隨機向量及其概率分布.ppt

1、第4章 隨機向量及其概率分布,4.1 隨機向量的聯(lián)合分布 4.2 邊緣分布 4.3 條件分布 4.4 隨機變量的獨立性 4.5 隨機向量函數(shù)的分布,4.1 隨機向量的聯(lián)合分布,4.1.1 二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù) 引例 假設某商店一天內(nèi)的顧客人數(shù)X服從參 數(shù)為1000的Poisson分布；購買某種商品的人數(shù) 記為Y，若每個顧客購買這種商品的概率為 0.25，且各個顧客是否購買這種商品是相互獨 立的。求一天有m個顧客進入商店且有n個顧客 購買這種商品的概率。,定義 設隨機試驗的樣本空間為，X、Y為 定義在上的隨機變量，則稱(X,Y)為一個二維 隨機向量。 若(X,Y)是一個二維隨機變量，則稱函

2、數(shù) F(x,y)=P(Xx,Yy) (等式右邊表示隨機事件Xx、Yy的乘積的 概率)為隨機變量(X,Y)的(聯(lián)合)分布函數(shù)。,二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的性質(zhì)： 0F(x,y)1且F(-,y)=F(x,-)=0， F(+,+)=1； 當x固定時F(x,y)是y的單調(diào)不減函數(shù)，當y 固定時F(x,y)是x的單調(diào)不減函數(shù)； F(x,y)最多有可列個間斷點，且在間斷點 (x0,y0)處關于x和y都是右連續(xù)。,例 已知(X,Y)的分布函數(shù)為 求： A、B； 概率P(0X1,0Y1)。,4.1.2 二維離散型隨機向量 定義 若二維隨機變量(X,Y)只可能取有限個 或可列個值，則稱(X,

3、Y)為二維離散型隨機向量。 設二維離散型隨機向量(X,Y)的一切可能取 值為(xi,yi)，則稱 P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3, 為X與Y的聯(lián)合分布律(列)或(X,Y)的概率分布。,離散型隨機向量的聯(lián)合分布律的表示方法： 公式法： P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3, 列表法：,例 從分別標有1,2,2,3,3,4的6個球中任取3個 球，用X、Y分別表示其中的最小號碼和最大號 碼，求： X、Y的聯(lián)合概率分布； 概率P(X+Y5)。 離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布的性質(zhì)： pij0； p11+p12+p1n+p21+p22+p2n+pn1+pn2+pnn+

4、=1。,4.1.3 二維連續(xù)型隨機向量 定義 對二維隨機向量(X,Y)，若存在非負可 積函數(shù)f(x,y)，有 則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，f(x,y)為X與Y 的聯(lián)合概率密度函數(shù)或(X,Y)的密度函數(shù)，簡記 為(X,Y)f(x,y)。,連續(xù)型隨機向量的密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)： f(x,y)0； 例 設二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函 數(shù)為 求：A；P(X+Y1)。,定理 若二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度 函數(shù)為f(x,y)，聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)。則有 例 隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 求：A；P(XY)；(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y)。,例 隨機

5、向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 求：A；P(XY)。 定義 若隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為 則稱隨機向量(X,Y)服從D上的均勻分布。,定義 若隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為 則稱隨機向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為 (X,Y)N(1,2,12,12,r)。,4.2 邊緣分布,4.2.1 邊緣分布函數(shù) 定義 對二維隨機向量(X,Y)，隨機變量X、Y 的分布函數(shù)稱為(X,Y)關于X、Y的邊緣分布函數(shù)。 定理 若(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則 (X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù)為FX(x)=F(x,+)， (X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù)為FY(y)=F(+,y)。,4.2.2 二

6、維離散型隨機向量的邊緣分布律 定義 若(X,Y)是二維離散型隨機向量，則隨 機變量X、Y的概率分布稱為(X,Y)關于X、Y的邊 緣概率分布。 定理 若二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概 率分布為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,，則 (X,Y)關于X的邊緣概率分布為 pi=P(X=xi)=pi1+pi2+pij+，i=1,2,3,， (X,Y)關于Y的邊緣概率分布為 pj=P(Y=yj)=p1j+p2j+pij+，j=1,2,3,，,求邊緣概率分布時，可在表格上直接進行：,例 若離散型隨機向量 (X,Y)的聯(lián)合概率分布如右 求(X,Y)關于X、Y的邊緣概 率分布。 例 若

7、離散型隨機向量 (X,Y)的聯(lián)合概率分布如右 求(X,Y)關于X、Y的邊緣概 率分布。,4.2.3 二維連續(xù)型隨機向量的邊緣密度 定義 若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，則稱 隨機變量X、 Y的概率密度為(X,Y)關于X、Y的邊 緣概率密度。 定理 若(X,Y)f(x,y)，則(X,Y)關于X、Y的邊緣 概率密度分別為：,例 若二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率 密度為： 求： c的值； (X,Y)關于X、Y的邊緣概率密度。,4.3 條件分布,4.3.1 條件分布函數(shù) 定義 (X,Y)為二維隨機向量，若對固定的x， 極限 存在，則稱之為在X=x下Y的條件分布函數(shù)，記 為FY|X(y|x)。

8、,定義 (X,Y)為二維隨機向量，若對固定的y， 極限 存在，則稱之為在Y=y下X的條件分布函數(shù)，記 為FX|Y (x|y)。,4.3.2 二維離散型隨機向量的條件分布律 定義 設(X,Y)為二維離散型隨機向量， 若對固定的xi，有PX=xi0，則稱 為在條件X=xi下Y的條件分布列。 若對固定的yj，有PY=yj0，則稱 為在條件Y=yj下X的條件分布列。,例 若二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率 分布如右，求： 邊緣分布； 在條件Y=2下 X的條件分布； 條件X=2下Y的 條件分布。,4.3.3 二維連續(xù)型隨機變量的條件分布密度 定義 設(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量， 若對固定的x，

9、有fY(y) 0，則稱 為在條件X=x下Y的條件分布。 若對固定的y，有fY(y) 0，則稱 為在條件Y=y下X的條件分布。,例 若二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率 密度為： 求： (X,Y)關于X、Y的邊緣密度函數(shù)； 在條件X=0下Y的條件密度函數(shù)； 條件密度函數(shù)fX|Y(x|y)。,4.4 隨機變量的獨立性,定義 設(X,Y)為二維隨機向量，若對任意x、 yR，有 F(x,y)=FX(x)FY(y) 則稱X與Y相互獨立。 定理 若X與Y相互獨立，則 FX|Y (x|y)=FX(x)； FY|X (y|x)=FY(y)。,若離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為 PX=xi ,Y=y

10、j=pij，i,j=1,2,3,， 則X與Y相互獨立的充要條件為：對任意i,j， pij=pipj 例 已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布 如右圖： 且X與Y相互獨立， 求a、b的值。,若連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)，則X與Y相互獨立的充要條件為： f(x,y)=fX(x)fY(y) 例 已知隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 判斷X與Y是否相互獨立。 例 已知Xe(1)，Ye(2)，且X與Y相互獨立， 求P(XY)。,定義 設隨機試驗的樣本空間為，X1、X2、 、Xn為定義在上的隨機變量，則稱(X1,X2, ,Xn)為一個n維隨機向量。 若(X1,X2,Xn)

11、是一個n維隨機向量，則稱 函數(shù) F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn) 為隨機向量(X1,X2,Xn)的(聯(lián)合)分布函數(shù)。 函數(shù) FXi(x)=P(Xix) 為隨機向量(X1,X2,Xn)關于Xi的的邊緣分布函數(shù)。,定義 若隨機向量(X1,X2,Xn)的(聯(lián)合)分布函 數(shù)F(x1,x2,xn)及其邊緣分布函數(shù)FXi(x)滿足 F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn) 則稱X1、X2、Xn相互獨立。 定理 若X1、X2、Xn相互獨立，則其中任 意k個隨機變量也相互獨立，2kn 。,定義 若隨機向量(X1,X2,Xm)、(Y1,Y2,Yn) 和(X1,

12、X2,Xm,Y1,Y2,Yn)的(聯(lián)合)分布函數(shù)分別 為F1(x1,x2,xm)、F2(y1,y2,yn)和F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)，且 F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn) 則稱(X1,X2,Xm)與(Y1,Y2,Yn)相互獨立。 定理 若(X1,X2,Xm)與(Y1,Y2,Yn)相互獨立， 對任意函數(shù)g和h，則g(X1,X2,Xm)與h(Y1,Y2,Yn) 相互獨立。,定理 若(X1,X2,Xm)與(Y1,Y2,Yn)相互獨立， 記 則Ak與Ak、Ak與Bk、Bk與Ak、Bk與Bk相互獨立。,4.5 隨機向量函數(shù)的分布,

13、定義 設(X,Y)是二維隨機變量，Z是隨機變量。 對連續(xù)函數(shù)g(x,y)，若X=x和Y=y描述的事件發(fā)生 時，Z=g(x,y)描述的事件一定會發(fā)生，則稱隨機 變量Z為(X,Y)的函數(shù)，記為Z=g(X,Y)。 求二維隨機變量(X,Y)的函數(shù)Z的分布時，常 把Z描述的事件轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示。,4.5.1 二維離散型隨機變量函數(shù)的分布 例 設二維離散型隨機變量(X,Y)的概率分布 為 求X+Y、X-Y、XY、X/Y的概率分布。,總結(jié) 求離散型隨機向量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y) 的概率分布的步驟為： 把(X,Y)的取值代入z=g(x,y)中得到Z的所有 取值； 對Z的每一個取值z0，找出所有

14、滿足g(x,y)=z0 的(x,y)，把對應的概率PX=x,Y=y相加得到 P(Z=z0)。 例 設Xg(p1)，Yg(p2)，且X與Y相互獨立，求 X+Y的概率分布。,定理 對和的分布，重要的離散型分布的結(jié) 果： 設XB(n1,p)，YB(n2,p)，且X與Y相互獨立， 則X+YB(n1+n2, p)； 設XP(1)，YP(2)，且X與Y相互獨立，則 X+YP(1+2)。 定義 若兩個同種分布的隨機變量的和仍服從 這種分布，并且和的參數(shù)等于參數(shù)的和，則稱這 種分布具有可加性或再生性。,4.5.2 二維連續(xù)型隨機向量函數(shù)的分布 已知(X,Y)f(x,y)，g(x,y)為已知函數(shù)，求 Z=g(X,Y)的概率密度的步驟為： 把FZ(z)轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示(其中Dz為區(qū)域或 者幾個區(qū)域的并)：FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=P(X,Y)Dz)； 計算積分FZ(z)=P(X,Y)Dz 對FZ(z)求導得到Z的概率密度。 這種方法一般稱為分布函數(shù)法。,