數(shù)學(xué)分析一致收斂性

1、1 一致收斂性,三、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法,返回,對于一般項是函數(shù)的無窮級數(shù)，其收斂性 要比數(shù)項級數(shù)復(fù)雜得多，特別是有關(guān)一致收 斂的內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應(yīng)用上有 著重要的地位.,一、函數(shù)列及其一致收斂性,二、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性,一、函數(shù)列及其一致收斂性,設(shè),是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù),稱為定義在E,上的函數(shù)列. (1) 也可記為,為函數(shù)列(1)的收斂點. 如果數(shù)列(2)發(fā)散, 則稱函數(shù),點都收斂時, 就稱(1)在數(shù)集 D 上收斂. 這時 D 上每,根據(jù)這個對應(yīng)法則所確定的 D 上的函數(shù), 稱為函數(shù),列(1)的極限函數(shù). 若將此極限函數(shù)記作f, 則有,或,的收斂域.,證,

2、式所表示的函數(shù).,又,顯然是發(fā)散的. 所以,的函數(shù)列的收斂域是,這就證明了 在( , 1 上收斂, 且極限就是(3),例2,所以函數(shù)列,注 對于函數(shù)列, 僅停留在討論在哪些點上收斂是遠,遠不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具,有的解析性質(zhì)的關(guān)系. 例如, 能否由函數(shù)列每項的,連續(xù)性、可導(dǎo)性來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo),性; 或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分, 是否分別是函數(shù)列,每項導(dǎo)數(shù)或積分的極限. 對這些更深刻問題的討論,必須對它在 D上的收斂性提出更高的要求才行.,時，,由定義看到, 一致收斂就是對 D 上任何一點, 函數(shù)列,趨于極限函數(shù)的速度是 “一致” 的. 這種一致性體現(xiàn),每一點都收斂

3、. 反之, 在 D 上每一點都收斂的函數(shù)列,它在 D 上不一定一致收斂.,為: 與 相對應(yīng)的 N 僅與 有關(guān), 而與 x 在 D 上的,取值無關(guān), 因而把這個對所有 x 都適用的 N 寫作,在 D 上不一致收斂于 f 的正面陳述是:,使得,由例1 中知道,下面來證明這個結(jié)論.,事實上, 若取,就有,號大于,與,狀區(qū)域之內(nèi).,從幾何意義上,看, 就是存在某個預(yù)先給定,總存在某條曲線,不能全部落在由,所夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以,上是一致收斂的.,定理13.1 (函數(shù)列一致收斂的柯西準則) 函數(shù)列,都有,充分性 若條件 (4) 成立, 由數(shù)列收斂的柯西準則,在D上任一點都收斂, 記其極限函數(shù)為,由定義

4、1知,根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理:,這就得到了(6)式.,有,注 柯西準則的特點是不需要知道極限函數(shù)是什么,只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來判斷函數(shù)列是否一致,收斂, 而使用余項準則需要知道極限函數(shù), 但使用,較為方便. 如例2, 由于,故由 (7) 式得,例3 定義在0,1上的函數(shù)列,的圖,像如圖13-3 所示.,收斂性.,解 為了使用余項準則, 首先求出函數(shù)列的極限函數(shù).,于是, 因此為最大值點. 于是,(見圖13-4), 因此對任何不含原點的區(qū)間,在該區(qū)間上一致收斂于零.,圖13 4,二、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性,稱為定義在E上的函數(shù)項級數(shù),為函數(shù)項級數(shù)(9)的部分和函數(shù)列.,級數(shù)(9)在

5、 E 的某個子集 D 上每點都收斂, 則稱級數(shù),(9)在 D 上收斂. 若 D 為級數(shù)(9)全體收斂點的集合,這時就稱 D為級數(shù)(9)的收斂域. 級數(shù)(9)在 D上每一,定義在 D 上的函數(shù), 稱為級數(shù)(9)的和函數(shù), 并記作,即,也就是說, 函數(shù)項級數(shù)(9)的收斂性就是指它的部分,和函數(shù)列(10)的收斂性.,例5,定義2,則稱,由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù),列來確定, 所以得到的有關(guān)函數(shù)項級數(shù)的定理.,定理 13.3 ( 一致收斂的柯西準則 ) 函數(shù)項級數(shù),在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件為: 對任,和,或,此定理中當 p=1 時, 得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一,個必要條件.,

6、推論 (函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件) 函數(shù)項級,一致收,上討論, 則由,上討論這個級數(shù), 則由,收斂性.,所以,于是, 故,上一致收斂.,注 當和函數(shù)容易求出時,余項準則是比較好用的一種判別方法.,三、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法,判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性除了根據(jù)定義、柯西,準則或余項準則外, 有些級數(shù)還可以根據(jù)級數(shù)一般,項的某些特性來判別.,定理13.5 (魏爾斯特拉斯判別法，或優(yōu)級數(shù)判別法),斂的正項級數(shù)，,證,及任何正整數(shù) p, 有,根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則, 級數(shù),在 D 上一致收斂.,例7 函數(shù)項級數(shù),數(shù)判別法也稱為M 判別法.,利用阿貝爾分部求和公式(第十二章3的引理),

7、 可,以得到與數(shù)項級數(shù)相似的判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂,的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.,設(shè)有定義在區(qū)間I上形如,的函數(shù)項級數(shù). 對級數(shù)(14)有:,定理13.6(阿貝耳判別法)設(shè),和正整,數(shù) , 存在正數(shù)M, 使得,則級數(shù)(14)在 I 上一致收斂.,又由(ii),(iii)及阿貝耳引理(第十二章3的引理的推,論)得到,由函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的柯西準則, 得級數(shù)(14),在 I 上一致收斂.,證,定理13.7 (狄利克雷判別法) 設(shè),在 I 上一致有界;,則級數(shù)(14)在I上一致收斂.,證 由(i), 存在正數(shù) M, 對一切x I, 有,因此當 n, p 為任何正整數(shù)時,對任何一個x I, 再由(ii)及阿貝耳引理得到,一切x I, 有,所以,于是由一致收斂性的柯西準則, 級數(shù)(14)在I上一致,收斂.,例8 函數(shù)項級數(shù),在0, 1上一致收斂.,阿貝耳判別法就能得到結(jié)果.,證 由第十二章3(21)式, 在, 2-上有,例9 若數(shù)列 單調(diào)且收斂于零, 則級數(shù),致有界, 于是令,一致收斂.,則由狄利克雷判別法可得級數(shù)(15)在 上,注 對于例7中的級數(shù)(15), 只要 單調(diào)且收斂于零,閉區(qū)間上一致收斂.,級數(shù)(15)就在不包含