第五專題 矩陣的數(shù)值特征(行列式、范數(shù)、條件數(shù)、跡、秩、相對(duì)特征根)

1、.第五專題 矩陣的數(shù)值特征（行列式、跡、秩、相對(duì)特征根、范數(shù)、條件數(shù)）一、行列式已知apq, bqp, 則|ip+ab|=|iq+ba|證明一：參照課本194頁，例4.3.證明二：利用ab和ba有相同的非零特征值的性質(zhì)；從而ip+ab，iq+ba中不等于1的特征值的數(shù)目相同，大小相同；其余特征值都等于1。行列式是特征值的乘積，因此|ip+ab|和|iq+ba|等于特征值（不等于1）的乘積，所以二者相等。二、矩陣的跡矩陣的跡相對(duì)其它數(shù)值特征簡單些，然而，它在許多領(lǐng)域，如數(shù)值計(jì)算，逼近論，以及統(tǒng)計(jì)估計(jì)等都有相當(dāng)多的應(yīng)用，許多量的計(jì)算都會(huì)歸結(jié)為矩陣的跡的運(yùn)算。下面討論有關(guān)跡的一些性質(zhì)和不等式。定義：

2、，etra=exp(tra)精品.性質(zhì)：1. ，線性性質(zhì)；2. ；3. ；4. ；5. 為向量；6. ;從schur定理（或jordan標(biāo)準(zhǔn)形）和（4）證明；7. ,則,且等號(hào)成立的充要條件是a=0；8. ,則，且等號(hào)成立的充要條件是a=b（）；9. 對(duì)于n階方陣a，若存在正整數(shù)k,使得ak=0,則tr(a)=0（從schur定理或jordan標(biāo)準(zhǔn)形證明）。若干基本不等式對(duì)于兩個(gè)mn復(fù)矩陣a和b，tr(ahb)是mn維酉空間上的內(nèi)積，也就是將它們按列依次排成的兩個(gè)mn維列向量的內(nèi)積，利用cauchy-schwarz不等式x,y2x,xy,y精品. 得定理：對(duì)任意兩個(gè)mn復(fù)矩陣a和b |tr(a

3、hb)|2tr(aha)tr(bhb) 這里等號(hào)成立的充要條件是a=cb,c為一常數(shù)。特別當(dāng)a和b為實(shí)對(duì)稱陣或hermit矩陣時(shí)0|tr(ab)|定理：設(shè)a和b為兩個(gè)n階hermite陣,且a0，b0，則 0tr(ab)1(b)tr(a) tr(a)tr(b) 1(b)表示b的最大特征值。證明：tr(ab)= tr(a1/2ba1/2) 0，又因?yàn)閍1/21(b)i-ba1/20，所以1(b)tr(a)a1/2ba1/2，得tr(ab)= tr(a1/2ba1/2)tr(1(b) a)=1(b) tr(a)tr(a)tr(b)推論：設(shè)a為hermite矩陣，且a0，則tr(a)tr(a-1)n

4、另外，關(guān)于矩陣的跡的不等式還有很多，請(qǐng)參考矩陣論中不等式。三、矩陣的秩精品.矩陣的秩的概念是由sylvester于1861年引進(jìn)的。它是矩陣的最重要的數(shù)字特征之一。下面討論有關(guān)矩陣秩的一些性質(zhì)和不等式。定義：矩陣a的秩定義為它的行（或列）向量的最大無關(guān)組所包含的向量的個(gè)數(shù)。記為rank(a)性質(zhì)：1. ；2. ；3. ；4. ，其中x列滿秩，y行滿秩（消去法則）。定理（sylvester）：設(shè)a和b分別為mn和nl矩陣，則 sylveste定理是關(guān)于兩個(gè)矩陣乘積的秩的不等式。其等號(hào)成立的充要條件請(qǐng)參考王松桂編寫的矩陣論中不等式，三個(gè)矩陣乘積的秩的不等式也一并參考上述文獻(xiàn)。四、相對(duì)特征根定義：設(shè)

5、a和b均為p階實(shí)對(duì)稱陣，b0，方程精品.|a-b|=0的根稱為a相對(duì)于b的特征根。性質(zhì)：|a-b|=0等價(jià)于|b-1/2ab-1/2-i|=0(因?yàn)閎0，所以b1/20)注：求a相對(duì)于b的特征根問題轉(zhuǎn)化為求b-1/2ab-1/2的特征根問題或ab-1的特征根。因b-1/2ab-1/2是實(shí)對(duì)稱陣，所以特征根為實(shí)數(shù)。定義：使(a-ib)li=0的非零向量li稱為對(duì)應(yīng)于i的a相對(duì)于b的特征向量。性質(zhì)： 設(shè)l是相對(duì)于的a b-1的特征向量，則a b-1l=l 或 a (b-1l)=b( b-1l)b-1l 為對(duì)應(yīng)的a相對(duì)于b的特征向量（轉(zhuǎn)化為求a b-1的特征向量問題）。 設(shè)l是相對(duì)于的b-1/2ab

6、-1/2的特征向量，則b-1/2ab-1/2l=l 可得a (b-1/2l)=b(b-1/2l)則b-1/2l 為對(duì)應(yīng)的a相對(duì)于b的特征向量（轉(zhuǎn)化為求b-1/2ab-1/2對(duì)稱陣的特征向量問題）。五、向量范數(shù)與矩陣范數(shù)向量與矩陣的范數(shù)是描述向量和矩陣“大小”的一種度量。先討論向量范數(shù)。精品.1. 向量范數(shù)定義：設(shè)v為數(shù)域f上的線性空間，若對(duì)于v的任一向量x，對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)值函數(shù)，并滿足以下三個(gè)條件： （1）非負(fù)性 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立； （2）齊次性 （3）三角不等式。則稱為v中向量x的范數(shù)，簡稱為向量范數(shù)。定義了范數(shù)的線性空間定義稱為賦范線性空間。例1. ，它可表示成， 就是一種范數(shù)，稱為

7、歐氏范數(shù)或2-范數(shù)。證明：（i）非負(fù)性 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x0時(shí)，0 （ii）齊次性 精品. （iii）三角不等式 ， 根據(jù)hlder不等式：， 2. 常用的向量范數(shù)（設(shè)向量為） 1-范數(shù)：； -范數(shù)：；精品.p-范數(shù)： （p1, p=1, 2,）;2-范數(shù)：;橢圓范數(shù)(2-范數(shù)的推廣):，a為hermite正定陣.加權(quán)范數(shù)：， 當(dāng)，證明：顯然滿足非負(fù)性和齊次性 （iii），應(yīng)用hlder不等式精品. 即 3. 向量范數(shù)的等價(jià)性定理 設(shè)、為的兩種向量范數(shù)，則必定存在正數(shù)m、m，使得 ，（m、m與x無關(guān)），稱此為向量范數(shù)的等價(jià)性。同時(shí)有注：（1）對(duì)某一向量x而言，如果它的某一種范數(shù)?。ɑ虼螅?，那么

8、它的其它范數(shù)也小（或大）。（2）不同的向量范數(shù)可能大小不同，但在考慮向量序列的收斂性問題時(shí)，卻表現(xiàn)出明顯的一致性。4、矩陣范數(shù)向量范數(shù)的概念推廣到矩陣情況。因?yàn)橐粋€(gè)mn階矩陣可以看成一個(gè)mn維向量，所以中任何一種精品.向量范數(shù)都可以認(rèn)為是mn階矩陣的矩陣范數(shù)。1. 矩陣范數(shù)定義：設(shè)表示數(shù)域c上全體階矩陣的集合。若對(duì)于中任一矩陣a，均對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)值函數(shù)，并滿足以下四個(gè)條件： （1）非負(fù)性： ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立； （2）齊次性： （3）三角不等式：,則稱為廣義矩陣范數(shù)； （4）相容性：,則稱為矩陣范數(shù)。5. 常用的矩陣范數(shù)（1）frobenius范數(shù)（f-范數(shù)）f-范數(shù)： = =矩陣和向量之

9、間常以乘積的形式出現(xiàn)，因而需要考慮矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的協(xié)調(diào)性。定義：如果矩陣范數(shù)和向量范數(shù)滿足精品.則稱這兩種范數(shù)是相容的。給一種向量范數(shù)后，我們總可以找到一個(gè)矩陣范數(shù)與之相容。（2）誘導(dǎo)范數(shù)設(shè)acmn，xcn, 為x的某種向量范數(shù)，記 則是矩陣a的且與相容的矩陣范數(shù)，也稱之為a的誘導(dǎo)范數(shù)或算子范數(shù)。（3）p-范數(shù)：，,x為所有可能的向量， ，可以證明下列矩陣范數(shù)都是誘導(dǎo)范數(shù)：（1） 列（和）范數(shù)；（2） 譜范數(shù)；精品.的最大特征值稱為的譜半徑。當(dāng)a是hermite矩陣時(shí)，是a的譜半徑。注：譜范數(shù)有許多良好的性質(zhì)，因而經(jīng)常用到。（3） 行（和）范數(shù)（ ，）定理 矩陣a的任意一種范數(shù)是a的元素的

10、連續(xù)函數(shù)；矩陣a的任意兩種范數(shù)是等價(jià)的。定理 設(shè)acnn，xcn, 則和是相容的即 證明：由于成立。定理 設(shè)acnn，則是酉不變的，即對(duì)于任意酉矩陣u,vcnn，有證明：精品. 定義 設(shè)acnn，a的所有不同特征值組成的集合稱為a的譜；特征值的模的最大值稱為a的譜半徑，記為(a)。定理 (a)不大于a的任何一種誘導(dǎo)范數(shù)，即(a) 證明：設(shè)是a的任意特征值，x是相應(yīng)的特征向量，即 ax=x則|x|= |ax|a|x|, |x|0即 |a|試證：設(shè)a是n階方陣，|a|是誘導(dǎo)范數(shù)，當(dāng)|a|1時(shí)，i-a可逆，且有|(i-a)-1|(1-|a|)-1證明：若i-a不可逆，則齊次線性方程組(i-a)x=0

11、精品.有非零解x，即x=ax，因而有|x|=|ax|a|x|x|但這是不可能的，故i-a可逆。于是 (i-a)-1= (i-a)+a (i-a)-1=i+a (i-a)-1因此|(i-a)-1|i|+|a(i-a)-1|=1+|a(i-a)-1|1+|a| (i-a)-1|即證 |(i-a)-1|(1-|a|)-1補(bǔ)充證明|i|=1：由相容性可知：|a|a-1|a a-1|=|i|對(duì)于誘導(dǎo)范數(shù)( )。六、條件數(shù)條件數(shù)對(duì)研究方程的性態(tài)起著重要的作用。 定義：設(shè)矩陣a是可逆方陣，稱|a|a-1|為矩陣a的條件數(shù)，記為cond(a)，即cond(a)= |a|a-1|性質(zhì)：精品.（1）cond(a)

12、 1,并且a的條件數(shù)與所取的誘導(dǎo)范數(shù)的類型有關(guān)。因cond(a)= |a|a-1|a a-1|=|i|=1（2）cond(ka)= cond(a)=cond(a-1)，這里k為任意非零常數(shù)。當(dāng)選用不用的范數(shù)時(shí)，就得到不同的條件數(shù)，如：cond1(a)= |a|1|a-1|1cond(a)= |a|a-1|cond2(a)= |a|2|a-1|2=，其中分別為aha的特征值的模的最大值和最小值。譜條件數(shù)特別地，如果a為可逆的hermite矩陣，則有cond2(a)= 這里分別為a的特征值的模的最大值和最小值。如果a為酉陣，則cond2(a)= 1例 求矩陣a的條件數(shù)cond1(a)，cond(a

13、)精品. 解：|a|1=max6;14;4=14;|a|=max8;3;13=14;故|a-1|1=17/4;|a-1|=47/4;cond1(a)= |a|1|a-1|1=1417/4=259/2;cond(a)= |a|a-1|=611/4。例 設(shè)線性方程組ax=b的系數(shù)矩陣a可逆。討論當(dāng)b有誤差b時(shí)，解的相對(duì)誤差x的大小。解：因矩陣a可逆，所以ax=b有唯一解x=a-1b，設(shè)解的誤差為x，由a(x+x)=b+b得 ax=b或x=a-1b得 （1）精品.又ax=b，可得，或 （2）所以由（1）和（2），得 這說明相誤差的大小與條件數(shù)cond(a)密切相關(guān)；當(dāng)右端b的相對(duì)誤差一定時(shí)，cond(a)越大，解的相對(duì)誤差就可能越大；cond(a)越小，解的相對(duì)誤差就可能越小。因而條件數(shù)cond(a)可以反映a的特性。一般來說：條件數(shù)反映了誤差放大的程度，條件數(shù)越大，矩陣越病態(tài)。條件數(shù)在最小二乘估計(jì)的穩(wěn)