泛函分析知識點

1、泛函分析知識點知識體系概述（一）、度量空間和賦范線性空間第一節(jié) 度量空間的進一步例子1. 距離空間的定義：設(shè)X是非空集合，若存在一個映射d：XXR，使得x,y,zX,下列距離公理成立：（1） 非負性：d(x,y)0，d(x,y)=0x=y;（2） 對稱性：d(x,y)=d(y,x);（3） 三角不等式：d(x,y)d(x,z)+d(z,y);則稱d(x,y)為x與y的距離，X為以d為距離的距離空間，記作（X，d）2.幾類空間例1 離散的度量空間例2 序列空間S例3 有界函數(shù)空間B(A)例4 可測函數(shù)空M(X)例5 Ca,b空間 即連續(xù)函數(shù)空間例6 l2第二節(jié) 度量空間中的極限，稠密集，可分空間

2、1. 開球定義 設(shè)（X,d）為度量空間，d是距離，定義U(x0, )x X | d(x, x0) N時，必有，則稱是X中的柯西點列或基本點列。如果度量空間（X,d）中每個柯西點列都在（X,d）中收斂，那么稱（X,d）是完備的度量空間.【注意】（1）Q不是完備集 （2）完備 （3）cauchy列不一定收斂，但收斂列一定是cauchy列. （4）Ca,b完備2.定理 完備度量空間X的子空間M是完備空間的充要條件為M是X中的閉子空間.第五節(jié) 度量空間的完備化1.定義 設(shè)（X,d）,( ,)是兩個度量空間，如果存在X到上的保距映射T，即，則稱（X,d）和( ,)等距同構(gòu)，此時T稱為X到上等距同構(gòu)映射。

3、2.定理1（度量空間的完備化定理） 設(shè)X=（X,d）是度量空間，那么一定存在一完備度量空間=( ,)，使X與的某個稠密子空間W等距同構(gòu)，并且在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即若( ,)也是一完備度量空間，且X與的某個稠密子空間等距同構(gòu)，則( ,)與( ,)等距同構(gòu)。3.定理1 設(shè)X=（X,d）是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間=( ,)，使X為的稠密子空間。第六節(jié) 壓縮映射原理及其應(yīng)用1.定義 設(shè)X是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個數(shù)，01, ，那么f(t)g(t)在a,b上L可積,并且3引理2(Minkowski不等式) 設(shè)p1,f,gLpa,b,那么f+gLpa,b,并且成立不等式

4、f+gp fp +gp4. 定理1 當(dāng)p1時,Lpa,b按(6)中范數(shù)fp 成為賦范線性空間.5. 定理2 Lp a,b(p1)是Banach空間.6. 定理3 設(shè)X是n維賦范線性空間,e1,e2,en是X的一組基,則存在常數(shù)M 和M,使得對一切成立 .7. 推論1 設(shè)在有限維線性空間上定義了兩個范數(shù)x和x1 ,那么必存在常數(shù)M 和M,使得Mxx1 Mx.8. 定義2 設(shè)(R1,x1 )和(R2 ,x2 )是兩個賦范線性空間.如果存在從R1 到R2 上的線性映射和正數(shù)c1 ,c2,使得對一切xR1,成立c1 x2 x1 c2 x2則稱(R1 ,x1)和(R2,x2 )這兩個賦范空間是拓撲同構(gòu)的

5、.8. 推論2 任何有限維賦范空間都和同維數(shù)歐氏空間拓撲同構(gòu).相同維數(shù)的有限維賦范空間彼此拓撲同構(gòu).(二)有界線性算子和連續(xù)線性泛函第一節(jié) 有界線性算子和連續(xù)線性泛函定義1 設(shè)X和Y是兩個同為實(或復(fù))的線性空間,D是X的線性子空間,T為D到Y(jié)中的映射,如果對任何x,yD,及數(shù),有T(x+y)= Tx+ Ty, (1)T(x)=Tx, (2)則稱T為D到Y(jié)中的線性算子,其中D稱為T的定義域,記為D(T),TD稱為T的值域,記為R(T),當(dāng)T取值于實(或復(fù))數(shù)域時,就稱T為實(或復(fù))線性泛函. 定義2 設(shè)X和Y是兩個賦范線性空間,T是X的線性子空間D(T)到Y(jié) 中的線性算子,如果存在常數(shù)c,使對

6、所有xD(T),有Txcx, (3)則稱T是D(T)到Y(jié)中的有界線性算子,當(dāng)D(T)= X時,稱T為X到Y(jié)中的有界線性算子,簡稱為有界算子.對于不滿足條件(3)的算子,稱為無界算子.本書主要討論有界算子.定理1 設(shè)T是賦范線性空間X到賦范線性空間Y中的線性算子,則T為有界算子的充要條件為T是X上連續(xù)算子.定理2 設(shè)X是賦范線性空間,f是X上線性泛函,那么f是X上連續(xù)泛函的充要條件為f的零空間N(f)是X中的閉子空間定義3 T為賦范線性空間X的子空間D(T)到賦范線性空間Y中的線性算子,稱 (4)為算子T在D(T)上的范數(shù).引理1 設(shè)T是D(T)上有界線性算子,那么 （6）. 有界線性算子和連續(xù)線性泛函的例子例6 賦范線性空間X上的相似算子Tx=x是有界線性算子,且T=|,特別IX =1,O=0.第二節(jié) 有界線性算子空間和共軛空間. 有界線性算子全體所成空間定理1 當(dāng)Y是Banach空間時,B(XY)也是Banach空間. 共軛空間定義1 設(shè)X是賦范線性空間,令X表示X上連續(xù)線性泛函全體所成的空間,稱為X的共軛空間.定理2 任何賦范線性空間