高中數(shù)學(xué)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法

1、第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想四、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問題。歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無(wú)理方程化有理方程要求驗(yàn)根），它能給人帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口。我們?cè)趹?yīng)用時(shí)

2、一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表什么叫解題的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過程。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)

3、形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化?？梢哉f，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來(lái)處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡(jiǎn)單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無(wú)理式到有理式、從分式到整式等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標(biāo)準(zhǔn)

4、型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦郏?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。、再現(xiàn)性題組：1. f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x，則f(7.5)等于_。 A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.52.設(shè)f(x)3x2，則ff(x)等于_。 A. B. 9x8 C. x D. 3. 若m、n、p、qR且mna，pqb，ab0，則mpnq的最大值是_。 A. B. C. D. 4. 如果復(fù)數(shù)z滿足|z|z|2，那么|z1|的最小值為_。 A. 1 B. C. 2 D. 5. 設(shè)橢圓1 （ab0）的半焦距

5、為c，直線l過(0,a)和(b,0)，已知原點(diǎn)到l的距離等于c，則橢圓的離心率為_。 A. B. C. D. 6. 已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，SA5，SB4，SC3，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，則四棱錐S-BCED的體積為_。 A. B. 10 C. D. 【簡(jiǎn)解】1小題：由已知轉(zhuǎn)化為周期為2,所以f(7.5)f(-0.5)f(0.5)，選B；2小題：設(shè)f(x)y，由互為反函數(shù)的值域與定義域的關(guān)系，選C；3小題：由mpnq容易求解，選A；4小題：由復(fù)數(shù)模幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法求解，選A；5小題：ab，變形為12e31e70，再解出e，選B；6小題：由SS和三棱椎的等體積轉(zhuǎn)化容

6、易求，選A。、示范性題組：例1. 若x、y、zR且xyz1，求(1)( 1)( 1)的最小值?！痉治觥坑梢阎獂yz1而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式xyz，或者運(yùn)用均值不等式后含xyz的形式。所以，關(guān)鍵是將所求式進(jìn)行合理的變形，即等價(jià)轉(zhuǎn)化。【解】(1)( 1)( 1)（1x）(1y)(1z)(1xyzxyyzzxxyz)(xyyzzxxyz)131119【注】對(duì)所求式進(jìn)行等價(jià)變換：先通分，再整理分子，最后拆分。將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，則不難由平均值不等式而進(jìn)行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在形變中保持值不變。例2. 設(shè)x、yR且3x2y6x，求xy的范圍。【分析】 設(shè)kxy，再代

7、入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)求參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范圍?！窘狻坑?x3x2y0得0x2。設(shè)kxy，則ykx，代入已知等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其對(duì)稱軸為x3。由0x2得k0,4。所以xy的范圍是：0xy4?！玖斫狻?數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問題）：由3x2y6x得(x1)1，即表示如圖所示橢圓，其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。xy的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為xyk，代入橢圓中消y得x6x2k0。由判別式368k0得k4,所以xy的范圍是：0xy4?！驹俳狻?三角換元

8、法，對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）：由3x2y6x得(x1)1，設(shè)，則xy12coscossin12coscoscos2cos0,4所以xy的范圍是：0xy4?！咀ⅰ勘绢}運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型。例3. 求值：ctg104cos10 【分析】分析所求值的式子，估計(jì)兩條途徑：一是將函數(shù)名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角。【解一】ctg104cos104cos10（基本過程：切化弦通分化同名拆項(xiàng)差化積化同名差化積）【

9、解二】ctg104cos104cos10（基本過程：切化弦通分化同名特值代入積化和差化積）【解三】ctg104cos104cos10（基本過程：切化弦通分化同名拆角80和差角公式）【注】無(wú)條件三角求值問題，是高考中常見題型，其變換過程是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。此種題型屬于三角變換型。一般對(duì)，對(duì)于三角恒等變換，需要靈活運(yùn)用的是同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬(wàn)能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對(duì)此，我們要掌握變換的通法，活用2公式，攻克三角恒等變形的每一道難關(guān)。例4. 已知f(x)tgx，x(0,

10、 )，若x、x(0, )且xx，求證：f(x)f(x)f() （94年全國(guó)高考）【分析】從問題著手進(jìn)行思考，運(yùn)用分析法，一步步探求問題成立的充分條件?！咀C明】f(x)f(x)f() tgxtgxtg() 1cos(xx)2cosxcosx 1cosxcosxsinxsinx2cosxcosx cosxcosxsinxsinx1 cos(xx)1 由已知顯然cos(xx)f() SA M D N C B 【注】 本題在用分析法證明數(shù)學(xué)問題的過程中，每一步實(shí)施的都是等價(jià)轉(zhuǎn)化。此種題型屬于分析證明型。例5. 如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截

11、面MAB與底面所成角等于NSC。求證：SC垂直于截面MAB。（83年全國(guó)高考）【分析】 由三垂線定理容易證明SCAB，再在平面SDNC中利用平面幾何知識(shí)證明SCDM?！咀C明】由已知可得：SN底面ABC，ABCD，CD是斜線SC在底面AB的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面SDNC MDC就是截面MAB與底面所成的二面角 由已知得MDCNSC又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt 即 SCDM 所以SC截面MAB。【注】立體幾何中有些問題的證明，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何證明來(lái)解決，即考慮在一個(gè)平面上的證明時(shí)運(yùn)用平面幾何知識(shí)。、鞏固性題組：1. 正方形ABCD與正方形ABEF成9

12、0的二面角，則AC與BF所成的角為_。 A. 45 B. 60 C. 30 D. 902. 函數(shù)f(x)|lgx|，若0af(b)，則下列各式中成立的是_。 A. ab1 B. ab1 D. a1且b13. (nN)的值為_。 A. B. C. 0 D. 14. (abc)展開式的項(xiàng)數(shù)是_。 A. 11 B. 66 C. 132 D. 35. 已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，AAAD1，AB，則頂點(diǎn)A到截面ABD的距離是_。6. 已知點(diǎn)M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，則|MN|的最大值為_。7. 函數(shù)y的值域是_。8. 不等式log（xx3）log(x2)的解是_。9設(shè)x0，y0，求證：(xy)(xy) (86年上海高考)10. 當(dāng)x0, 時(shí)，求使cosxmcosx2m20恒成立的實(shí)數(shù)m的