油罐第2講軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼內(nèi)力分析

1、第二講 軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼內(nèi)力分析教師：敬加強Tel: 83032202（H）83032075（O）Email: 第一講內(nèi)容回顧鋼油罐設(shè)計的基本知識 鋼油罐的發(fā)展趨勢及面臨的新課題 鋼油罐的種類、結(jié)構(gòu)特點和適用范圍 鋼油罐的基本要求 鋼油罐材料的選擇西南石油學(xué)院-1958, 第二講 軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼的內(nèi)力分析大綱要求：軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼的內(nèi)力分析；軸對稱回轉(zhuǎn)殼體的薄膜內(nèi)（應(yīng)）力分析；曲管在內(nèi)壓作用下的薄膜應(yīng)力計算。重點：回轉(zhuǎn)薄殼、中面、主曲率線、曲率中心、無矩理論等概念，體素方程、區(qū)域平衡方程及它們的應(yīng)用。難點：空間想象能力。西南石油學(xué)院-195

2、8, 本講主要教學(xué)內(nèi)容 回轉(zhuǎn)薄殼的基本概念和幾何特征 軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼的內(nèi)力分析有力矩理論基本方程無力矩理論區(qū)域平衡方程西南石油學(xué)院-1958, 本講主要教學(xué)要求掌握回轉(zhuǎn)薄殼的基本概念、幾何特征以及研究薄殼問題的基本假設(shè)；學(xué)會分析單元體的受力情況，并能列出相應(yīng)的單元體基本方程；掌握軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論區(qū)域平衡方程的建立方法。西南石油學(xué)院-1958, 回轉(zhuǎn)薄殼的基本概念 殼體：兩個曲面所限定的物體，且兩曲面間距比物體的其它幾何尺寸都小。 中面：殼體厚度的中點所構(gòu)成的面，即距殼體內(nèi)、外表面有同等距離的面。

3、 壁厚：殼體內(nèi)外表面間的法向距離。西南石油學(xué)院-1958, 回轉(zhuǎn)薄殼的基本概念 薄殼：殼體厚度t遠小于殼體中面的最小曲率半徑R。設(shè)計上限定t/R1/20或t/D1/10（D為殼體內(nèi)徑）。對于薄殼，一般用中面表示其幾何特征。 回轉(zhuǎn)面：由一條平面曲線環(huán)繞該平面內(nèi)某一軸線旋轉(zhuǎn)而成的曲面。西南石油學(xué)院-1958, 經(jīng)線曲 回轉(zhuǎn)面及幾何特征率中心緯線曲率半徑r平行圓緯線母線緯線曲率中心 基準子午面經(jīng)線曲率半徑r經(jīng)線rd rds法線ds曲率： k = y(1 + y 2 )3 / 2曲率半徑： = 1 k經(jīng)線曲率中心緯線曲率半徑r平行圓 中面微元

4、線素長度h經(jīng)線曲率半緯線曲徑r率中心rd經(jīng)線的線素長度：rds = r ddsds殼體平行圓半徑：r = r sin rOKh 中面微元線素長度r殼體的平行圓半徑：dhr = r sin （2-1）rdsr經(jīng)線的線素長度：drds = r d （2-2）rdr = ds cosdh = ds sin （2-3）式（2-2）代入式（2-3）得：西南石油學(xué)院-1958, 中面微元面積dh= r sin dr= r cos（2-4）dd式（2-4）第二式和式（2-1）兩端相除得：1 dr=rctg（2-5）r dr同樣，平行圓的線素長度：ds = rd = r sin

5、 d（2-6）故中面面素為：dA = ds ds = r r sin dd（2-7）回轉(zhuǎn)薄殼的基本概念 回轉(zhuǎn)薄殼：以回轉(zhuǎn)面為中面的薄殼。 軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼：幾何形狀、載荷和約束條件都對稱的回轉(zhuǎn)薄殼。思考題：以半圓、直線、斜線、橢圓為經(jīng)線的回轉(zhuǎn)面分別是什么形狀的曲面？西南石油學(xué)院-1958, 回轉(zhuǎn)薄殼幾何特征的補充說明 r意義：決定殼體的幾何形狀； r意義：決定殼體的大??； 位置及長度：任一點處的r和r位于同一直線上，但除球殼外，其它長度均不同。西南石油學(xué)院-1958, 回轉(zhuǎn)薄殼的幾何特征 r和r的確定對于幾何形狀簡單的殼體，如球殼和圓柱

6、形殼等的r和r一般可由作圖法確定。對于幾何形狀較復(fù)雜的殼體，如橢球形殼，一般根據(jù)經(jīng)線的曲線方程和高等數(shù)學(xué)的知識計算出r ，然后根據(jù)幾何關(guān)系計算出r 。曲率： k = y(1 + y 2 )3 / 2曲率半徑： = 1 k西南石油學(xué)院-1958, 回轉(zhuǎn)薄殼的幾何特征常見殼體的r 、 r 圓錐殼r = r = cosR 式中，R為殼體上任一點的平行圓半徑，為經(jīng)線與回轉(zhuǎn)軸的夾角。西南石油學(xué)院-1958, 回轉(zhuǎn)薄殼的幾何特征 圓柱殼r = r = R其中，R為圓柱殼橫截面半徑。 球殼r = r = R其中，R為球殼半徑。西南石油學(xué)院-1958

7、, 回轉(zhuǎn)薄殼的特點（1）薄壁外徑/內(nèi)徑1.2或壁厚/內(nèi)徑0.1薄壁（兩向應(yīng)力狀態(tài)）低中壓；厚壁（三向應(yīng)力狀態(tài)）高壓。（2）軸對稱問題幾何形狀、外載荷、約束條件均對稱于回轉(zhuǎn)軸。西南石油學(xué)院-1958, 研究薄殼問題的基本假設(shè)完全彈性體：和符合虎克定律，且材料連續(xù)、均勻和各向同性。小位移：殼體受力后各點的位移都遠小于壁厚。直線法：中面的法線變形前后保持為直線且中面法線及其垂直線段之間的直角保持不變，即該二方向的剪應(yīng)變?yōu)榱?。不擠壓：殼體各層纖維變形前后互不擠壓。西南石油學(xué)院-1958, 有力矩理論基本方程的建立

8、 取微單元體； 受力分析（外力和內(nèi)力）； 由經(jīng)、緯向及微元中心法向的靜力平衡條件列方程； 整理簡化。西南石油學(xué)院-1958, d 內(nèi)力分析（單位長度）N+ dNMM+ dMQ+ dQxNzNPydr體素中心點P為原點Mx-角增大切向為正Qy-角增大切向為正NMz-P點內(nèi)法向為正薄殼幾何形狀與載荷的軸對稱四個截面上無扭矩、經(jīng)線截面上無剪力內(nèi)力的正負規(guī)定法向力N和N：若使單元體受拉，取為正；反之若使單元體受壓，則為負。彎矩M和M：若使單元體向外撓曲（即增加曲率半徑），則為正；反之為負。剪力Q：若指向z軸正方向而其所作用截面的外法線指向x軸的正方向，或Q指向z軸的負方向

9、，而其所作用截面的外法線亦指向x軸的負方向時，則Q為正。西南石油學(xué)院-1958, dQ+ dQMN+ dNM+ dMzN drMN西南石油學(xué)院-1958, 主要內(nèi)力相應(yīng)的應(yīng)力Z0同一緯線上各點位移相同，單元體上無扭剪力。經(jīng)向應(yīng)力（kgf/cm2）：取決于N （kgf /cm）緯向應(yīng)力（kgf/cm2）：取決于N（kgf /cm）z法向剪應(yīng)力：取決于Q西南石油學(xué)院-1958, 體素截面上的內(nèi)力 abcd和efgh截面上法向力：NdS= Nrd彎 矩：MdS= Mrd adeh截面上 法向力： N dS =

10、N rd = N r sin d剪 力：Q dS = Q rd = Q r sin d彎 矩：M dS = M rd = M r sind西南石油學(xué)院-1958, 體素截面上的內(nèi)力 bcfg截面上N dS + d (N dS ) = N r sin d +d (N r sin )ddd法向力：= N r sin d + (N r sin ) dd剪力： Q r sin d + (Q r sin ) dd彎矩： M r sin d + (M r sin ) dd西南石油學(xué)院-1958, 軸對稱薄殼體素的外力分析 外力q：單位面積上的外載

11、面力：氣、液壓體力：重力 外力的分解qx(沿x軸正向)、qy(沿y軸正向)、 qz(沿z軸正向)西南石油學(xué)院-1958, 體素上的外力分解當(dāng)薄殼受自重作用時，作用在中面kimn上的載荷q可分解為沿x軸上的載荷qx和垂直于面素即z軸上的載荷qz。x軸分力： qx dA = qx dS dS = qx r r sin ddz軸分力： qz dA = qz dS dS = qz r r sin dd西南石油學(xué)院-1958, z軸方向上的受力分析（1）外力q在z軸方向的分力q z dA = q z r r sin dd（2）經(jīng)線力N在z軸方向

12、的分力 2 Ndr sin d = Nr sin dd2 dS（2-6）（3）圓周力N在z軸方向的分力 N d sin r ddS（2-2）西南石油學(xué)院-1958, z軸方向上的受力分析（4）剪力Q在z軸方向的分力 bcfg截面與adeh截面上的剪力在z軸上的投影，即分別乘以cos(d/2)1，亦即： Q r sin d + Q r sin d + (Q r sin ) dd= (Q r sin ) dd西南石油學(xué)院-1958, 體素經(jīng)線截面上的內(nèi)力分解z 體素緯線截面上的內(nèi)力分解單元體的力平衡方程據(jù)Fz=0，可得單元體在z軸上的平衡

13、方程：(Q r sin)dd + N r sindd +N r sindd + qzr r sindd = 0（2-9）方程兩端同時除以 d d 得：(Q r sin)+ N r sin + N r sin + q r r sin = 0 (2 12) z 西南石油學(xué)院-1958, 單元體的力平衡方程同理，據(jù)Fx=0與Fy=0 ，可得單元體在x軸與y軸上的平衡方程：(Nr sin) Nr cosQr sin+qxrr sin =0(211)(Mr sin) Mr cosQrr sin =0(213)式（2-1113）即為殼體內(nèi)力分析的基本方程，含5個未知數(shù)，尚需補

14、充兩個位移方程才能求解。注意：qx與qz均為外載（自重）q沿X軸與y軸正向的分力，若二者實際方向相反，則必須帶“”號。西南石油學(xué)院-1958, 無力矩區(qū)域平衡方程的建立方法 無力矩理論的引入及其假定； 取隔離體； 隔離體在回轉(zhuǎn)軸方向上的受力分析； 由回轉(zhuǎn)軸方向上的靜力平衡條件列方程； 整理簡化。西南石油學(xué)院-1958, 軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼中的彎矩很小，忽略后可以使殼體的應(yīng)力分析大大簡化。忽略彎矩的殼體理論稱為無力矩理論，亦稱薄膜理論。殼體問題按無力矩理論所得到的解答稱為薄膜解。西南石油學(xué)院-1958, www.s

15、軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩假設(shè)基本假設(shè)：假定整個薄殼的所有橫截面上都沒有彎矩，即M=M=0，故Q0（如果Q0，則 Q和QdQ一定會產(chǎn)生彎矩）。西南石油學(xué)院-1958, 取隔離體及其受力分析沿殼體上任Z2 NN N意平行圓（半徑為R）正截殼體，取其中一部分作為研r + drRrpdldQ究對象，如右圖所示。 O Q2Q1西南石油學(xué)院-1958, 外力在回轉(zhuǎn)軸上的合力假設(shè)以回轉(zhuǎn)軸oz為正方向，則：（1）外載在oz方向上的合力為：Q = Q1 + Q2式中： Q1殼體自重在oz方向的投影；Q2載荷在oz方向的投影。西南石油學(xué)

16、院-1958, 外力在回轉(zhuǎn)軸上的合力對于Q2的計算：在隔離體上取dl長的一個微元環(huán)，其半徑為r，則：pdQ = 2r dl p2dQ2在oz上的投影為： cos = 2r dl p dr= 2rp drdQ2 = dQ2dl西南石油學(xué)院-1958, 外力在回轉(zhuǎn)軸上的合力Q2 = 0R 2rpdr如果載荷為氣體，即p = Constant，則：Q 2 = R 2 p如果載荷為液體，如圖所示，則：p = g(H z) Q2 = 0R 2rg ( H z )dr西南石油學(xué)院-1958, 外力在回轉(zhuǎn)軸上的合力當(dāng)殼體為開式，如圖所示，則：Q2 = RR0 2rpdr西南石油學(xué)院-1958, 內(nèi)力在回轉(zhuǎn)軸上的合力（2）內(nèi)力