《多元函數(shù)的概念》PPT課件.ppt

1、第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念,一、平面點集 n 維空間 二、多元函數(shù)概念 三、多元函數(shù)的極限 四、多元函數(shù)的連續(xù)性 五、小結(jié) 練習(xí)題,（1）鄰域,一、多元函數(shù)的概念,（2）區(qū)域,例如，,即為開集,內(nèi)點：,設(shè) E 是平面上的一個點集，,P 是平面上的一個點,如果存在點 P 的某一鄰域,則稱為的內(nèi)點,的內(nèi)點屬于,如果點集的點都是內(nèi)點，,則稱為開集,邊界點：,外點：,如果存在 U( P ) , 使得,則稱點P 為 E 的外點,連通集：,連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域,例如，,例如，,有界閉區(qū)域；,無界開區(qū)域,例如，,（3）聚點,I： 內(nèi)點一定是聚點；,說明：,如果對于任意的 0 , 點 P 的去心鄰域

2、,內(nèi)總有 E 中的點，則稱點 P 是點集 E 的聚點,II： 在 內(nèi)，總有 E 的無窮多個點；,III： 點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E,例如,(0,0) 是聚點但不屬于E,E中任何一點都是 E 的邊界點，,又如,E 中的任何一點都是 E 的聚點。,思考題：邊界點是否一定是聚點？反之，聚點是否 一定是邊界點？,（4）n 維空間,當 n = 3 時，( x , y , z ) 表示空間中的一個點或向量,表示空間中的全體點或全體向量。,因此，我們也稱,為,中的一個點,或一個 n 維向量。,定義線性運算如下：,稱 ( x, y ) 為空間兩點 x 和 y 之間的距離,設(shè),中兩點間的距離公式,

3、中變元 x 的極限,如果,則稱變元 x 趨于固定元 a , 記作,類似地，內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義,結(jié)論：,中鄰域、區(qū)域等概念,則稱 中的點集,為 中點 a 的 鄰域。,二、多元函數(shù)的概念,f 稱為對應(yīng)規(guī)則或函數(shù)，f ( x , y ) 稱為 f 在點 ( x , y ) 處的函數(shù)值。,函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù) f 的值域，記作,函數(shù)與選用的記號無關(guān)，如,則稱 f 是 D 上的二元函數(shù), 記為,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),n 元函數(shù)通常記為,或簡記為,一元函數(shù)與多元函數(shù)的概念比較,一 元函數(shù) y = f (x):,二元函數(shù) y = f (x, y):,n 元函數(shù),例1

4、 求 的定義域,解,所求定義域為,二元函數(shù) 的圖形,（如下頁圖）,當 P ( x, y ) 取遍 D 上一切點時, 得到空間點集,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,例如,單值分支:,二、多元函數(shù)的極限,一元函數(shù)極限回顧：,如果在 的過程中，,f (x) 無限接近一個確定常數(shù) A ，就稱 A 是 f (x),當 時的極限，記為,二元函數(shù)的極限：,如果在 的過程中,f (x, y ) 無限接近一個確定常數(shù) A ，就稱 A 是 f (x, y ),當 時的極限，記為,都有,說明：,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似,（1）定義中 的方式比 的方式復(fù)雜的多,例2

5、 求證,證,當 時，,原結(jié)論成立,例3 求極限,解,其中,證,例4 證明 不存在,（2）取,此時，仍不能確定極限是否存在,（1） P ( x , y ) 沿 x 軸趨于 ( 0 , 0 )，,此時 y = 0 , x 0,例4 證明 不存在,證,（3）取,極限值隨 k 的不同而變化，,故極限不存在,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,確定極限不存在的常用方法：,求二元函數(shù)的極限常用的方法：,（1）用定義驗證其

6、存在或不存在；,（2）利用變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限， 再用一元函數(shù)中已有的方法；,（3）消去分子分母中極限為 0 的因子；,（4）利用極限運算性質(zhì)（與一元函數(shù)相似）；,（5）利用函數(shù)的連續(xù)性；,解：,例5：求極限,解：,例6：求極限,解：,例7：求極限,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,一元函數(shù)連續(xù)性回顧：,二元函數(shù)的連續(xù)性,如果函數(shù) f ( x, y ) 在 D 的每一點都連續(xù)，,二元函數(shù)連續(xù)的三個要素,則稱函數(shù) f ( x, y ) 在 D 上連續(xù)，,或者稱 f ( x, y ) 是 D 上的連續(xù)函數(shù)。,二元函數(shù)間斷的情形比一元函數(shù)要復(fù)雜的多,因為當,f ( x , y ) 無定義，,所以在整個圓

7、周,f ( x , y ) 間斷。,例8 證明函數(shù),在(0,0)處連續(xù),解,取,故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).,例9 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性,解,取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù),定義3,如果函數(shù) f ( P ) 在 D 的每一點都連續(xù)，則稱 函數(shù) f ( P ) 在 D 上連續(xù)，或者稱 f ( P ) 是 D 上的 連續(xù)函數(shù)。,n 元函數(shù)的連續(xù)性,（2）多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量表達的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算所構(gòu)成的可用一個式子表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù),（3）一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,定義區(qū)域是指包含在定義域

8、內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域,關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的幾點說明,（1）一切一元基本初等函數(shù)，作為一個二元或二 元以上的多元函數(shù)時，在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。,不同自變量表達的一元基本初等函數(shù),（4）利用多元函數(shù)的連續(xù)性可以計算在其連續(xù)點 處的極限。,例,解,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即,（一）有界性及最大值和最小值定理,（2）至少存在兩點,（1）存在正數(shù) M ，使得對于任意的點 P D ，均有,（二）介值定理,在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)的多元函數(shù) f ( P ) ， 必取得介于最小值 m 和最大值 M 之間的任何值。,即對任意的 c , m c M ,至少存在一點 P D ,使得：,多元函數(shù)極限的概念,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),（注意趨近方式的任意性）,四、小結(jié),多元函數(shù)的定義,習(xí)題91: 4(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(1), 8,第八章作業(yè),第一節(jié)：多元函數(shù)的基本概念,答案：,思考題,思