計算機應用基礎-2-計算方法基礎PPT

1、第二章 Matlab計算方法基礎,矩陣基本分析 矩陣的運算 矩陣的性質 矩陣的分解 符號運算,一 矩陣的創(chuàng)建 (1) 直接賦值：在命令窗口以命令行的方式直接輸入。以 為開始和結束的標志，行與行之間用（；），元素之間用（，）或空格。 (2) 冒號表達式 e1:e2:e3,(3) zeros 函數(shù) 創(chuàng)建全零矩陣，調用格式為：,矩陣的基本分析,(4) eye函數(shù) 創(chuàng)建單位矩陣，調用格式：,A=zeros(m,n), 生成mXn全零矩陣。,B=eye(m,n), 生成mXn單位矩陣。,(5) rand函數(shù) 創(chuàng)建均勻隨機矩陣，調用格式：,C=rand(m,n), 生成mXn隨機矩陣。,矩陣的基本分析,二

2、 矩陣及其元素的賦值變量=表達式（數(shù)）,a=1 2 3; 4 5 6;7 8 9 x=-1.3 sqrt(3) (1+2+3)/5*4 x(5)=abs(x(1) a(4,3)=6.5 a = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 0 0 6.5000,元素之間用逗號、空格分開。不同行以分號隔開。語句結尾用回車或逗號，會顯示結果，如果不想顯示結果，用分號。 元素用（）中的數(shù)字（下標）來注明，一維用一個下標，二維用兩個下標，逗號分開。,a(5,:)=5,4,3 b=a(2,4,1,3) a(2,4,5, :

3、)= a/7,如果賦值元素的下標超過原來矩陣的大小，矩陣的行列會自動擴展。 全行賦值，用冒號。 提取交點元素； 抽取某行元素用空矩陣。,矩陣的基本分析,4,f1=ones(3,2) f2=zeros(2,3) f3=magic(3) f4=eye(2) f5=linspace(0,1,5) fb1=f1,f3;f4,f2 fb2=fb1;f5,全1矩陣 全0矩陣 魔方矩陣：元素由1到nn的自然數(shù)組成，每行、每列及兩對角線上的元素之和均等于(n3+n)/2。 單位矩陣是nn階的方陣。對角線上元素為1。 線性分割函數(shù) 大矩陣可由小矩陣組成，其行列數(shù)必須正確，恰好填滿全部元素。,三 基本賦值矩陣,矩

4、陣的基本分析,7,f1 = 1 1 1 1 1 1 全1矩陣 f3 = 8 1 6 魔方矩陣 3 5 7 4 9 2 線性分割函數(shù) f5 = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 大矩陣可由小矩陣組成 fb2 =1.0000 1.0000 8.0000 1.0000 6.0000 1.0000 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 1.0000 1.0000 4.0000 9.0000 2.0000 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000,f2 = 0 0 0 全0矩陣 0

5、0 0 f4 = 1 0 單位矩陣 0 1 fb1 = 1 1 8 1 6 1 1 3 5 7 1 1 4 9 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 fb1=f1,f3;f4,f2 fb2=fb1;f5,矩陣的基本分析,一 矩陣的初等運算（1）矩陣的加減乘法i. 加、減法：相加減的兩矩陣階數(shù)必須相同，對應元素相加減。,n,m=size(fb2) x=-1 0 1; y=x-1 y = -2 -1 0,語句size檢查矩陣階數(shù)，兩矩陣相加，階數(shù)必須相同。 兩相加減的矩陣中有一個是標量時，MATLAB將標量擴展成同等元素矩陣，與另一矩陣相加減。,2 矩陣的運算,pi*x 標量與矩陣相乘，不檢

6、查階數(shù)，標量乘以矩陣的每一個元素。 x=-1 0 1; X與y內階數(shù)不同，將y轉置 y。讀作x左乘y。 y =-2 -1 0; x*y ans = 2 ans = 2 0 -2 y*x X右乘y。 1 0 -1 0 0 0,(2) 矩陣乘法,矩陣A np階與矩陣B pm階的乘積 C是nm階矩陣。,P是A陣的列數(shù)，B陣的行數(shù)，稱為兩個相乘矩陣的內階數(shù)。 兩矩陣相乘的必要條件是內階數(shù)相等。,C(i,j)=kA(i,k)B(k,j)值為A陣第i行和B陣第j列對應元素乘積的和。,2 矩陣的運算,eye(3)*a 左、右乘結果不同，只有單位矩陣例外。 a*eye(3) 單位矩陣乘以矩陣A，左、右乘結果仍

7、等于該矩陣。 a = 1 2 3 ans = 1 2 3 ans = 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 8 9,2 矩陣的運算,二 矩陣的除法及線性方程組的解,a =1 2 3 4 5 6 7 8 9 AV=I V=A-1 V=inv(a) inv(a)*a V = 1.0e+016 * -0.4504 0.9007 -0.4504 0.9007 -1.8014 0.9007 -0.4504 0.9007 -0.4504,nn階方陣A和同階的方陣V相乘，得出n階單位矩陣I。 I為eye(n)。 V是A的逆陣。V存在條件：A的行列式不等于0，det(A)

8、0 V=A-1 MATLAB內部函數(shù)inv，得出A的逆陣V。,D*X=B inv(D)*D*X=inv(D)*B inv(D)*D=I I*X=X X=inv(D)*B=DB X*D=B X=B*inv(D)=B/D,D與B行數(shù)相等 兩端同時左乘以inv(D) 逆陣 單位陣 DB為D左除B X=DB，左除時階數(shù)檢查條件：兩矩陣的行數(shù)必須相等。 未知矩陣在左. D的逆陣右乘以B，記作 /D 右除。 右除時階數(shù)檢查條件：兩矩陣的列數(shù)必須相等。,2 矩陣的運算,13,a=1 2 3; 3 -5 4; 7 8 9 x=x1,x2,x3 b=2;0;2 ax=b x=ab a左除b,方程組 X1+2X2

9、+3X3=2 3X1- 5X2+4X3=0 7X1+8X2+9X3=2 可以表示為ax=b,2 矩陣的運算,a=1 2 3;4 5 6 b=2 4 0; 1 3 5 d=1 4 7; 8 5 2; 3 6 0 運算：a*b da a*b ? Error using = * Inner matrix dimensions must agree. da ? Error using = Matrix dimensions must agree.,a*b ans = 6 16 20 9 23 25 12 30 30 a*b ans = 10 22 28 49 da ans = -0.0370 0 0.

10、5185 1.0000 -0.1481 0 a/d ans = 0.4074 0.0741 0.0000 0.7407 0.4074 0.0000,2 矩陣的運算,解線性方程組Ax=B 6x1+3x2+4x3=3 -2 x1+5 x2+7 x3=-4 8 x1-4 x2-3 x3=-7 A=6 3 4; -2 5 7; 8 -4 -3 B=3;-4; -7 X=AB,A = 6 3 4 -2 5 7 8 -4 -3 B = 3 -4 -7 X = 0.6000 7.0000 -5.4000,2 矩陣的運算,三 矩陣結構形式的提取與變換,A=8 1 6 0; 3 5 7 1; 4 9 2 2 B

11、1=fliplr(A) B2=flipud(A) B3=reshape(A,2,6),提取矩陣中某些特殊結構的元素， 組成新的矩陣，改變矩陣結構。 fliplr矩陣左右翻轉 flipud矩陣上下翻轉 reshape階數(shù)重組（元素總數(shù)不變）,B4=rot90(A) B5=diag(A) B6=tril(A) B7=triu(A) B8=A(: ),rot90矩陣整體反時針旋轉90度 diag提取或建立對角陣 tril取矩陣的左下三角部分 triu取矩陣的右上三角部分 將元素按列取出排成一列,2 矩陣的運算,17,3.1 矩陣基本概念與性質,一 行列式,3. 矩陣的性質,【例2-1】,A=16 2

12、 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 det(A),16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 4 14 15 1,求行列式,3. 矩陣的性質,二 矩陣的秩,3. 矩陣的性質,rank(A)=rc=rr 其中rc為行稚，rr為列秩,r=rank(A) % 采用默認的精度求秩 r=rank(A, ) % 給定精度求秩,【例2-2】,A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 r=rank(A),R=rank(A)=3,16 2 3 13 5 11 10 8 求A= 9 7 6 12 的秩 4 1

13、4 15 1,3. 矩陣的性質,3.2 逆矩陣與廣義逆矩陣,一 矩陣的逆矩陣,AC=CA=I 其中A為nXn非奇異方陣，則 C=A-1,C=inv(A),3. 矩陣的性質,矩陣的偽逆,B=pinv(A),【例2-3】,A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 format long; B=inv(A),16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 求逆 4 14 15 1,下列奇異矩陣,3. 矩陣的性質,3.3 矩陣的特征值問題,一、 一般矩陣的特征值與特征向量,Ax=x,d= eig(A) %只求特征值 V, D= eig(A)

14、 % 求特征值和特征向量,3. 矩陣的性質,【例2-4】,A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 eig(A),求下列矩陣的特征值和特征向量,16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 4 14 15 1,同時求出特征值和特征向量, V, D= eig(A),3. 矩陣的性質,二 矩陣的廣義特征向量問題,Ax =Bx,d = eig(A, B) 求解廣義特征值 V, D = eig(A, B) 求解廣義特征值和特征向量,3. 矩陣的性質,【例2-5】, A=5 7 6 5; 7 10 8 7; 6 8 10 9; 5 7 9

15、10; B=2 6 -1 -3; 5 -1 2 3; -3 -4 1 10; 5 -2 -3 8; V,D=eig(A,B),5 7 6 5 7 10 8 7 A= 6 8 10 9 5 7 9 10,2 6 -1 -2 5 -1 2 3 B= -3 -4 1 10 5 -2 -3 8,求特征值和特征向量,3. 矩陣的性質,V = 0.2928 -0.2697 + 0.7303i -0.2697 - 0.7303i 1.0000 1.0000 -0.1637 - 0.3013i -0.1637 + 0.3013i -0.6088 0.6948 0.9627 - 0.0175i 0.9627 +

16、 0.0175i -0.2322 0.8860 -0.6795 - 0.2999i -0.6795 + 0.2999i 0.1323,D = 5.2777 0 0 0 0 0.0303 + 0.1790i 0 0 0 0 0.0303 - 0.1790i 0 0 0 0 -0.0036,3. 矩陣的性質,三 矩陣分析 det(A)： 矩陣的行列式 poly(A)： 矩陣特征多項式 rank(A)：矩陣的秩 inv(A)： 矩陣的逆 cond(A)：矩陣的條件數(shù) trace(A)：矩陣的跡 pinv(A)： 矩陣的偽逆,3. 矩陣的性質,正交矩陣,4 矩陣的基本變換,X=B-1AB Q*Q=I,

17、 且QQ*=I Q=orth(A), A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; Q=orth(A),norm(Q*Q-eye(3) ans = 1.0140e-015,【例2-6】,16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的正交矩陣 4 14 15 1,4 矩陣的基本變換,4 矩陣的基本變換,一 矩陣的QR分解,A=Q*R,A 為非奇異矩陣，Q 為正交矩陣，R為上三角矩陣，調用格式： Q,R=qr(A),【例2-6】, A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; Q,R=qr(

18、A),16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的QR分解 4 14 15 1,4 矩陣的基本變換,二 矩陣的三角分解,A=LU,其中,4 矩陣的基本變換,【例2-7】, A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; V,D=lu(A),V = 1.0000 0 0 0 0.3125 0.7685 1.0000 0 0.5625 0.4352 1.0000 1.0000 0.2500 1.0000 0 0,D = 16.0000 2.0000 3.0000 13.0000 0 13.5000 14.2500 -2.2500 0

19、0 -1.8889 5.6667 0 0 0 0,16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的LU分解 4 14 15 1,4 矩陣的基本變換,三 矩陣的奇異值分解,ATA=0, AAT=0 其中A為任意的nxm矩陣,理論上有 rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A),奇異值定義,其中i為非負特征值,4 矩陣的基本變換,奇異值的計算： s=svd(A),【例2-8】,A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 U, S, V=svd(A),16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的奇異分解

20、4 14 15 1,4 矩陣的基本變換,矩陣分解 qr(A)： 矩陣的QR分解 lu(A)： 矩陣的LU分解 eig(A)： 求特征值和特征向量 svd(A)： 矩陣的奇異值分解 chol(A)：矩陣的Cholesky分解（A=T*T，T為正定上三角矩陣）,4 矩陣的基本變換,5 符號運算,Matlab 提供了一種符號數(shù)據(jù)類型，相應的運算對象成為符號對象， Matlab符號運算功能集中在符號工具箱(symbolic toolbox)。 符號表達式可以代表數(shù)字、函數(shù)和變量的Matlab字符串或字符串數(shù)組，它不要求變量要有預先確定值。,符號對象： sym 或syms函數(shù)用于建立單個和多個符號變量。

21、,f=sym(expr) % 表達式expr轉換為符號對象 syms(arg1,arg2,) % 將arg1,arg2定義為符號變量 syms arg1 arg2 % 上面的簡化（變量間只能用空格隔開）,符號表達式 包括符號符號函數(shù)和符號方程，其中符號函數(shù)沒有等號，符號方程必須帶有等號。 注意sym可以建立符號方程，而syms不能。 例： y=sym(2*sin(x)*cos(y) syms x1 x2 x3 x4 z=sin(x1)*cos(x2)+cos(x1)*sin(x2) simple(z) A=x1 x2;x3 x4 DA=det(A) f=sym(sin(x)+cos(y)-1=

22、0) f=syms(sin(x)+cos(y)-1=0) % Not a valid variable name,5 符號運算,基本命令 findsym(expr) % 確定表達式expr中所有符號為自變量 findsym(expr,n) % 確定表達式expr中靠x最近的n個自變量 例： syms a x y z t findsym(sin(pi*t) findsym(x+i*y-j*z,1) findsym(x+i*y-j*z,2) findsym(x+i*y-j*z,3),5 符號運算,基本命令 digits(d) % 設置有效數(shù)字個數(shù)為d的近似解精度 R=vpa(A) % 對表達式A求

23、值 R=vpa(A,d) % d為輸出數(shù)值的有效位數(shù) 例： digits(25) % 設置vpa輸出的有效位數(shù) q=vpa(sin(sym(pi)/6) p=vpa(pi) w=vpa(1+sqrt(5)/2,5),5 符號運算,基本命令 R=subs(S) R=subs(S,old,new) 例： a=980; C1=3; y=dsolve(Dy=-a*y) subs(y) subs(a+b,a,4) subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) subs(x*y,x,y,0 1;-1 0,1 -1;-2 1),5 符號運算,求極限命令 limit(F,x,a)

24、% x趨向a時F的極限 limit(F,a) % 利用findsym確定變量 limit(F) % 默認 a=0 limit(F,x,a,right) % 右極限 limit(F,x,a,left) % 左極限 例： syms x a t h; limit(sin(x)/x) limit(1/x,x,0,right) limit(1/x,x,0,left) limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) v = (1 + a/x)x, exp(-x); limit(v,x,inf,left),5 符號運算,求導命令 diff(S,v,n) % S對變量v求n階導數(shù) diff(S,v) % S對v求一階導數(shù) diff(S,n) % 自變量由findsym確定 diff(S) % 自變量由findsym確定 例： syms x t diff(sin(x2) diff(t6,6),5符號運算,積分命令 R = int(S,v,a,b) % S對變量v在區(qū)間a,b內求定積分 R = int(S,a,b) % 自變量由findsym確定 R = int(S,v) % S對變量v求不定積分 R = int(S) % 自變量由findsym確定 例： int(-2*x/(1+x2)2) int(x/(1+z2),z) int(x*log(1+x),0,1)