C語言中超大整數(shù)乘法運算

1、.C 語言中超大整數(shù)乘法運算在計算機中，長整型 (long int) 變量的范圍是 -2147483648 至 2147483647 ，因此若用長整型變量做乘法運算，乘積最多不能超過 10 位數(shù)。即便用雙精度型 (double) 變量，也僅能保證 16 位有效數(shù)字的精度。在某些需要更高精度的乘法運算的場合，需要用別的辦法來實現(xiàn)乘法運算。比較容易想到的是做多位數(shù)乘法時列豎式進行計算的方法，只要寫出模擬這一過程的程序，就能實現(xiàn)任意大整數(shù)的乘法運算。經(jīng)過查閱資料，找到一種更易于編程的方法，即“列表法”。下面先介紹“列表法”：例如當(dāng)計算 8765 x 234時，把乘數(shù)與被乘數(shù)照如下列出，見表1 ：把表

2、 1 中的數(shù)按圖示斜線分組（橫縱坐標(biāo)和相等的數(shù)分為一組），把每組數(shù)的累加起來所得的和記在表格下方，見表 2 ：從最低位的 20 開始，保留個位數(shù)字“0 ”，把個位以外的數(shù)“2 ”進到前一位；把39次低位的加上低位進上來的2 得 41 ，保留個位數(shù)字“1 ”，把“4 ”進到前一位；以此類推，直至最高位的 16 ，16 加上低位進上來的4 得 20 ，保留“0 ”，把2 進到最高位，得乘積答數(shù)2051010 。根據(jù)以上思路就可以編寫C 程序了，再經(jīng)分析可得：.1、一個 m 位的整數(shù)與一個n 位的整數(shù)相乘，乘積為m+n-1位或 m+n 位。2、程序中，用三個字符數(shù)組分別存儲乘數(shù)、被乘數(shù)與乘積。由第1

3、 點分析知，存放乘積的字符數(shù)組的長度應(yīng)不小于存放乘數(shù)與被乘數(shù)的兩個數(shù)組的長度之和。3、可以把第二步“計算填表”與第三四步“累加進位”放在一起完成，可以節(jié)省存儲表格2 所需的空間。4、程序關(guān)鍵部分是兩層循環(huán)，內(nèi)層循環(huán)累計一組數(shù)的和，外層循環(huán)處理保留的數(shù)字與進位。編寫的程序如下：#define MAXLENGTH 1000#include #include void compute(char *a, char *b, char *c);void main(void)char aMAXLENGTH, bMAXLENGTH, cMAXLENGTH * 2;puts(Input multiplier :

4、);gets(a);puts(Input multiplicand :);gets(b);compute(a, b, c);puts(Answer :);puts(c);getchar();.void compute(char *a, char *b, char *c)int i, j, m, n;long sum, carry;m = strlen(a) - 1;n = strlen(b) - 1;for (i = m; i = 0; i-)ai -= 0;for (i = n; i = 0; i-)bi -= 0;cm + n + 2 = 0;carry = 0;for (i = m +

5、n; i = 0; i-) /* i為坐標(biāo)和 */sum = carry;if (j = i - m) 0)j = 0;for ( ; j=i & j=n; j+) /* j為縱坐標(biāo) */sum += ai-j * bj; /*累計一組數(shù)的和*/ci + 1 = sum % 10 + 0; /*算出保留的數(shù)字*/carry = sum / 10; /*算出進位 */if (c0 = carry+0) = 0) /* if no carry, */c0 = 040; /* c0 equals to space */.效率分析：用以上算法計算 m 位整數(shù)乘以 n 位整數(shù)，需要先進行 m x n 次

6、乘法運算，再進行約 m + n 次加法運算和 m + n 次取模運算 (實為整數(shù)除法 )。把這個程序稍加修改，讓它自己產(chǎn)生乘數(shù)與被乘數(shù)，然后計算隨機的 7200 位整數(shù)互乘，在 Cyrix 6x86 pr166 機器的純 DOS 方式下耗時 7 秒(用 Borland C3.1 編譯 )。經(jīng)過改進，此算法效率可以提高約9 倍。注意到以下事實： 8216547 x 96785 將兩數(shù)從個位起，每 3 位分為節(jié)，列出乘法表，將斜線間的數(shù)字相加；8 216 54796 785將表中最后一行進行如下處理：從個位數(shù)開始，每一個方格里只保留三位數(shù)字，超出1000 的部分進位到前一個方格里；所以 82165

7、47 x 96785 = 795238501395也就是說我們在計算生成這個二維表時，不必一位一位地乘，而可以三位三位地乘；在累加時也是滿 1000 進位。這樣，我們在計算m 位整數(shù)乘以 n 位整數(shù)，只需要進行m x n / 9次乘法運算，再進行約 (m + n) / 3次加法運算和 (m + n) /3次取模運算?？傮w看來，效率約是前一種算法的 9 倍。有人可能會想：既然能夠三位三位地乘，為什么不4 位 4 位甚至 5 位 5 位地乘呢？那不是可以.提高 16 乃至 25 倍效率嗎？聽我解來：本算法在累加表中斜線間的數(shù)字時，如果用無符號長整數(shù) (范圍 0 至 4294967295) 作為累加

8、變量，在最不利的情況下 (兩個乘數(shù)的所有數(shù)字均是9) ，能夠累加約 4294967295/(999*999)=4300次，也就是能夠準(zhǔn)確計算任意兩個均不超過12900( 每次累加的結(jié)果 值 三位，故 4300*3=12900)位的整數(shù)相乘。如果4 位 4 位地乘，在最不利的情況下，能夠累加約4294967295/(9999*9999)=43次，僅能夠確保任意兩個不超過172 位的整數(shù)相乘，沒有什么實用價值，更不要說5 位了。請看改進后的算法的實例程序：該程序隨機產(chǎn)生兩個 72xx 位的整數(shù)，把乘數(shù)與積保存在 result.txt 中。在 Borland C+ 3.1 中用BCC -3 -O2

9、-G -mh -Z -f287 -pr -T- dashu.cpp編譯生成的 exe 文件在 Cyrix 6x86 pr166的機器上運行耗時0.82 秒。程序 2 清單：#include#include#include#include#include#define N 7200 /作 72xx 位的整數(shù)乘法int max(int,int,int);int initarray(int a);void write(int a,int l);FILE *fp;void main()int a5000=0,b5000=0,k10001=0; /聲明存放乘數(shù)、被乘數(shù)與積的數(shù)組clock_t start

10、, end; /聲明用于計時的變量unsigned long c,d,e; / 聲明作累加用的無符號長整數(shù)變量 int i,j,la,lb,ma,mi,p,q,t; / 聲明其它變量 randomize(); / 初始化隨機數(shù).la=initarray(a); /產(chǎn)生被乘數(shù)，并返回其長度lb=initarray(b); /產(chǎn)生乘數(shù)，并返回其長度if(lala)?lb:la;for (q=0;q=0;i-) /累加斜線間的數(shù)， i 為橫縱坐標(biāo)之和c=d; /將前一位的進位標(biāo)志存入累加變量cma=max(0,i-la+1,i-lb+1); /求累加的下限mi=(ila-1)?(la-1):i; /

11、求累加的上限for(j=ma;j999)c%=1000; /取 c 的末三位ki=c; /保存至表示乘積的數(shù)組ke=k0+1000*d; /求出乘積的最高位end = clock();/停止計時fp = fopen(result.txt, w+); /保存結(jié)果到 result.txtprintf(nThe elapsed time was: %3.4fn, (end - start) / CLK_TCK);/ 打印消耗的時間.fprintf(fp,%d,a0); /打印被乘數(shù)最高位write(a,la); /打印被乘數(shù)其他位fprintf(fp,%d,b0); /打印乘數(shù)最高位write(b,

12、lb); /打印乘數(shù)其他位fprintf(fp,%ld,e); /打印乘積最高位write(k,la+lb-1); /打印乘積其他位fclose(fp);max(int a,int b,int c)int d;d=(ab)?a:b;return (dc)?d:c;int initarray(int a)int q,p,i;q=N+random(100);if(q%3=0)p=q/3;elsep=q/3+1;for(i=0;ip;i+)ai=random(1000);if(q%3=0)a0=100+random(900);if(q%3=2).a0=10+random(90);if(q%3=1)a0=1+random(9);return p;void write(int a,int l)int i;char