取了 k +1 次球，前 k 次取到的都是白球，第 k +1 次取()0,12,)k到的是黑球。所以有 1(), 0,2,.kmnCPX4. 設(shè)一個(gè)試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：成功或失敗，且每次試驗(yàn)成功的概率為 ，現(xiàn) (01)p進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，求下列 的分布律。X（1） 將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以 表示所需的試驗(yàn)次數(shù)（幾何分布）X（2） 將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn) k 次成功為止，以 表示獲得 k 次成功時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)（巴斯卡分布）解：（1）由題設(shè)知，隨機(jī)變量 的可能取值為： ，且事件 表1,2 ()1,2)Xn示一共進(jìn)行了 n 次試驗(yàn)，且前 n 1 次均是失敗，而第 n 次成功。所以有1()(,.nPXp（2） 由題設(shè)知，隨機(jī)變量 的可能取值為： ，且事件X,12,k表示一共進(jìn)行了 n 次試驗(yàn)，且前 n 1 次中成功了 k 1 次，(),12,)Xnk而第 n 次也成功。所以有1()(), ,12,.knknPXCpk5. 求 k 使得二項(xiàng)分布 達(dá)到最大值。(;,)b解：假設(shè)有 0()max()lnPXkPXl則有： ()(1)kk1(1)(1)knknknCpp()()1kpnk()1所以當(dāng) 為整數(shù)時(shí)， 或 時(shí)， 的值最大；(1)np(1)knp()knp()PXk當(dāng) 不是整數(shù)時(shí)， （ 表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)）時(shí)， 的x()k值最大。6. 設(shè)某商店銷售某商品的數(shù)量服從參數(shù)為 5 的泊松分布，問(wèn)在月初進(jìn)貨多少才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為 0.999。解：假設(shè)在月初進(jìn)貨量為 x 時(shí)，才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為 0.999。則由題意有()0.9PXx即 05().!kxe由此得到 x = 16。7. 設(shè)隨機(jī)變量 具有對(duì)稱的密度函數(shù) ，即 ，證明對(duì)任意的 ，X()fx()fx0a有（1） ；01()()()2aFafd（2） ；|P（3） 。(|)1()XFa證明：（1） (=1-F(a)()()()()()()xuaaaaFfdfdfudfuFa 02aFxxd0112()()()()aafFf（2）因?yàn)?| ()PXXPXFa所以由（1）知，有 (|)2(1a（3） 因?yàn)?|1|(|)aa所以由（2）知，有 (|)PXF8. 設(shè) 都是一元分布函數(shù)， ，證明 也是分布12(),Fx,01ab12()aFxb函數(shù)。證明：令 ，要證 是分布函數(shù)，只要證 滿足以下性質(zhì)既12()()abFx()x()可：（1） 非降函數(shù)；()Fx（2） ；1,()0（3） 是右連續(xù)函數(shù)。()x因?yàn)?都是一元分布函數(shù)，所以 滿足上面的性質(zhì)，又因?yàn)?2,F12(),Fx，所以有,0ab是非12()()xbx降函數(shù) 12()()()1FaFab01212, ,()lim()li()()()()yxyxFyaxbFx 即 是分布函數(shù)F9. 設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ，求常數(shù) 及密度函數(shù)。X()arctnxABx,AB解：由分布函數(shù)的性質(zhì)有： lim()120xFAB由此得到： 。1,2AB所以密度函數(shù)是： 21(), ()fxFxx10. 設(shè)隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為X,0() (0)xef求 c，使得 。1()2PXc解：因?yàn)?，所以有e1()ln2cPXe11. 確定下列函數(shù)中的常數(shù) A，使之成為密度函數(shù)：（1） ；|()xfe（2） 4,0(1) fx（3） 2,()3 0,.Afxothers解：（1） 由 ，有()1fdx0 1()22 2xfAedA驗(yàn)證下列函數(shù)（2） 4011() 6()6fxdx （3） 2312961() 629fxdAxdA12. 某城市每天用電量不超過(guò)百萬(wàn)度，以 表示每天的耗電量（即用電量除以百萬(wàn)度） ，它X具有密度函數(shù) 2(1),01,().xxf others若該城市每天的供電量?jī)H 80 萬(wàn)度，求供電量不夠需要的概率是多少？如果每天供電量 80萬(wàn)度呢？解：若該城市每天的供電量?jī)H 80 萬(wàn)度，則供電量不夠需要的概率是： 1120.80.8(.)()()0.7PXfxdxd若該城市每天供電量為 90 萬(wàn)度，則供電量不夠需要的概率是： 1120.90.9(.)()().3f13. 某城市每天用電量不超過(guò)百萬(wàn)度，以 表示每天的耗電量（即用電量除以百萬(wàn)度） ，它X具有密度函數(shù) 21(),1,()0.xxf others若該城市每天的供電量?jī)H 80 萬(wàn)度，求供電量不夠需要的概率是多少？如果每天供電量 80萬(wàn)度呢？解：若該城市每天的供電量?jī)H 80 萬(wàn)度，則供電量不夠需要的概率是： 1120.80.8(.)()()0.7PXfxdxd若該城市每天供電量為 90 萬(wàn)度，則供電量不夠需要的概率是： 1120.90.9(.)()().3f14. 設(shè)隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 ，X(8,)N（1） 求 ；(01.7.6)P（2） 求常數(shù) a，使 ；(09（3） 求常數(shù) a，使 。|).1Xa解： 因?yàn)?，所以 ，則有(108, )N:8(0, )3N:（1） .117.68108(0.7.6)( )(2.33.2)3 3.2)(.)092(0.959XXPXPP108108()()()33XaaPa又因?yàn)?，所以有.25.91.285 1.85（3） (|)()()(2)(0)001 332188 ()()()PXaPaXaPXa又因?yàn)?，所以(2.35)0.90.25 7.453aa15. 設(shè)隨機(jī)變量 服從 上的均勻分布，求 的密度函數(shù)X(, 1)lnYX解： 易知 的取值范圍是 ，對(duì)任意的 ，有l(wèi)nY(0, )0y22()2ln(ln)()12yyYFyPXyPPe所以 的密度函數(shù)為2lnX21,0,().yYefyF16. 設(shè)隨機(jī)變量 服從 上的均勻分布，求 的密度函數(shù)。X2(, )NaX解：先求 的分布函數(shù)eFx0,0,()(ln),.XxPex當(dāng) 時(shí)，有0x 2()ln1(l)taxed所以 的密度函數(shù)是：Xe2(ln)1,0,()20, .xaefxF17. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間（以分記）服從指數(shù)分布，其密度為： 51,0,().xef某顧客若等待時(shí)間超過(guò) 10 分，他就離開(kāi)，一個(gè) 月他去銀行 5 次，以 表示一個(gè)月內(nèi)他未Y等待服務(wù)而離開(kāi)的次數(shù)。寫(xiě)出 的分布律，并求 。Y(1)PY解：設(shè)顧客的等待時(shí)間為 ，則有： X251010()()xpPfxde所以 ，即2(5, )Ybe:2255()(), ,234,5kkYCe5101()0.167PYe1.第三章2. 在袋中裝有 個(gè)球，其中有 個(gè)紅球， 個(gè)白球，且 ，現(xiàn)從中任取 個(gè)球n1n212nr（ ） ，設(shè)取出的紅球數(shù)為 ，取出的白球數(shù)為 ，求 的分布律12mi,rXY(,)X與邊緣分布律。解： 的分布律為：(,)XY1212,(0,1,)klrklnnCPkl rlrkl 邊緣分布律為： 1,(,)krnXr2,(01,)lrlnCPYr3. 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布律為：(,)X(1),!nmnpYe，求邊緣分布律。0,1; 0,1(, 0)mn 解： 關(guān)于 的邊緣分布律為：()XY00(1),!nmnnmpPXYe0! (1) 0,2!()!n nmeep 即 服從參數(shù)為 的 Poisson 分布。X關(guān)于 的邊緣分布律為：(,)Y 0(1)(1),!(1) ! ! ,2!nmnnmnmkkpppPXYepee ，即 服從參數(shù)為 的 Poisson 分布。Yp4. 設(shè)隨機(jī)向量 的密度函數(shù)為：(,)XY1,0,2,(,)2.xyfxyothers求 中至少有一個(gè)小于 的概率。,XY解：設(shè) 為事件“ 中至少有一個(gè)小于 ”。則有A,Y121,203(),)8xyPXYdx所以 中至少有一個(gè)小于 的概率為：,XY125()8PA5. 設(shè)隨機(jī)向量 的密度函數(shù)為：(, ),0,(1)(,) (2)0,.ncxyyfxynothers求常數(shù) c 及求邊緣密度函數(shù)。解：由 10 01(,) ()(1) ()2nncfxyddxycxdcn 得 2cn關(guān)于 的邊緣密度函數(shù)為：(,)XY 10(1)2,0,(2),0,()(,) , nnX dyxxxfxfyd 關(guān)于 的邊緣密度函數(shù)為：(, )Y 10(1)2,0,(2),0,()(,) , nnY dxyyfyfxyd 6. 設(shè)隨機(jī)向量 在由曲線： 所圍成的區(qū)域 內(nèi)服從均勻分布，寫(xiě)出(, )XY2,yxG的聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)。(, )解：因?yàn)閰^(qū)域 ： 的面積是 ，所以 的聯(lián)合密度函數(shù)為：G201,xyx16(, )XY2,0,(,).xyfothers關(guān)于 的邊緣密度函數(shù)為：(, )XY2 6(1),01,6,0,(,) .x xxdyfxfy othersothers關(guān)于 的邊緣密度函數(shù)為：(, )XY6,01,6(),01,()(,) .yY dxyyfyfx othersothers7. 設(shè)隨機(jī)向量 的聯(lián)合密度函數(shù)為：(, )X,01,(,).xyyfothers求：在 的條件下， 的