力學(xué)量和算符

1、第三章 力學(xué)量和算符內(nèi)容簡介：在上一章中，我們系統(tǒng)地介紹了波動力學(xué)，它的著眼點是波函數(shù) 。用波函數(shù)描述粒子的運動狀態(tài)。本章將介紹量子力學(xué)的另一種表述，它的著眼點是力學(xué)量和力學(xué)量的測量，并證實了量子力學(xué)中的力學(xué)量必須用線性厄米算符表示。然后進一步討論力學(xué)量的測量，它的可能值、平均值以及具有確定值的條件。我們將證實算符的運動方程中含有對易子，出現(xiàn) 。 3.1 力學(xué)量算符的引入 3.2 算符的運算規(guī)則 3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù) 3.4 連續(xù)譜本征函數(shù) 3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測量 3.6 不確定關(guān)系 3.7 守恒與對稱 在量子力學(xué)中。微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述。一旦給出了波函數(shù)，就確

2、定了微觀粒子的運動狀態(tài)。在本章中我們將看到：所謂“確定”，是在能給出概率以及能求得平均值意義下說的。一般說來。當(dāng)微觀粒子處在某一運動狀態(tài)時，它的力學(xué)量，如坐標(biāo)、動量、角動量、能量等，不同時具有確定的數(shù)值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出現(xiàn)。當(dāng)給定描述這一運動狀態(tài)的波函數(shù) 后，力學(xué)量出現(xiàn)各種可能值的相應(yīng)的概率就完全確定。利用統(tǒng)計平均的方法，可以算出該力學(xué)量的平均值，進而與實驗的觀測值相比較。既然一切力學(xué)量的平均值原則上可由 給出，而且這些平均值就是在 所描述的狀態(tài)下相應(yīng)的力學(xué)量的觀測結(jié)果，在這種意義下認為，波函數(shù)描寫了粒子的運動狀態(tài)。力學(xué)量的平均值 對以波函數(shù)描述的狀態(tài)，按照波函

3、數(shù)的統(tǒng)計解釋，表示在t時刻在 中找到粒子的幾率，因此坐標(biāo)的平均值顯然是: 坐標(biāo)的函數(shù)的平均值是： 現(xiàn)在討論動量的平均值。顯然，的平均值不能簡單的寫成，因為只表示在 中的概率而不代表在中找到粒子的概率。要計算，應(yīng)該先找到在時刻，在中找到粒子的概率，這相當(dāng)于對作傅里葉變化，而有公式 給出。動量的平均值可表示為 但前述做法比較麻煩，下面我們將介紹一種直接從計算動量平均值的方法。由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到記動量算符為 則 從而有 例如：動能的平均值是 角動量的平均值是 綜上所述，我們得出，在求平均值的意義下，力學(xué)量可以用算符來代替。 下面我們來介紹動量算符的物理意義。為簡單考慮一維運動，

4、設(shè)量子體系沿方向做一空間平移，這是狀態(tài)由原變?yōu)?，如圖所示。顯然 （3.1.13）若，可做泰勒展開 （3.1.14）即當(dāng)在無窮小的情況下，取準(zhǔn)確到一級項有 （3.1.15）因此，狀態(tài)經(jīng)空間平移后變成另一態(tài)，它等于某個變量算作用于原來態(tài)上的結(jié)果，而該變換算符可由動量算符來表達，特別在無窮小移動的情況下，動量算符純粹反映著空間平移的特性，所以動量算符又稱為空間平移無窮小算符，動量反映著坐標(biāo)變化（平移）的趨勢或能力。推廣到三維運動，狀態(tài)在空間平移下，變?yōu)?（3.1.16） 3.2 算符的運算規(guī)則3.2.1 算符的定義 所謂算符，是指作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運算符號。若某種運算把函數(shù)變?yōu)?，記作則

5、表示這種運算的符號就稱為算符。 如果算符作用于一個函數(shù)，結(jié)果等于乘上一個常數(shù)，記為 （3.2.1） （3.2.1）則為的本征值，為的本征函數(shù)，上述方程稱為的本征方程。 若算符滿足： （3.2.2） （3.2.2）其中、為任意函數(shù)，、為常數(shù)，則稱為線性算符若算符滿足 （3.2.3）（3.2.3）為任意函數(shù)，則稱為單位算符。3.2.2 算符的運算規(guī)則 算符之和 （3.2.4） 為任意波函數(shù)。顯然，算符之和滿足交換率和結(jié)合律 顯然，線性算符之和仍為線性算符。 算符之積 （3.2.5）注：一般情形 （3.2.6）（3.2.6）比方，取，則 但 因此 （3.2.7）（3.2.7）由于是任意函數(shù)，從(3.

6、2.7)式得 （3.2.8） 從（3.2.8）可見， 記和之差為 （3.2.9）稱為算符，的對易關(guān)系或?qū)σ鬃?。式?.2.8）可記為 若算符和的對易子為零，則稱算符和對易。利用對易子的定義（3.2.9）式，易證下列恒等式 （3.2.10）最后一式稱為雅可比恒等式。作為例子，我們討論角動量算符 （3.2.11）它們和坐標(biāo)算符的對易子是 （3.2.12）（3.2.12）式可表示為 （3.2.13）上式中，=1,2,3表示相應(yīng)的分量，成為列維-斯維塔記號，滿足 （3.2.14）任意兩個下腳標(biāo)相同，則為零。同理可得 （3.2.15） （3.2.16）式中不為零的等式也可寫成 （3.2.17）坐標(biāo)和動量

7、的對易子可寫為 （3.2.18）其中 （3.2.19）角動量算符的平方是： （3.2.20）則 （3.2.21）在球坐標(biāo)系下 （3.2.22）則 （3.2.23）將r 兩邊對x 求偏導(dǎo)，得： （3.2.24）將兩邊對x求偏導(dǎo)，得：（3.2.25）再將兩邊對x求偏導(dǎo)，得： （3.2.26）利用這些關(guān)系式可求得： （3.2.27）同理可得： （3.2.28） （3.2.29） 則角動量算符可表示為： （3.2.30） （3.2.31） （3.2.32）由此可得： （3.2.33） （3.2.34） （3.2.35）所以 （3.2.36）則的本征方程可寫為： （3.2.37）在數(shù)理方法中已討論過，必

8、須有： （3.2.38）可解得： （3.2.39） 為歸一化系數(shù)，為連帶勒讓得多項式。所以 （3.2.40） 因為表示角動量太小，所以稱為角動量量子數(shù)，稱為磁量子數(shù)。 對應(yīng)于一個的值，可以取個值，因而對于的一個本征值，有 個不同的本征函數(shù)。我們把對應(yīng)于一個本征只有一個以上的本征函數(shù)的情況叫簡并，把對應(yīng)于同一本征值的本征函數(shù)的數(shù)目稱為簡并度。的本征值是度簡并的。同理： （3.2.41）即在態(tài)中，體系的角動量在軸方向投影為 一般稱的態(tài)為態(tài)，的態(tài)依次為 態(tài)。 現(xiàn)在考慮角動量算符的物理意義。設(shè)體系繞軸滾動角并以 算符變換表示：，當(dāng)，即在無窮小轉(zhuǎn)動下，對做泰勒展開，準(zhǔn)確到一級項有 （3.2.42）因此，

9、狀態(tài)在空間轉(zhuǎn)動后變?yōu)榱硪粻顟B(tài)，它等于某個變換算符作用于原來態(tài)上的結(jié)果，而該變換算符，特別在無窮小轉(zhuǎn)動下，角動量算符純粹反映空間轉(zhuǎn)動的特征，又稱角動量算符為空間轉(zhuǎn)動無窮小算符，從而角動量反映著空間轉(zhuǎn)動變化的特性。 算符的乘冪算符的次乘冪定義為 （3.2.20） 算符的函數(shù) （3.2.21） 算符的逆若算符滿足 且能從上式唯一的解出來，則定義算符的逆算符為 （3.2.22） 并非所有的算符都有逆算符存在。但若存在，則必有 （3.2.23） 3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù) 為說明量子力學(xué)中能表示力學(xué)量的算符的性質(zhì)，本節(jié)將介紹一種具有非常重要性質(zhì)的算符-厄米算符。為此，先引進一些定義：1.希爾伯特

10、空間中矢量的內(nèi)積 希爾伯特空間中的兩個態(tài)矢量，在選定及時后的兩 個波函數(shù)和的內(nèi)積為 （3.3.1）它具有下述性質(zhì)： （3.3.2）若、為常數(shù)2. 轉(zhuǎn)置算符若算符滿足 （3.3.3）即 （3.3.4）則稱為轉(zhuǎn)置算符。、為任意函數(shù)。3. 復(fù)共軛算符 將算符中的所有復(fù)量均換成它的共軛復(fù)量，稱為的復(fù)共軛算符。例如算符的復(fù)共軛算符。4. 厄米算符算符的厄米共軛算符，定義為 （3.3.5）則 （3.3.6） 厄米算符具有下列性質(zhì)：a.兩厄米算符之和仍為厄米算符。b.當(dāng)且僅當(dāng)兩厄米算符 和 對易時，它們之積才為厄米算符。因為 （3.3.7）只有在 時， ，才有 ，即 仍為厄米算符。c.無論厄米算符 、 是否

11、對易，算符 及 必為厄米算符，因為 （3.3.8）d.任何算符總可分解為 （3.3.9） 令 、 ，則 和 均為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有下列性質(zhì)：厄米算符的平均值是實數(shù)，因為 （3.3.10）在任何狀態(tài)下平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。厄米算符的本征值為實數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就是本征值。厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交。厄米算符的簡并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組合后使它正交歸一化。厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性。厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉型。性質(zhì)的證明：由得 （1）上式并不足以說明算符 厄米，因為 是同一個態(tài)。要證明 厄米，必須按厄米算符的定義，證明 成立

12、，而且 、 為任意波函數(shù)。為此令 ，利用（1）式得 （2） 因為 在 、 中的平均值也是實數(shù)，所以上式又寫為 （3）對 和 作變換，令 ， （為任意實數(shù)）代入（3）式后得 （4）因為 任意，上式成立的充要條件為 因此， 必為厄米算符。得證。性質(zhì)的證明： 且 ，因為 是厄米算符，它的本征函數(shù)是實數(shù)， 。本征方程的共軛方程為 由 及 的厄米性質(zhì)， ，及 得又因得得證。若本征函數(shù)是正交歸一化的，則有 厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交歸一。 3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)鑒于厄米算符的本征函數(shù)系具有正交、歸一、完備、封閉等重要性質(zhì)，可以用它作為希爾伯特空間的基矢；而且在量子力學(xué)中，可觀測量對應(yīng)線性厄米算符

13、，因此在本節(jié)中我們將先羅列一些線性厄米算符的本征函數(shù)系，然后再討論若本征函數(shù)位連續(xù)譜本征函數(shù)時，如何進行歸一化。1.線性厄米算符的本征函數(shù)示例坐標(biāo)算符由本征方程 （3.4.1）可知算符 在自身表象中的本征函數(shù)是 。而 連續(xù)取值，是連續(xù)譜本征函數(shù)。動量算符由本征方程 （3.4.2）可知在以 的本征函數(shù)為基矢的 表象中，算符 的本征函數(shù)是平面波 ，本征值 也是連續(xù)取值。2.連續(xù)譜本征函數(shù)的歸一化無窮空間的歸一化以平面波為例。 的本征函數(shù) 不能用普通的方法歸一化，因為它的模不是平方可積的， （3.4.3）不能使它歸一化為1。在數(shù)學(xué)上只能歸一化為 函數(shù)。利用公式 （3.4.4）得 （3.4.5）事實上

14、，凡連續(xù)譜本征函數(shù)都可用 函數(shù)的方式歸一化。箱歸一化 如果仍然要求按照通常的方式對動量的本征函數(shù)歸一化，即仍然要歸一化為1而不是 函數(shù)，就必須放棄無窮空間的積分，采用箱歸一化的方法。先以一維為例。設(shè)一維平面波只能在 的區(qū)間中運動，且滿足周期性條件：波函數(shù) （3.4.6）注：為保持動量算符 在 范圍內(nèi)為厄米算符，要求波函數(shù)滿足周期性邊界條件。由 則 即 則 即 （3.4.7）從而有 （3.4.8）它的歸一化條件 （3.4.9）顯然，若 ，即箱的體積為無窮大時，由（3.4.7）式可知 ，本征譜變成連續(xù)譜，回到無窮空間的歸一化的情況。從分立譜過渡到連續(xù)譜時，存在如下對應(yīng)關(guān)系： （3.4.10） （3

15、.4.11）易將上述結(jié)果推廣到三維情況。取體積 ，則箱歸一化后的波函數(shù)為 （3.4.12） （3.4.13） （3.4.14） （3.4.15）三維情況下，箱歸一化的正交歸一化條件是 （3.4.16）其中 及 按（3.4.13）式的分立方式取值。在連續(xù)譜情況下，正交歸一條件是 （3.4.17） 3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測量1.力學(xué)量有確定值的條件 記與某一力學(xué)量 相應(yīng)的算符為 ， 必為線性厄米算符?，F(xiàn)在問：在什么狀態(tài)下，測量力學(xué)量 有確定值？ 為此，先給“確定值”以嚴(yán)格的定義。在量子力學(xué)中，在某一狀態(tài) 中測量力學(xué)量 具有確定值的充要條件是在該狀態(tài)中力學(xué)量 的平方平均偏差為零。即 （3.5.1

16、） 由于 厄米， 的平均值 是個實數(shù)，因此 也為厄米，利用 厄米的條件可將上式寫為 （3.5.2）于是得出： 的充要條件是即 （3.5.3） 由此得出結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng) 是力學(xué)量 的本征態(tài)時，在 的本征態(tài) 中測量 才有確定值。而且這個確定值就是在這個態(tài)的平均值。 （3.5.3）式實際上就是 的本征方程， 在態(tài) 的平均值 等于它的本征值。正因為 相應(yīng)于態(tài) 的本征值就是它的平均值，也是它的實驗測到的準(zhǔn)確值，因此本征值和平均值都必須是實數(shù)。2.在非 的本征態(tài)中測量設(shè) 所滿足的本征方程為 （3.5.4）現(xiàn)在在一個非 的本征態(tài) 中測量 。因為 的本征函數(shù)系 正交歸一完備，因此總可將 按 展開 （3.5.5）

17、 的平均值是 （3.5.6）因此，在非 的本征態(tài) 中測量力學(xué)量 ，無確定值，但有平均值，而且平均值是由 的本征值 通過統(tǒng)計平均求來的。在 中出現(xiàn) 的幾率是 ， 是將態(tài) 按 展開時出現(xiàn) 態(tài)的幾率幅。因此得出結(jié)論：在非 的本征態(tài) 中測量 ，雖然無確定值，但有各種可能值。這些可能值就是 的本征值，而且可能值 出現(xiàn)的幾率為 。這個結(jié)論無論對 的本征譜是分離譜、連續(xù)譜，還是既有連續(xù)譜又有分離譜都成立。3.不同力學(xué)量同時有確定值的條件若 在態(tài) 有確定值，則 必須是 的本征態(tài)，有 （3.5.7）同理，另一力學(xué)量 在態(tài) 中有確定值的，則 不然也是 的本征態(tài)，有 （3.5.8） 必須是 和 的共同本征函數(shù)。由即

18、 （3.5.9）但（3.5.9）式并不能說明 和 對易，因為 只是一個特定的波函數(shù)而非任意波函數(shù)。例如： ，是個與角度無關(guān)的常數(shù)，雖然 和 不對易，但 使它們的共同本征函數(shù)。 關(guān)于算符的對易性和測量的關(guān)系，存在下述定理和逆定理： 定理 若線性厄米算符 和 有不止一個共同本征函數(shù)，且這些本征函數(shù)構(gòu)成完備系，則 和 必定可對易。 證：假定這些共同本征函數(shù)構(gòu)成分離譜本征函數(shù)系 。任何一個波函數(shù) 均可展開為 由于 是任意波函數(shù)，因此必有 ， 和 對易。 證畢。 逆定理 若線性厄米算符 和 對易，則它們必有共同的本征函數(shù)系，而且著共同本征函數(shù)系必為完備系。 現(xiàn)在對上述定理作些總結(jié)和討論： a.雖然兩相互

19、對易的算符 和 有完備的共同本征函數(shù)系，但 的本征函數(shù)不一定總是 的本征函數(shù)。只有當(dāng) 的本征值無簡并時， 的本征函數(shù)才一定是 的本征函數(shù)。在由簡并時，一般來說，需要將屬于同一個本征值的本征函數(shù)重新作線性組合，才能得出 的本征函數(shù); b.力學(xué)量完全集的數(shù)目與體系自由度的數(shù)目相一致; c.簡并來自于不完全測量。 綜上所述, 量子力學(xué)中的力學(xué)量以線性厄米算符來表示, 力學(xué)量取確定值的態(tài)就是力學(xué)量算符的本征態(tài), 力學(xué)量的數(shù)值就是算符的本征值. 力學(xué)量算符的本征函數(shù)系是正交歸一完備系, 它們是力學(xué)量所有可能值及其相應(yīng)態(tài). 任意狀態(tài)下, 力學(xué)量一般不取確定值, 而是一系列可能值. 而測的可能值的幾率就是任

20、意態(tài)在該力學(xué)量本征函數(shù)完備系中展開系數(shù)模的平方. 3.6 不確定性原理 設(shè) 和 為兩個不對易的線性厄米算符。在 的本征態(tài)中測量力學(xué)量 ，有確定值，在數(shù)值上等于 在該態(tài)的平均值?，F(xiàn)在問，在 的本征態(tài)中測量另一力學(xué)量 ，會出現(xiàn)什么結(jié)果？進一步，如果在任一個既非 又非 的態(tài)中測量 和 ，又會出現(xiàn)什么結(jié)果？ 不確定性原理回答了這個問題。我們先來對這個原理做一般證明：構(gòu)造積分 式中， 是實參量， 是任意波函數(shù)， 之所以大于或等于零是因為被積函數(shù)不小于零。將（3.6.1）式的平方項展開，得 由于 ， 厄米，上式可寫為 式中算符 滿足 ，（3.6.2） 是關(guān)于 的二次式，不等與（3.6.2） ，成立的條件是

21、 即 （3.6.4）式對任意兩線性厄米算符 ， 均成立。令 顯然， ， 也是線性厄米算符，它們的對易子滿足 由上兩式可得 取算符 ， ，由 及（3.6.6）式得 （3.6.7）式表明， 和 不能同時為零，而且坐標(biāo) 的方均偏差越小，動量 的方均偏差越大，反之亦然。同理可得 （3.6.7）和（3.6.8）式稱為不確定性原理。利用不確定性原理說明量子力學(xué)中的零點能。一維諧振子為例。它的平均能量是 利用厄米多項式的性質(zhì)可得由及（3.6.9） 式得 按不確定性原理， 和 不同時為零，因而 的最小值必不為零，這就是零點能。為求最小值，在式中取等號，得 則 這就是一維諧振子的零點能。 3.7 守恒與對稱1. 力學(xué)量隨時間的變化 在