圓中常用的作輔助線的八種方法

1、階段方法技巧訓(xùn)練（一）,專訓(xùn)2圓中常用的作輔助 線的八種方法,1,2020/10/20,在解決有關(guān)圓的計(jì)算或證明題時(shí)，往往需要 添加輔助線，根據(jù)題目特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)妮o助線至 關(guān)重要圓中常用的輔助線作法有：作半徑，巧 用同圓的半徑相等；連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所 對(duì)的圓周角相等；作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周 角是直角；證切線時(shí)“連半徑，證垂直”以及 “作垂直，證半徑”等,2,2020/10/20,1,方法,作半徑，巧用同圓的半徑相等,1如圖所示，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD 的頂點(diǎn)A，D在半圓O上，頂點(diǎn)B，C在半圓O的直徑 上；小正方形BEFG的頂點(diǎn)F在半圓O上，E點(diǎn)在半 圓O的直徑上，點(diǎn)G在

2、大正方形的邊AB上若小正 方形的邊長為4 cm， 求該半圓的半徑,3,2,如圖，連接OA，OF. 設(shè)OAOFr cm，ABa cm. 在RtOAB中，r2 a2， 在RtOEF中，r242 ， a216164a . 解得a18，a24(舍去) r2 8280. r14 ，r24 (舍去) 即該半圓的半徑為4 cm.,解：,4,2,在有關(guān)圓的計(jì)算題中，求角度或邊長時(shí)，常連接半徑構(gòu)造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來解決問題,5,2,2,方法,連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周角相等,2如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角ACM的平分線 與圓交于D點(diǎn)，DPAC，垂足是P，DHBM， 垂足為H.

3、求證：APBH.,6,2,如圖，連接AD，BD. DAC、DBC是DC所對(duì)的圓周角 DACDBC. CD平分ACM，DPAC，DHCM， DPDH. 在ADP和BDH中， ADPBDH. APBH.,證明：,7,2,本題通過作輔助線構(gòu)造圓周角，然后利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”得到DACDBC，為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件,8,2,3,作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周角是直角,方法,3如圖，O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直， 連接AD，BC. (1)求證：AD2BC24R2；,9,2,(1) 如圖，過點(diǎn)D作O的直徑DE，連接AE，EC，AC. DE是O的直徑， ECDEAD90. 又CDAB，ECAB

4、. BACACE. BCAE. BCAE. 在RtAED中，AD2AE2DE2， AD2BC24R2.,證明：,10,2,(2)若弦AD，BC的長是方程x26x50的兩個(gè)根 (ADBC)，求O的半徑及點(diǎn)O到AD的距離,(2)如圖，過點(diǎn)O作OFAD于點(diǎn)F. 弦AD，BC的長是方程x26x50的兩個(gè)根 (ADBC)， AD5，BC1.,解：,11,2,由(1)知，AD2BC24R2， 52124R2. R . EAD90，OFAD， OFEA. 又O為DE的中點(diǎn)， OF AE BC . 即點(diǎn)O到AD的距離為 .,12,2,本題作出直徑DE，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形，給解題

5、帶來了方便,13,2,4,證切線時(shí)輔助線作法的應(yīng)用,方法,4如圖，ABC內(nèi)接于O，CACB，CDAB且 與OA的延長線交于點(diǎn)D. 判斷CD與O的位置關(guān) 系，并說明理由,14,2,CD與O相切，理由如下： 如圖，作直徑CE，連接AE. CE是直徑，EAC90. EACE90. CACB，BCAB. ABCD， ACDCAB. BACD. 又BE，ACDE. ACEACD90，即OCDC. 又OC為O的半徑，CD與O相切,解：,15,2,5,遇弦加弦心距或半徑,方法,5如圖所示，在半徑為5的O中，AB，CD是互相 垂直的兩條弦，垂足為P，且ABCD8，則OP 的長為() A3 B4 C3 D4,C

6、,16,2,6【中考貴港】如圖所示，AB是O的弦， OHAB于點(diǎn)H，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)， 若AB2 ，OH1， 則APB的度數(shù)是_,17,2,6,遇直徑巧加直徑所對(duì)的圓周角,方法,7如圖，在ABC中，ABBC2，以AB為直徑的 O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),18,2,(1)求證：ABC為等邊三角形,(1) 如圖，連接AD， AB是O的直徑， ADB90. 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， AD是線段BC的垂直平分線 ABAC. ABBC，ABBCAC， ABC為等邊三角形,證明：,19,2,(2)求DE的長,(2)如圖，連接BE. AB是直徑， AEB90，BEAC. ABC是等邊三角形，

7、 AEEC，即E為AC的中點(diǎn) D是BC的中點(diǎn)，故DE為ABC的中位線 DE AB 21.,解：,20,2,7,遇切線巧作過切點(diǎn)的半徑,方法,8如圖，O是RtABC的外接圓，ABC90， 點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切O于點(diǎn)A，且PAPB.,21,2,(1)求證：PB是O的切線；,(1) 如圖，連接OB，OAOB， OABOBA. PAPB， PABPBA. OABPABOBAPBA. 即PAOPBO. 又PA是O的切線，PAO90. PBO90. OBPB. 又OB是O的半徑， PB是O的切線,證明：,22,2,(2)已知PA ，ACB60，求O的半徑,(2)如圖，連接OP， PAPB， 點(diǎn)P在線段A

8、B的垂直平分線上 OAOB， 點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上 OP為線段AB的垂直平分線,解：,23,2,又BCAB， POBC. AOPACB60. 由(1)知PAO90. APO30. PO2AO. 在RtAPO中，AO2PA2PO2， AO23(2AO)2. 又AO0， AO1，O的半徑為1.,24,2,8,巧添輔助線計(jì)算陰影部分的面積,方法,9【中考自貢】如圖所示，點(diǎn)B，C，D都在O上， 過點(diǎn)C作ACBD交OB的延長線于點(diǎn)A，連接CD， 且CDBOBD30，DB6 cm.,25,2,(1)求證：AC是O的切線；,(1)如圖，連接CO，交DB于點(diǎn)E， O2CDB60. 又OBE30， BEO180603090. ACBD，ACOBEO90. 即OCAC. 又點(diǎn)C在O上， AC是O的切線,證明：,26,2,(2)求由弦CD，BD與BC所圍成的陰影部分的面積 (結(jié)果保留),(2)OED