《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習題及答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第1頁（共57頁）概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一部份習題第一章概率論基本概念一、填空題1、設A，B，C為3事件，則這3事件中恰有2個事件發(fā)生可表示為。2、設，且A與B互不相容，則。0,10BPBP3、口袋中有4只白球，2只紅球，從中隨機抽取3只，則取得2只白球，1只紅球的概率為。4、某人射擊的命中率為07，現(xiàn)獨立地重復射擊5次，則恰有2次命中的概率為。5、某市有50的住戶訂晚報，有60的住戶訂日報，有80的住戶訂這兩種報紙中的一種，則同時訂這兩種報紙的百分比為。6、設A，B為兩事件，則。30,70BAPBAP7、同時拋擲3枚均勻硬幣，恰有1個正面的概率為。8、設A，B為兩事件，則。2,59、10個球中只有1個為紅球，不放回地取球，每次1個，則第5次才取得紅球的概率為。10、將一骰子獨立地拋擲2次，以X和Y分別表示先后擲出的點數(shù)，10YXA，則。YXB|ABP11、設是兩事件，則的差事件為。A,12、設構成一完備事件組，且則，C,70,5BPCABP。13、設與為互不相容的兩事件，則。B,|A14、設與為相互獨立的兩事件，且，則。A407概率論與數(shù)理統(tǒng)計第2頁（共57頁）15、設是兩事件，則。BA,360,90ABPBAP16、設是兩個相互獨立的事件，則。,4217、設是兩事件，如果，且，則,20,7|。18、設，則。21,41,3BAPAPBAP19、假設一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60，30，10。從中隨機取一件，結果不是三等品，則為一等品的概率為20、將個球隨機地放入個盒子中，則至少有一個盒子空的概率為。NN二、選擇題1、設，則下列成立的是0ABPA和B不相容A和B獨立0BORPAAPB2、設是三個兩兩不相容的事件，且，則的最大值C,AC為1/211/31/43、設A和B為2個隨機事件，且有，則下列結論正確的是1|ABCPPC1BPA4、下列命題不成立的是BABA5、設為兩個相互獨立的事件，則有（）,0,P01BPA|A1|AB|BP6、設為兩個對立的事件，則不成立的是（）,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3頁（共57頁）0011BPA|A|BAPABP7、設為事件，則有（）,A和B不相容A和B獨立A和B相互對立8、設為兩個相互獨立的事件，則為（）,0,PBAP111P9、設為兩事件，且，則當下面條件（）成立時，有BA,A3070與獨立與互不相容與對立不包含BABAB10、設為兩事件，則表示（）,必然事件不可能事件與恰有一個發(fā)生與不同時發(fā)生11、每次試驗失敗的概率為，則在3次重復試驗中至少成功一次的概率為10P（）13P313213PC12、10個球中有3個紅球7個綠球，隨機地分給10個小朋友，每人一球，則最后三個分到球的小朋友中恰有一個得到紅球的概率為（）103C210213073102713、設，則下列結論成立的是（）8|,7,8BAPAP與獨立與互不相容BBPA14、設為三事件，正確的是（）C,1ABP1PAB15、擲2顆骰子，記點數(shù)之和為3的概率為，則為（）P1/21/41/181/36概率論與數(shù)理統(tǒng)計第4頁（共57頁）16、已知兩事件的概率都是1/2,則下列結論成立的是（）BA,1P1BAPABP2117、為相互獨立事件，則下列4對事件中不相互獨立的是（）C,0C與與與與BAC18、對于兩事件，與不等價的是（）,BAAB19、對于概率不為零且互不相容的兩事件，則下列結論正確的是（）,與互不相容與相容ABABPAAP三、計算題1、某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共有100個，其中有5個次品。從中取30個進行檢查，求次品數(shù)不多于1個的概率。2、某人有5把形狀近似的鑰匙，其中有2把可以打開房門，每次抽取1把試開房門，求第三次才打開房門的概率。3、某種燈泡使用1000小時以上的概率為02，求3個燈泡在使用1000小時以后至多有1個壞的概率。4、甲、乙、丙3臺機床加工同一種零件，零件由各機床加工的百分比分別為45，35，20。各機床加工的優(yōu)質品率依次為85，90，88，將加工的零件混在一起，從中隨機抽取一件，求取得優(yōu)質品的概率。若從中取1個進行檢查，發(fā)現(xiàn)是優(yōu)質品，問是由哪臺機床加工的可能性最大。6、某人買了三種不同的獎券各一張，已知各種獎券中獎的概率分別為CBA,；并且各種獎券中獎是相互獨立的。如果只要有一種獎券中獎則此人一定02,13賺錢，求此人賺錢的概率。7、教師在出考題時，平時練習過的題目占60，學生答卷時，平時練習過的題目在考試時答對的概率為95，平時沒有練習過的題目在考試時答對的概率為30。求答對而平時沒有練習過的概率8、有兩張電影票，3人依次抽簽得票。求每個人抽到電影票的概率。9、有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第1個人抽的結果尚未公開，由第2個人抽的結果去猜測第1個人抽的結果。問如果第2個人抽到電影票，問第1個人抽到電影票的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第5頁（共57頁）10、一批產(chǎn)品的次品率為01，現(xiàn)任取3個產(chǎn)品，問3個產(chǎn)品中有幾個次品的概率的可能性最大。11、有5個除顏色外完全相同的球，其中三個白色，兩個紅色。從中任取兩個，（1）求這兩個球顏色相同的概率；（2）兩球中至少有一紅球的概率。12、設是兩個事件，用文字表示下列事件。BA,BAA,13、從1100這100個自然數(shù)中任取1個，求（1）取到奇數(shù)的概率；（2）取到的數(shù)能被3整除的概率；（3）取到的數(shù)能被6整除的偶數(shù)。14、對次品率為5的某箱燈泡進行檢查，檢查時，從中任取一個，如果是次品，就認為這箱燈泡不合格而拒絕接受，如果是合格品就再取一個進行檢查，檢查過的產(chǎn)品不放回，如此進行五次。如果5個燈泡都是合格品，則認為這箱燈泡合格而接受，已知每箱燈泡有100個，求這箱燈泡被接受的概率。15、某人有5把形狀近似的鑰匙，其中只有1把能打開他辦公室的門，如果他一把一把地用鑰匙試著開門，試過的鑰匙放在一邊，求（1）他試了3次才能打開他辦公室的門的概率；（2）他試了5次才能打開他辦公室的門的概率16、10個塑料球中有3個黑色，7個白色，今從中任取2個，求已知其中一個是黑色的條件下，另一個也是黑色的概率。17、裝有10個白球，5個黑球的罐中丟失一球，但不知是什么顏色。為了猜測丟失的球是什么顏色，隨機地從罐中摸出兩個球，結果都是白色球，問丟失的球是黑色球的概率。18、設有三只外形完全相同的盒子，號盒中裝有14個黑球，6個白球；號盒中裝有5個黑球,25個白球；號盒中裝有8個黑球，42個白球?，F(xiàn)從三個盒子中任取一盒，再從中任取一球，求（1）取到的球為黑色球的概率；（2）如果取到的球為黑色球，求它是取自號盒的概率。19、三種型號的圓珠筆桿放在一起，其中型的有4支，型的有5支，型的有6支；這三種型號的圓珠筆帽也放在一起，其中型的有5個，型的有7個，型的有8個?，F(xiàn)在任意取一個筆桿和一個筆帽，求恰好能配套的概率。20、有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第1個人抽的結果尚未公開，由第2個人抽的結果去猜測第1個人抽的結果。問如果第2個人抽到電影票，問第1個人抽到電影票的概率。21、甲、乙、丙、丁4人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為02,03,04,07,求此密碼能譯出的概率是多少。22、袋中10個白球，5個黃球，10個紅球，從中取1個，已知不是白球，求是黃球的概率。23、設每次試驗事件發(fā)生的概率相同，已知3次試驗中至少出現(xiàn)一次的概率為AA19/27，求事件在一次試驗中出現(xiàn)的概率。24、甲、乙、丙3臺機床獨立工作，由1個人看管，某段時間甲、乙、丙3臺機床不需概率論與數(shù)理統(tǒng)計第6頁（共57頁）看管的概率分別為09，08，085，求在這段時間內機床因無人看管而停工的概率。25、一批產(chǎn)品共有100件，對其進行檢查，整批產(chǎn)品不合格的條件是在被檢查的4件產(chǎn)品中至少有1件廢品。如果在該批產(chǎn)品中有5是廢品，問該批產(chǎn)品被拒收的概率是多少。26、將3個球隨機地放入4個杯子中，求杯子中球的個數(shù)的最大值為2的概率。27、甲、乙2班共有70名同學，其中女同學40名，設甲班有30名同學，而女同學15名，求碰到甲班同學時，正好碰到女同學的概率。28、一幢10層的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客在第二層起離開電梯。假設每位乘客在哪一層離開是等可能的，求沒有2位及2位以上乘客在同一層離開的概率。29、某種動物由出生到20歲的概率為08，活到25歲的概率為04，問現(xiàn)在20歲的動物活到25歲的概率為多少30、每門高射炮（每射一發(fā)）擊中目標的概率為06，現(xiàn)有若干門高射炮同時發(fā)射（每炮射一發(fā)），欲以99以上的概率擊中目標，問至少需要配置幾門高射炮31、電路由電池A與2個并聯(lián)的電池B和C串聯(lián)而成，設電池A，B，C損壞的概率分別為02，03，03，求電路發(fā)生間斷的概率。32、袋中10個白球，5個黃球，從中不放回地取3次，試求取出的球為同顏色的球的概率。33、假設目標在射程之內的概率為07，這時射擊的命中率為06，試求兩次獨立射擊至少有一次擊中的概率。34、假設某地區(qū)位于甲乙二河流的匯合處，當任一河流泛濫時，該地區(qū)即遭受水災。設某段時期內甲河流泛濫的概率為01，乙河流泛濫的概率為02，當甲河流泛濫時乙河流泛濫的概率為03，求（1）該時期內這地區(qū)遭受水災的概率；（2）當乙河流泛濫時甲河流泛濫的概率。35、甲、乙、丙3人同向飛機射擊。擊中飛機的概率分別為04，05，07。如果有1人擊中，則飛機被擊落的概率為02，如果有2人擊中，則飛機被擊落的概率為06，如果有3人擊中，則飛機一定被擊落。求飛機被擊落的概率。36、一射手命中10環(huán)的概率為07，命中9環(huán)的概率為03，求該射手3發(fā)子彈得到不小于29環(huán)的概率。38、甲、乙2名乒乓球運動員進行單打比賽，如果每賽局甲勝的概率為06，乙勝的概率04，比賽既可采用三局兩勝制，也可采用五局三勝制，問采用哪種比賽制度對甲更有利。39、有2500人參加人壽保險，每年初每人向保險公司交付保險費12元。若在一年內死亡，則其家屬可以從保險公司領取2000元。假設每人在一年內死亡的概率都是0002，求保險公司獲利不少于10000元的概率。40、在12名學生中有8名優(yōu)等生，從中任取9名，求有5名優(yōu)等生的概率。41、特色醫(yī)院接待患者的比例為K型50，L型30，M型20，對應治愈率為07，08，09，一患者已治愈，問他屬于L型的概率42、某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機的概率分別為02，04，04，乘火車遲到概率論與數(shù)理統(tǒng)計第7頁（共57頁）的概率為05、乘輪船遲到的概率為02、乘飛機不會遲到。問這個人遲到的概率；又如果他遲到，問他乘輪船的概率是多少43、一對骰子拋擲25次，問出現(xiàn)雙6和不出現(xiàn)雙6的概率哪個大44、一副撲克（52張），從中任取13張，求至少有一張“A”的概率45、據(jù)以往資料表明，某三口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律。孩子得病的概率為06，孩子得病下母親得病的概率為05，母親及孩子得病下父親得病的概率為04，求母親及孩子得病但父親未得病的概率。46、某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，因而他隨機地撥號。求他撥號不超過3次的概率；若已知最后一位數(shù)字為奇數(shù)，此概率是多少47、某場戰(zhàn)斗準備調甲、乙兩部隊參加，每支部隊能按時趕到的概率為，若只有一支部隊參加戰(zhàn)斗，則取勝的概率為04；若兩部隊參加戰(zhàn)斗，則必勝；若兩部隊未能按時趕到則必敗。欲達09以上的概率取勝，求的最低值。48、工人看管三臺設備，在1小時內每臺設備不需要看管的概率均為08，求（1）三臺設備均不需要看管的概率；（2）至少有一臺設備需要看管的概率；（3）三臺設備均需要看管的概率。四、證明題1、假設我們擲兩次骰子，并定義事件“第一次擲得偶數(shù)點”，“第二次擲得奇AB數(shù)點”，“兩次都擲奇數(shù)點或偶數(shù)點”，證明A，B，C兩兩獨立，但A，B，C不C相互獨立。2、設每次試驗發(fā)生的概率，“次獨立重復試驗中至少出現(xiàn)一次A10,PN”證明1NNPLIM3、設，證明,PBX,DXE4、證明，如果，則|AB|BP5、當時，證明BPAA,BA1|6、證明，則01|APB7、設三事件相互獨立，則與相互獨立。CB,C8、設，則AI3,21I2321概率論與數(shù)理統(tǒng)計第8頁（共57頁）9、已知同時發(fā)生，則發(fā)生，證明21,A121AP10、10個考簽中有4個難簽，3人依次抽簽參加考試，證明3人抽到難簽的概率相等。11、設A，B為兩事件，證明BABP12、證明如果與獨立，則與獨立、與獨立、與獨立13、如果，證明與獨立的充分必要條件是0P|PA第二章隨機變量及其分布一、填空題1、設隨機變量X的分布律為，則。0,21KAPA2、設隨機變量X服從參數(shù)為1/3的01分布，則X的分布函數(shù)為。3、設隨機變量，則。,4XN4、設隨機變量X的分布律為，則。0,2,NKAPA5、設隨機變量X服從0,1區(qū)間上的均勻分布，則隨機變量的密度函數(shù)為。2XY6、隨機變量X的密度函數(shù)為，則。812XEFK7、隨機變量X的密度函數(shù)為則。,4N8、若，則。2112,1XXPXP21XXP9、設離散型隨機變量的分布函數(shù)為BAXF32021X且，則，。1XP10、設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為則X02XKEF概率論與數(shù)理統(tǒng)計第9頁（共57頁），。K21XP2XP11、設5個晶體管中有2個次品，3個正品，如果每次從中任取1個進行測試，測試后的產(chǎn)品不放回，直到把2個次品都找到為止，設為需要進行測試的次數(shù)，則3XP。12、設為離散型隨機變量的分布函數(shù)為，若，XFAFBXAP則。BXP13、一顆均勻骰子重復擲10次，設表示點3出現(xiàn)的次數(shù)，則的分布律XKXP。14、設為連續(xù)型隨機變量，且，且，75029PY1250Y則。K15、設隨機變量服從POISSON分布，且，則X2XP1。16、連續(xù)型隨機變量為，則22461XEXFCCDXFFC。17、設為分布函數(shù)，為分布函數(shù)，則,21FX0,21A21FAX。2A18、若連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)，則。6012XAXFA19、設隨機變量的概率密度，則的分布函數(shù)為。X|XEFX20、若隨機變量，則的密度函數(shù)。50,12NF二、選擇題概率論與數(shù)理統(tǒng)計第10頁（共57頁）1、若函數(shù)是一隨機變量的密度函數(shù)，則（）XFX的定義域為0,1值域為0,1非負在連續(xù)XFXFXF1R2、如果是（），則一定不可以為某一隨機變量的分布函數(shù)。XFF非負函數(shù)連續(xù)函數(shù)有界函數(shù)單調減少函數(shù)3、下面的數(shù)列中，能成為一隨機變量的分布律的是（）,2101KE,21KE,210K,21K4、下面的函數(shù)中，能成為一連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)的是（）0SINXF其他30SINXH其他3COG其他2CO1XU其他25、設隨機變量，為其分布函數(shù)，則（）。1,0NXXXXP121216、設離散型隨機變量的分布律為，則（）。,KB的實數(shù)01B117、設隨機變量，則增大時，是（）,2NX|XP單調增大單調減少保持不變增減不定8、設隨機變量的分布密度，分布函數(shù)，為關于軸對稱，則有（XFXFFY）1AF21AA12AF9、設為分布函數(shù)，為分布函數(shù)，則下列成立的是（）,2X21X53153,2123,123,1概率論與數(shù)理統(tǒng)計第11頁（共57頁）10、要使是密度函數(shù)，則為（）GXXF0COS21G,22,11、設隨機變量的分布密度為則的密度函數(shù)為（）,12XFXY12X42X42412X12、設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為，密度，則（）XXFXF0XXPPFXPXXPF13、設隨機變量的密度函數(shù)為，則（）其他2102XXF510750875510D51D14、設隨機變量，分布函數(shù)為，密度，則有（）X,NXFXF0P1X三、計算題1、10個燈泡中有2個是壞的，從中任取3個，用隨機變量描述這一試驗結果，并寫出這個隨機變量的分布律和分布函數(shù)及所取的三個燈泡中至少有兩個好燈泡的概率。2、罐中有5個紅球，3個白球，有放回地每次任取一球，直到取得紅球為止。用X表示抽取的次數(shù)，求X的分布律，并計算。1XP3、設隨機變量的分布律為，試求的值。,21KAKA4、已知離散型隨機變量的分布律為概率論與數(shù)理統(tǒng)計第12頁（共57頁）1求；1XP（2）求的分布律；2Y（3）求的分布函數(shù)。5、已知離散型隨機變量的分布律為，且KKPC441951XP求。P6、對某一目標射擊，直到擊中時為止。如果每次射擊的命中率為，求射擊次數(shù)的PX分布律。7、已知離散型隨機變量的分布律為，其中，XK21,2求的分布律。SINY28、設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為XBAXFARCTN求1常數(shù)2的概率密度。BA,X9、已知隨機變量的密度函數(shù)為012XF1|求（1）系數(shù)；A（2）落入的概率；X21,（3）的分布函數(shù)。10、某車間有20部同型號機床，每部機床開動的概率為08，若假定各機床是否開動是獨立的，每部機床開動時所消耗的電能為15個單位，求這個車間消耗的電能不少于270個單位的概率。11、設隨機變量，求的分布。2,0UX2XY12、設測量誤差的密度函數(shù)為，求32041XEXF（1）測量誤差的絕對值不超過30的概率；（2）測量3次，每次測量獨立，求至少有1次測量誤差的絕對值不超過30的概率。210121/51/61/51/1511/30概率論與數(shù)理統(tǒng)計第13頁（共57頁）13、在下列兩種情形下，求方程有實根的概率。012XT（1）等可能取1,2，3,4，5,6；X（2）,1U14、設球的直徑（單位MM），求球的體積的概率密度。1,0U15、已知離散型隨機變量只取1，0，1，相應的概率為，X2AA167,8543,2求的值并計算A|P16、設某種電子管的壽命的密度函數(shù)012XF（1）若1個電子管在使用150小時后仍完好，那么該電子管使用時間少于200小時的概率是多少（2）若1個電子系統(tǒng)中裝有3個獨立工件的這種電子管，在使用150小時后恰有1個損壞的概率是多少。17、設鉆頭的壽命即鉆頭直到磨損為止所鉆的地層厚度，以米為單位服從指數(shù)分布，鉆頭平均壽命為1000米，現(xiàn)要打一口深度為2000米的井，求1只需一根鉆頭的概率；2恰好用兩根鉆頭的概率。18、某公共汽車站從上午7時起第15分鐘發(fā)一班車，如果乘客到達此汽車站的時間是7時至7時30分的均勻分布，試求乘客在車站等候X（1）不超過15分鐘的概率；（2）超過10分鐘的概率。19、自動生產(chǎn)線在調整以后出現(xiàn)廢品的概率為01，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時重新進行調整，問在兩次調整之間能以06的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少20、設在一段時間內進入某一商店的顧客人數(shù)服從POSSION分布，每個顧客購買某種物品的概率為，并且各個顧客是否購買該物品是相互獨立的，求進入商店的顧客購買該P種物品人數(shù)的分布律。21、設每頁書上的印刷錯誤個數(shù)服從泊松分布，現(xiàn)從一本有500個印刷錯誤的500頁的書上隨機地取5頁，求這5頁各頁上的錯誤都不超過2個的概率。22、已知每天到某煉油廠的油船數(shù)X服從參數(shù)為2的泊松分布，而港口的設備一天只能為三只油船服務，如果一天中到達的油船超過三只，超出的油船必須轉到另一港口。求（1）這一天必須有油船轉走的概率；（2）設備增加到多少，才能使每天到達港口的油船有90可以得到服務。（3）每天到達港口油船的最可能只數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第14頁（共57頁）23、某實驗室有12臺電腦，各臺電腦開機與關機是相互獨立的，如果每臺電腦開機占總工作時間的3/4，試求在工作時間任一時刻關機的電腦臺數(shù)超過兩臺的概率以及最有可能有幾臺電腦同時開機。24、設有各耗電75KW的車床10臺，每臺車床使用情況是相互獨立的，且每臺車床每小時平均開車12分鐘，為這10臺車床配電設備的容量是55KW，試求該配電設備超載的概率。25、一臺電子設備內裝有5個某種類型的電子管，已知這種電子管的壽命（單位小時）服從指數(shù)分布，且平均壽命為1000小時。如果有一個電子管損壞，設備仍能正常工作的概率為95，兩個電子管損壞，設備仍能正常工作的概率為70，若兩個以上電子管損壞，則設備不能正常工作。求這臺電子設備在正常工作1000小時后仍能正常工作的概率各電子管工作相互獨立。26、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以MMHG計）服從。在該地12,0N區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X。（1）求，15P；（2）確定最小的X,使。10XP0X9564,796527、將一溫度調節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內。調節(jié)器整定在D,液體的溫度X是一個隨機變量，且1若D90,求X小于89的概率。（2）若要求保持液體的0,2DN溫度至少為80的概率不低于099，問D至少為多少9720,3728、設隨機變量的分布函數(shù)EXDCXBAF1LN（1）確定的值；（2）DCBA,2|EXP29、設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為X0XBAXF0求1常數(shù)A，B的值；2130、有一個半徑為2米的圓盤形靶子，設擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，并設均能中靶，如以表示擊中點與靶心的距離，求的分布函數(shù)和密度函數(shù)。XX概率論與數(shù)理統(tǒng)計第15頁（共57頁）31、設隨機變量的密度函數(shù)，求的密度函數(shù)。X其他10|1XXF12XY32、設隨機變量的分布律為X4243020107求隨機變量的分布函數(shù)。SINY33、已知10個元件中有7個合格品和3個次品，每次隨機地抽取1個測試，測試后不放回，直至將3個次品找到為止，求需測試次數(shù)的分布律。X34、已知的分布函數(shù)為，求的分布函數(shù)。X2103XXXFX26XSINY35、設某產(chǎn)品的壽命服從的正態(tài)分布，若要求壽命低于120小時的概率不T,602N超過01，試問應控制在什么范圍內，并問壽命超過210小時的概率在什么范圍內36、某廠決定在工人中增發(fā)高產(chǎn)獎，并決定對每月生產(chǎn)額最高的5的工人發(fā)放高產(chǎn)獎，已知每人每月生產(chǎn)額，試問高產(chǎn)獎發(fā)放標準應把月生產(chǎn)額定為多少,42X37、在長為1的線段隨機地選取一點，短的一段與長的一段之比小于1/4的概率是多少38、設的分布密度為求的密度函數(shù)。,02XFXSINXY39、設的分布密度為X|21XXEF求（1）（3）的概率密度。|2Y|LNX四、證明題1、設為隨機變量的分布函數(shù)，證明當時，有XFX21X21XF概率論與數(shù)理統(tǒng)計第16頁（共57頁）2、證明若服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則X|RXPSRXP3、證明服從上均勻分布，則也服從均勻分布。BA,DCY4、設隨機變量的分布函數(shù)為嚴格單調連續(xù)函數(shù)，則服從均勻分布。XFXFYX5、設隨機變量的分布密度，分布函數(shù)，為關于軸對稱，證明FXFFY對于任意正數(shù)有A1ADA206、設隨機變量的分布密度，分布函數(shù)，為關于軸對稱，證明XXFXFY對于任意正數(shù)有|FP7、設是兩個隨機變量的密度函數(shù)，證明對于任意正數(shù)，,XGF10有是某一隨機變量的密度函數(shù)。1第三章多維隨機變量及其分布一、填空題1、因為二元函數(shù)不滿足，所以不是某一個10,YXF0YX,YXF二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)。2、設二維隨機變量的聯(lián)合分布律為XY123121/163/81/161/121/61/4則。2|1XYP概率論與數(shù)理統(tǒng)計第17頁（共57頁）3、設X和Y是獨立的隨機變量，其分布密度函數(shù)為，01XF其他X0YYEF則的聯(lián)合分布密度函數(shù)為。,4、設二維隨機變量的聯(lián)合分布律為XY123121/61/91/181/3AB若X和Y獨立，則A,B。5、設，且三個隨機變量相互獨立，則,30,21NXN。60P6、若隨機變量，且，則。,4,PBYX951P1YP7、設的聯(lián)合密度函數(shù)為則。,Y0,YXCEXF其他0,C8、設區(qū)域D上服從均勻分布，其中D是由軸，軸及直線所圍成,12XY的區(qū)域，則。21,8XP9、設和是兩個隨機變量，且，Y730,YXP740YPX則。0,MAX10、設相互獨立的和具有同一分布律，且，則隨機變量X21的分布律為。YZ,A11、設相互獨立的和具有同一分布律，且，則隨機變量210XP的分布律為。YXZ,MIN概率論與數(shù)理統(tǒng)計第18頁（共57頁）12、設平面區(qū)域D由曲線及直線，區(qū)域D上服從XY12,10EXY,YX均勻分布，則關于的邊緣密度在處的值為。,YX213、設相互獨立的和具有同一分布，且，則,NXZ。二、選擇題1、設隨機變量相互獨立，分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為YX,YFXYX,MAXYXMAXXFINYX11XYX2、設隨機變量相互獨立，且，則下列各式成立的是,4,20NYX210P2PYX13、設隨機變量，相互獨立，則的密度函數(shù)為1,0NX,0YYX（）21YXE421YXE42XE421XE4、設隨機變量相互獨立且同分布，則下列結論正YX,501XP確的是50PP4Y41Y5、設隨機變量相互獨立，且，則為YX,221NXX,2121N,212122概率論與數(shù)理統(tǒng)計第19頁（共57頁）6、設的聯(lián)合密度函數(shù)為則與為（）,YX01,YXF其他12YXXY獨立同分布獨立不同分布不獨立同分布不獨立也不同分布7、設隨機變量相互獨立，且均服從（0,1）均勻分布，則下列中服從均勻分布的是,（）,YXY2XYX8、隨機變量相互獨立同分布，則和（）,Y不獨立獨立不相關相關9、設的聯(lián)合分布律為,YYX01011/4B1/4A已知事件與事件相互獨立，則值為（）1,3,6BA8,BA613B41,BA三、計算題1、設二維連續(xù)型隨機變量X，Y的聯(lián)合概率密度為求1系數(shù)A；2PX，YD，其中D為由直線YX,X1，及X軸圍成的三角形區(qū)域。2、設隨機變量X，Y相互獨立，且X，Y的分布律如下表X321Y123P1/41/42/4P2/51/51/5求1X，Y的聯(lián)合分布律；2Z2XY的分布律；3UXY的分布律。3、甲、乙兩人約定晚上在某處見面，但沒有說好具體時間，已知甲、乙到達該處的時間分別為隨機變量X和Y，且甲到達的時間均勻分布在6時至8時之間；而乙到達的時間均勻分布在7時至10時之間。已知X，Y的聯(lián)合概率密度為,1,2YXYXYF概率論與數(shù)理統(tǒng)計第20頁（共57頁）求先到一人等候對方不超過10分鐘的概率。其他0107,861,YXYXF4、設隨機變量和相互獨立，且，求方程有兩個不相等的實XY3,1,2UYX根的概率。方程02TT5、一口袋中有4個球，標有1，2，3，4。從中任取1個，不放回，再從袋中任取1個球，以和表示第一、二次取得的球的數(shù)字，求、的聯(lián)合分布。XYXY6、設隨機變量和相互獨立，求的分布。,2N,UYX7、隨機變量和的聯(lián)合分布函數(shù)為2ARCTN2ARCTN1,2YXYXF求邊緣分布函數(shù)和邊緣密度函數(shù)。8、設二維隨機變量和的聯(lián)合密度函數(shù)為XY03,2YXF其他10,求（1）聯(lián)合分布函數(shù)；（2）邊緣密度函數(shù)；（3）1P9、甲、乙兩人獨立地進行兩次射擊，假設甲的命中率為02，乙的命中率為05，以和X表示甲和乙的命中次數(shù)，求和的聯(lián)合分布。YXY10、已知隨機變量和的分布律為且求4120X21010XP（1）和的聯(lián)合分布；（2）和是否獨立。YY11、一電子儀器由兩部件構成，以和表示兩部件的壽命，已知和的聯(lián)合分布函XY數(shù)為其他0,01,55YXEEYXFYXY（1）和是否獨立；（2）求兩部件的壽命都超過100小時的概率。XY12、設隨機變量和獨立，其概率密度分別為概率論與數(shù)理統(tǒng)計第21頁（共57頁）求的分布密度。010YEFXXFYX，其他YXZ213、設隨機變量和獨立聯(lián)合密度為其他XYXXF0,13,求41|8XYP14、設和獨立聯(lián)合密度為其他XYXYXF0,10284,求邊緣密度。15、設和獨立聯(lián)合密度為求（1）XY其他,2YXCYXFC（2）邊緣密度。（3）條件分布16、設和獨立，且服從，求的概率密度。Y02N2YXZ17、設和獨立，X其他XEXFX其他0YEYF求的概率密度Z18、設和獨立，Y其他0XEXFX其他0YYEYF求的概率密度。,MAZ19、設和獨立，Y其他0XEXFX其他0YYEYF求的概率密度。,INZ20、設和獨立聯(lián)合密度為求聯(lián)合分布函數(shù)。Y其他10,04,YXYXF四、證明題概率論與數(shù)理統(tǒng)計第22頁（共57頁）1、證明若，且兩隨機變量獨立，則,21YX21YX2、證明若，且兩隨機變量獨立，則,0N,0N3、證明若隨機變量以概率1取常數(shù)，則它與任何隨機變量相互獨立。C第四章隨機變量的數(shù)字特征第五章極限定理一、填空題1、設隨機變量的數(shù)學期望為，均方差為，則當，時，X0AB2、設與獨立，且，則。Y1,0DYXEY2YXE3、設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為且，XF0B其他1X81DX則，。AB4、一顆均勻骰子重復擲10次，則10次中點數(shù)3平均出現(xiàn)的次數(shù)為，最可能出現(xiàn)點數(shù)3的次數(shù)為。5、設隨機變量服從一區(qū)間上的均勻分布，且，則的密度函數(shù)為X31,DXE。2P6、設隨機變量則，。,41,2,XEPNBNP7、設隨機變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，則XY。32YE8、從廢品率為5的一大批產(chǎn)品每次取一個產(chǎn)品，直到取到廢品為止，平均要取個產(chǎn)品。9、設隨機變量X和Y獨立，且，則。3,20EYUXYE10、設相互獨立，且1021,10,2,10IKXPI則。1NIIP概率論與數(shù)理統(tǒng)計第23頁（共57頁）11、已知隨機變量X的密度函數(shù)為，12XEXF則。_,DE12、設，則3,20,6021EXNUX321XD。13、設隨機變量X和Y獨立，則,0,YYED14、設隨機變量，則隨機變量，則。2,1U01XYYD15、若隨機變量的分布律為，且，X,2KBAXPAE則，。AB16、設表示10次獨立重復射擊命中次數(shù)，每次命中的概率為04，則2X。二、選擇題1、設，則為EXXEE3/215/33/42、已知隨機變量，的方差存在，且YDY,，則下列一定成立的是（）,0,XD與一定獨立與一定不相關XYDYX3、設的分布律為，如果（），則不一定存在。KPXPE概率論與數(shù)理統(tǒng)計第24頁（共57頁）收斂NK,211,2KPX收斂收斂1,0,KPX1,0,K4、設隨機變量的方差存在，為常數(shù)，則（）XDBA,BAXDBA225、設為隨機變量，則（）1011010006、已知隨機變量，相互獨立，且都服從POISSON分布，又知，XY3,2EYX則（）2E511025307、設隨機變量，則（）,2NX1,3DXE1XP1242448、設隨機變量，則（）2,124219、設隨機變量服從指數(shù)分布，且，則的密度函數(shù)為（X50DXXF）02XE021XE04XE041XE10、設隨機變量X的概率密度為則錯誤的是01XEF概率論與數(shù)理統(tǒng)計第25頁（共57頁）分布函數(shù)XE011EXPXEXF111、設隨機變量滿足，則正面正確的是Y,YD相互獨立不相關,00YD12、設隨機變量的分布函數(shù)為則X13XF1XE04DX103DX014D03DX13、有一群人受某種疾病感染的占20，現(xiàn)從他們中隨機抽取50人，則其中患病人數(shù)的數(shù)學期望與方差是25和810和2825和6410和814、設隨機變量均服從區(qū)間0，2上的均勻分布，則321,X321XE1341215、設為獨立同分布的隨機變量序列，若（）時，則服從,2NNX切貝曉夫大數(shù)定律。的分布律的是IX,210KEXPI的分布律的是I,I的密度函數(shù)為IX12XXF的密度函數(shù)為I03XAG16、設獨立同分布，且服從參數(shù)為1/的指數(shù)分布，則下列結論正確的是NX,21概率論與數(shù)理統(tǒng)計第26頁（共57頁）1XNXPLIMNIIN1XNXPLIMNIIN1XNLINIIN1XNLINIIN17、設為獨立同分布的隨機變量序列，,1021X且，則下列中不正確的是（）IPBI10II,1010PBII10ABXAPII010QQXAPII三、計算題1、設隨機變量和相互獨立且均服從，求的數(shù)學期望。Y21,N|YX2、設球的直徑（單位MM），求球的體積的數(shù)學期望。0UX3、已知，設，求的數(shù)學期望5,4,3122YNX23ZZ和方差及與的相關系數(shù)。Z4、某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20，今隨機抽查100個索賠戶，求其中被盜索賠戶不少于14戶但也不多于30戶的概率。5、甲乙兩隊比賽，若有一隊先勝四場，則比賽結束，假設每次比賽甲隊獲勝的概率為06，求比賽場數(shù)的數(shù)學期望。6、某城市的市民在一年內遭受交通事故的概率為千分之一。為此，一家保險公司決定在這個城市新開一種交通事故險，每個投保人每年交付保險費18元，一旦發(fā)生事故，將得到1萬元的賠償。經(jīng)調查，預計有10萬人購買這種險種。假設其他成本共40萬元求（1）保險公司虧本的概率是多少（2）平均利潤為多少7、設隨機變量X有有限期望EX及方差，試用切貝謝夫不等式估計2DX概率論與數(shù)理統(tǒng)計第27頁（共57頁）的值。33EXP8、設隨機變量X的方差為25，試用切貝謝夫不等式估計概率的值。5|EXP9、某計算機系統(tǒng)有120個終端，各終端使用與否相互獨立，如果每個終端有20的時間在使用，求使用終端個數(shù)在30個至50個之間的概率。10、一系統(tǒng)由100個相互獨立的部件組成，在系統(tǒng)運行期間部件損壞的概率為005，而系統(tǒng)只有在損壞的部件不多于10個時才能正常運行，求系統(tǒng)的可靠度。11、某電站供應一萬戶用電，假設用電高峰時，每戶用電的概率為09，利用中心極限定理計算1同時用電戶數(shù)在9030戶以上的概率；2若每戶用電200瓦，問電站至少應具有多大的發(fā)電量，才能以95的概率保證供電12、對次品率為005的一批產(chǎn)品進行抽樣檢查，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則認為這批產(chǎn)品不合格，那么應檢查多少個產(chǎn)品，才能使這批產(chǎn)品被認為是不合格的概率可信度達到90。13、據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的和大于1920小時的概率。14、某廠產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布，其概率密度為，工廠規(guī)定，041XETFT售出的產(chǎn)品若在一年內損壞可以調換。若工廠售出1個產(chǎn)品，能獲利120元；調換1個產(chǎn)品，工廠要花費350元，試求工廠出售1個產(chǎn)品的平均獲利。15、一商店經(jīng)銷某種商品，每周進貨的數(shù)量與商品的需求量相互獨立，且均服從均XY勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤1000元，若需求量超過進貨量，商20,1U店可從其他商店調劑供應，這時每單位商品可得利潤500元，試計算此商店經(jīng)營該各商品每周平均獲利。16、在一家保險公司有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，一年內一個人死亡的概率為0006,其家屬可獲得1000元賠償費，求（1）保險公司沒有利潤的概率；（2）保險公司一年的利潤不少于60000元的概率。三、證明題1、設在單位圓內服從均勻分布，試證與Y不相關，但不相互獨立。,YXX2、設，則與不相關，但不相互獨立10N|Y3、設與Y都是01分布，試證與Y不相關的充分必要條件是與Y獨立。X概率論與數(shù)理統(tǒng)計第28頁（共57頁）4、證明取值于區(qū)間上的隨機變量，必有,BAX42ABD5、設是兩事件，BA,不出現(xiàn)若出現(xiàn)若A1X不出現(xiàn)若出現(xiàn)若B1Y證明與Y獨立的充分必要條件是獨立。XB,數(shù)理統(tǒng)計一、填空題1、設為總體X的一個樣本，如果，NX,21,21NXG則稱為統(tǒng)計量。G2、設總體已知，則在求均值的區(qū)間估計時，使用的隨機變量為,2N3、設總體X服從方差為1的正態(tài)分布，根據(jù)來自總體的容量為100的樣本，測得樣本均值為5，則X的數(shù)學期望的置信水平為95的置信區(qū)間為。4、假設檢驗的統(tǒng)計思想是。小概率事件在一次試驗中不會發(fā)生5、某產(chǎn)品以往廢品率不高于5，今抽取一個樣本檢驗這批產(chǎn)品廢品率是否高于5，此問題的原假設為。6、某地區(qū)的年降雨量，現(xiàn)對其年降雨量連續(xù)進行5次觀察，得數(shù)據(jù)為,2NX單位MM587672701640650，則的矩估計值為。27、設兩個相互獨立的樣本與分別取自正態(tài)總體與211,5,Y2,1N，分別是兩個樣本的方差，令，已知1,2N21,S212SBAS，則。402_,BA8、假設隨機變量，則服從分布。NTX219、假設隨機變量已知，則。,05XP_概率論與數(shù)理統(tǒng)計第29頁（共57頁）10、設樣本來自標準正態(tài)分布總體，為樣本均值，而1621,X1,0NX，則0XP_11、假設樣本來自正態(tài)總體，令，則1621,2161043IIIIXY的分布Y12、設樣本來自標準正態(tài)分布總體，與分別是樣本均值和1021,X1,0NX2S樣本方差，令，若已知，則。2SYP_13、如果都是總體未知參數(shù)的估計量，稱比有效，則滿足,1212。14、假設樣本來自正態(tài)總體，是NX,21,2N12NIIIXC的一個無偏估計量，則。2_C15、假設樣本來自正態(tài)總體，測得樣本均值，則的置921,810,5X信度是的置信區(qū)間為。95016、假設樣本來自正態(tài)總體，與未知，測得樣本均值1021,X,2N2，樣本方差，則的置信度是的置信區(qū)間為。XS95017、假設樣本來自正態(tài)總體，與未知，則原假設N,21,22的檢驗選用的統(tǒng)計量為。0H5T二、選擇題1、下列結論不正確的是設隨機變量都服從標準正態(tài)分布，且相互獨立，則YX,22YX獨立，,515,1022YY概率論與數(shù)理統(tǒng)計第30頁（共57頁）來自總體的樣本，是樣本均值，NX,21,2NX則NII122與均來自總體的樣本，并且相互獨立，N,2NY,21,2N分別為樣本均值，則YX,1,12NFXNIIII2、設是參數(shù)的兩個估計量，正面正確的是21,，則稱為比有效的估計量2D12，則稱為比有效的估計量1是參數(shù)的兩個無偏估計量，則稱為比有效的估計量2,21D12是參數(shù)的兩個無偏估計量，則稱為比有效的估計量13、設是參數(shù)的估計量，且，則有（）0不是的無偏估計是的無偏估計222不一定是的無偏估計不是的估計量24、下面不正確的是（）Z1221N1NTT,1,1MF5、總體均值的區(qū)間估計中，正確的是（）置信度一定時，樣本容量增加，則置信區(qū)間長度變長；置信度一定時，樣本容量增加，則置信區(qū)間長度變短；置信度增大，則置信區(qū)間長度變短；1置信度減少，則置信區(qū)間長度變短。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第31頁（共57頁）6、對于給定的正數(shù)，設是標準正態(tài)分布的上側分位數(shù)，則有（10Z）2ZZP|2ZZP1|7、某工廠所生產(chǎn)的某種細紗支數(shù)服從正態(tài)分布為已知，現(xiàn)從某日生產(chǎn)2020,N的一批產(chǎn)品中隨機抽取16縷進行支數(shù)測量，求得樣本均值和樣本方差，要檢驗細紗支數(shù)的均勻度是否變劣，則應提出假設（）0H0100H01022228、設樣本抽自總體，來自總體，NX,21MY,21,1NX，則的分布為,2NYMIIIIYN121/,NF,N,NMF1,NF9、設為來自的樣本觀察值，未知，NX,21,2NX2,IX1則的極大似然估計值為（）NIIX12NIIX1NIIX12NIIX110、樣本來自總體，NX,21,0NNIIX12SNII12則下列結論正確的是（）概率論與數(shù)理統(tǒng)計第32頁（共57頁）1,0NXN1,0NXNIIX121NTSX11、假設隨機變量是來自的樣本，為樣本均值。已0212,知，則下列成立的是（）,0NBXAY5,5,BA51,BA51,BA12、設樣本來自正態(tài)總體，與分別是樣本均值和樣本方N,21,2NX2S差，則下面結論不成立的是（）與相互獨立與相互獨立X2S21N與相互獨立與相互獨立NIIX122XII1213、樣本取自正態(tài)總體，已知，未知。則下列隨機5432,N2變量中不能作為統(tǒng)計量的是（）X21X5122IIX5123IIX14、設樣本來自正態(tài)總體，與分別是樣本均值和樣本方N,21,N2S差，則下面結論成立的是（）,212NX1,2NFSXN2NST15、設樣本來自總體，則下列估計量中不是總體均值的無偏估計量NX,21的是（）。XN214610NX321X16、假設樣本來自正態(tài)總體?？傮w數(shù)學期望已知，則下列估X,2N概率論與數(shù)理統(tǒng)計第33頁（共57頁）計量中是總體方差