三 簡單曲線的極坐標方程

1、簡單曲線的極坐標方程,1、圓的極坐標方程,3、極坐標與直角坐標的互化公式,復 習,1、極坐標系的四要素,2、點與其極坐標一一對應的條件,極點；極軸；長度單位；角度單位 及它的正方向。,1、極坐標 （，2k+） 與（，）表示同一個點,2、點 M（，） 關于極點的對稱點為（，+）,3、點 M（，） 關于極軸的對稱點的為（，-）,4、極坐標系內(nèi)兩點 的距離公式,復 習,曲線的極坐標方程,一、定義：如果曲線上的點與方程f(,)=0有如下關系 ()曲線上任一點的坐標(所有坐標中至少有一個)符合方程f(,)=0 ； ()方程f(,)=0的所有解為坐標的點都在曲線上。 則曲線的方程是f(,)=0 。,探 究

2、,如圖，半徑為a的圓的圓心坐標為(a,0)(a0)，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標(,)滿足的條件？,x,C(a,0),O,。,x,（a,0）,o,。,圓經(jīng)過極點O,設圓和極軸的另 一個交點是A，那么|OA|=2a, 設 為圓上除點O外，A 以外的任意一點，則OM AM, 在 Rt 中, |OM|=|OA|,即,(1),等式(1)是圓上任意一點的極坐標滿足的條件,例1 求下列圓的極坐標方程 ()中心在極點，半徑為2； ()中心在(a,0)，半徑為a； ()中心在(a,/2)，半徑為a； ()中心在(0,)，半徑為r。,2,2acos ,2asin ,2+ 0 2 -2 0 cos( -

3、 )= r2,思考 已知圓O的半徑為r，建立怎樣的坐標系，可以使圓的極坐標方程更簡單？,練習1,以極坐標系中的點(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是,C,你可以用極坐標方程直接來求嗎？,題組練習2,（ ）,A、雙曲線 B、橢圓 C、拋物線 D、圓,D,（ ）,C,*小結* 1. 曲線的極坐標方程概念 2. 怎樣求曲線的極坐標方程 3. 圓的極坐標方程,2、 直線的極坐標方程,新課引入：,思考：在平面直角坐標系中,1、過點(3,0)且與x軸垂直的直線方程為 ;過點(3,3)且與x軸垂直的直線方程為,x=3,x=3,2、過點（a,b）且垂直于x軸的直線方程為_,x=a,特點：所有點的橫坐標都是一

4、樣，縱坐標可以取任意值。,答：與直角坐標系里的情況一樣，求曲線的極坐標方程就是找出曲線上動點的坐標與之間的關系，然后列出方程(,)=0 ，再化簡并討論。,怎樣求曲線的極坐標方程？,例題1：求過極點，傾角為 的射線的極坐標方程。,分析：,如圖，所求的射線上任一點的極角都是 ，其,極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求,直線的極坐標方程為,新課講授,1、求過極點，傾角為 的射線的極坐標方程。,易得,思考：,2、求過極點，傾角為 的直線的極坐標方程。,和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？,為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以取全

5、體實數(shù)。則上面的直線的極坐標方程可以表示為,或,例1.求過點A（a,0）(a0),且垂直于極軸的直線的極坐標方程。,）,0,a,A,X,M,解：設M( ， )為直線上 除A外的任意一點，連接 OM，在三角形MOA中， 即 （1）,式（1）就是所求直線的極坐標方程,1、根據(jù)題意畫出草圖；,2、設點 是直線上任意一點；,3、連接MO；,4、根據(jù)幾何條件建立關于 的方 程，并化簡；,5、檢驗并確認所得的方程即為所求。,解 題 基 本 步 驟,練習1 求過點A (a,/2)(a0)，且平行于 極軸的直線L的極坐標方程。,解：如圖，建立極坐標系， 設點 為直線L上除點 A外的任意一點，連接OM,在 中有

6、,即,可以驗證，點A的坐標也滿足上式。,sina,IOMI sinAMO=IOAI,練習2：設點P的極坐標為A ，直線 過點P且與極軸所成的角為 ,求直線的極坐標方程。,解：如圖，設點,為直線 上異于的點,連接OM，,在 中有,即,顯然A點也滿足上方程。,例題3設點P的極坐標為 ，直線 過點P且與極軸所成的角為 ,求直線 的極坐標方程。,則 由點P的極坐標知,由正弦定理得,顯然點P的坐標也是它的解。,直線的幾種極坐標方程,1、過極點,2、過某個定點垂直于極軸,4、過某個定點 ，且與極軸成的角度a,3、過某個定點平行于極軸, sin a,例4.把下列的直角坐標方程化為極坐標方程 (1)2x+6y

7、-1=0 (2)x2 -y2=25,解：將公式 代入 所給的直角坐標方程中，得,化簡得,隨堂練習,A、兩條相交的直線,B、兩條射線,C、一條直線,D、一條射線,A,3、,( ),B,( ),B,( ),C,小結,1.圓的極坐標方程的概念； 2.如何求圓的極坐標方程； 3.會將直角坐標方程化為極坐標方程; 4.直線的極坐標方程的幾種情況:,(1)過極點,(2)過某個定點，且垂直于極軸,(4)過某個定點，且與極軸成一定的角度,(3)過某個定點，且平行于極軸,6.將下列直角坐標方程化成極坐標方程系,7.將下列極坐標方程化為直角坐標方程,隨堂練習,1（2007年高考）線 ,所圍成的圖形面積是（ ）,和,高考鏈接,D,2(2005年高考)在極坐標系中,以 為圓心, 以 半徑的圓的方程為_,教材習題答案,2.解:,1.解: (1)表示圓心在極點，半徑為5的圓； (2)表示過極點，傾斜角為 的直線； (3)表示過極點，圓心在 半徑為1的圓,3.解:,4.解：（1） （2） （3） （4）,把點A 的極坐標化為直角坐標，得,化為直角坐標方程，得,在平面直角坐標系中，由點到直線的 距離公式，得點A 到直線 的距離,所以點A到這條直線的距離為,5.解：以極點為直角坐標原點,極軸為X軸正半軸建立平面直角坐標系，把直線的極坐標方程。,6.解 :(1)以橢圓中心O為直角坐