有限元講稿第四章等效載荷re.ppt

1、October 9, 2004,第四章-1,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,第四章彈性結(jié)構(gòu)靜力分析,October 9, 2004,第四章-2,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（3）等效節(jié)點(diǎn)載荷的計(jì)算,有限元法是以節(jié)點(diǎn)處的“力平衡條件”建立求解方程的，因此當(dāng)單元內(nèi)部存在體力或邊界上存在面力時(shí)，必須通過(guò)某種方式將這些載荷轉(zhuǎn)移變換到單元的節(jié)點(diǎn)處。 在有限元法中，采用“靜力等效原則”進(jìn)行等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算。所謂“靜力等效原則”是指，對(duì)任意虛位移，原來(lái)載荷與轉(zhuǎn)換后的節(jié)點(diǎn)載荷在同一虛位移上的虛功相等。,October 9, 2004,第四章-3,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（3）等效節(jié)點(diǎn)載荷的計(jì)算,設(shè)

2、有一均質(zhì)、等厚度的三角形單元i,j,k受重力W的作用，其合力作用在單元的形心，試根據(jù)靜力等效原則求轉(zhuǎn)換到節(jié)點(diǎn)上的等效載荷。,o,x,y,i,j,m,Yi,i,b,c,c,W,1、假設(shè)單元產(chǎn)生以下幾何容許的虛位移： 節(jié)點(diǎn)i只沿y方向移動(dòng)單位1； 而其余兩節(jié)點(diǎn)j,k為鉸支約束 2、由于位移模式為線性函數(shù)變化，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i移動(dòng)后，單元內(nèi)部bi線段上各點(diǎn)位移均按直線移動(dòng)，即變形后仍為直線bi； 3、重力W作用在形心： bc/bi=1/3 當(dāng)ii=1，則形心c沿y移動(dòng)： cc/ii=bc/bi=1/3,4、所以可得： -W1/3=Yi1，Yi=W/3； 同理可得： Yj=W/3，Yk=W/3；,Octobe

3、r 9, 2004,第四章-4,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（3）等效節(jié)點(diǎn)載荷的計(jì)算,幾種載荷的等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算?？紤]單元中某一點(diǎn)(x,y)作用有集中載荷P：,P=px, pyT 對(duì)應(yīng)等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣為： Re=Xi, Yi, Xj, Yj, Xk, YkT 單元內(nèi)部產(chǎn)生虛位移，集中載荷作用點(diǎn)(x,y)的虛位移為： f=u, vT 對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)虛位移為： e=ui, vi, uj, vj, uk, vkT 由位移模式有： f=Ne 利用虛位移原理可得： (e)TRe=fTP=(Ne)TP 利用矩陣乘積逆序法則： (e)TRe=(e)TNTP 由于虛位移是任意的，則有： Re=NTP,Octob

4、er 9, 2004,第四章-5,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（3）等效節(jié)點(diǎn)載荷的計(jì)算,如果單元上有體力作用，沿x,y方向的體力分量為P=X, YT，相當(dāng)于在點(diǎn)(x,y)處作用集中力為Ptdxdy，則等效節(jié)點(diǎn)載荷為：,如果單元某邊界受有面力q作用，沿x,y方向的面力分量為q=qx, qyT，若將微元體tds上的面力qtds當(dāng)作集中載荷P，相當(dāng)于在邊界點(diǎn)(x,y)處作用集中力為P=qtds，則等效節(jié)點(diǎn)載荷為：,October 9, 2004,第四章-6,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（4）結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的集成,對(duì)結(jié)構(gòu)分析建立整體剛度矩陣的方法，是利用單元“節(jié)點(diǎn)的平衡方程”。用具體例題說(shuō)明

5、如下。,a,a,a,a,1,2,3,4,5,6,X2,X1,Y1,i,j,m,i,j,m,m,i,j,j,i,m,1,2,3,4,由于該結(jié)構(gòu)有6個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)自由度為12，即需要確定的節(jié)點(diǎn)位移參量為12個(gè)，應(yīng)列出12個(gè)線性方程。這樣，線性方程組的系數(shù)矩陣，也即總剛度矩陣有1212個(gè)元素，按(x, y)分塊后有66子矩陣。,October 9, 2004,第四章-7,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（4）結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的集成,按節(jié)點(diǎn)編號(hào)列出總剛陣結(jié)構(gòu)，每一個(gè)子陣先用零表示：,如果取U1=1，其余U2=U6=0,則有： K11=F1； K21=F2； K61=F6； 則K11表示節(jié)點(diǎn)1作用單位1位

6、移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)1產(chǎn)生的載荷，其余類推。,=1 =0 =0 =0 =0 =0,October 9, 2004,第四章-8,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（4）結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的集成,建立每個(gè)單元的剛度矩陣，如對(duì)單元可表示為：,注意單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)(i,j,m)與整體節(jié)點(diǎn)編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系： (i, j, m)=(5, 3, 2) 當(dāng)許多單元共用一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，作用在該節(jié)點(diǎn)的合力就是每個(gè)單元?jiǎng)傟囍芯哂邢嗤聵?biāo)子矩陣kij的迭加，也就是總剛陣中具有相同下標(biāo)的元素，即：,October 9, 2004,第四章-9,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（4）結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的集成,建立每個(gè)單元的剛度矩陣，如對(duì)單元可表示

7、為：,注意單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)(i,j,m)與整體節(jié)點(diǎn)編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系： (i, j, m)=(5, 3, 2),其中，kii=k55表示單元的節(jié)點(diǎn)5作用單位位移時(shí)在節(jié)點(diǎn)5產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力；它應(yīng)與總剛陣子陣K55迭加； kij=k53表示單元的節(jié)點(diǎn)3作用單位位移時(shí)在節(jié)點(diǎn)5產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力；它應(yīng)與總剛陣子陣K53迭加； kij=k52表示單元的節(jié)點(diǎn)2作用單位位移時(shí)在節(jié)點(diǎn)5產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力；它應(yīng)與總剛陣子陣K52迭加等，,October 9, 2004,第四章-10,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（4）結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的集成,即“相同下標(biāo)的單元子陣元素相加”就可以得到該結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣元素為：,K11=k11(1)，

8、K12=k12(1) ，K13=k13(1)； K21=k21(1)，K22=k22(1)+ k22(2)+ k22(3)，K23=k23(1)+ k23(3)； K31=k31(1)，K32=k32(1)+ k32(3)，K33=k33(1)+ k33(3)+ k33(4)； K42=k42(2)，K44=k44(2)，K45=k45(2)； K52=k52(2)+k52(3),K53=k53(3)+k53(4),K54=k54(2)， K55=k55(2)+k55(3)+k33(4)，K56=k56(4) K63=k63(4)，K65=k65(4)，K66=k66(4)；,October

9、9, 2004,第四章-11,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（4）結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的集成,如果取泊松比=0，可得單元、的單元?jiǎng)偠染仃囀窍嗤?，均為如下形式?October 9, 2004,第四章-12,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（4）結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的集成,利用這個(gè)結(jié)果，將相應(yīng)的子陣代入總剛陣計(jì)算式中，經(jīng)整理后可得該結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣為如下形式：,對(duì)稱,October 9, 2004,第四章-13,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（4）結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的集成,最后獲得的線性代數(shù)方程為：,對(duì)稱,October 9, 2004,第四章-14,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（5）代入邊界條

10、件,在建立了結(jié)構(gòu)總剛度矩陣后，就可以建立節(jié)點(diǎn)位移所滿足的線性方程： K=R 式中，為全部節(jié)點(diǎn)位移列陣，R為全部節(jié)點(diǎn)載荷列陣。但由于沒(méi)有代入邊界條件，這個(gè)方程組的解是不確定的。 從線性代數(shù)理論上講，上述線性方程組是奇異的，即線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣的行列式的值為零detK=0，因此線性代數(shù)方程組無(wú)法求解。 這一點(diǎn)從力學(xué)意義上理解，是因?yàn)椴捎梦灰品ㄇ蠼鈺r(shí)，如果對(duì)受載結(jié)構(gòu)不引入符合實(shí)際的幾何約束條件，則該結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生沒(méi)有限制的剛體運(yùn)動(dòng)，顯然解是不確定的。這一點(diǎn)反映在數(shù)學(xué)上，總剛度矩陣K是奇異的，即它的行列式的值為零，因而其逆陣不存在。 因此對(duì)結(jié)構(gòu)受力分析，要使有限元模型能夠求解，必須保證至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)

11、是完全固定的幾何約束，即整個(gè)結(jié)構(gòu)不能存在剛性運(yùn)動(dòng)。,October 9, 2004,第四章-15,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（6）總剛度矩陣的特點(diǎn),總剛度矩陣具有以下特點(diǎn)： 1）對(duì)稱性 很容易證明，總剛度矩陣是個(gè)對(duì)稱矩陣。利用對(duì)稱性，有限元程序只需存儲(chǔ)對(duì)角線元素以上的部分即可，這樣將節(jié)約一半的存儲(chǔ)空間。 2）稀疏性 總剛度矩陣是一個(gè)稀疏矩陣，其絕大部分元素都是零，非零元素只占總元素的很少一部分。對(duì)稀疏矩陣線性方程組，已建立了許多有效求解方法。在有限元程序中，只需存儲(chǔ)非零元素，這樣又可大大減少存儲(chǔ)量，提高計(jì)算效率。 3）帶狀分布 總剛度矩陣中的非零元素呈斜帶狀區(qū)域，對(duì)稱分布在主對(duì)角線的兩側(cè)

12、?？倓傟囍忻啃邪ㄖ鲗?duì)角線元素的“半帶中”非零元素的個(gè)數(shù)，稱為“半帶寬”。應(yīng)充分利用有效的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方法，減小半帶寬度，提高有限元程序計(jì)算效率。,October 9, 2004,第四章-16,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（4）結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的集成,最后獲得的線性代數(shù)方程為：,對(duì)稱,October 9, 2004,第四章-17,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（7）有限元數(shù)值解的收斂準(zhǔn)則,在此我們從物理意義對(duì)位移模式的要求作一分析： 1）位移模式必須能反映單元的剛性位移 單元的剛性位移是指平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，與單元的內(nèi)部變形無(wú)關(guān)，它是由于其他單元發(fā)生了變形后而連帶發(fā)生的，因此要正確反映單元的位移形態(tài)

13、，位移模式中必須包含反映單元?jiǎng)傂晕灰频暮瘮?shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)。 2）位移模式必須能反映單元的常應(yīng)變項(xiàng) 當(dāng)單元的尺寸越來(lái)越小時(shí)，每個(gè)單元內(nèi)的應(yīng)變應(yīng)趨于一個(gè)確定的值。因此對(duì)有限區(qū)域（元）講，所選擇位移模式必須包含能描述上述特性的函數(shù)項(xiàng)，即包括兩部分：一部分能給出常應(yīng)變，另一部分給出與坐標(biāo)有關(guān)的應(yīng)變，即變量應(yīng)變。由于變量應(yīng)變隨單元尺寸減小逐漸變小，因此常應(yīng)變項(xiàng)為應(yīng)變的主要部分。即位移模式至少需包含線性函數(shù)項(xiàng)。 3）位移模式應(yīng)反映實(shí)際結(jié)構(gòu)位移的連續(xù)性 位移的連續(xù)性包括兩方面要求：一是每個(gè)單元在整體結(jié)構(gòu)變形后仍能保持為一個(gè)連續(xù)的構(gòu)件；二是相鄰單元的共同邊界在變形后仍是連續(xù)的，不會(huì)發(fā)生脫離和重疊現(xiàn)象。這就需要假

14、設(shè)位移模式必須是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。,October 9, 2004,第四章-18,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（8）精度較高的平面單元簡(jiǎn)介,如前所述，線性位移模式的單元為常應(yīng)變單元，當(dāng)單元尺寸較大時(shí)會(huì)產(chǎn)生明顯誤差。為減少離散化帶來(lái)的誤差，使所求得位移和應(yīng)力能更好反映真實(shí)狀態(tài)，可采用具有較高階次位移插值函數(shù)的單元，即精度較高的平面單元。 對(duì)平面問(wèn)題，常用的較高精度單元是矩形單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元。,October 9, 2004,第四章-19,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（8）精度較高的平面單元簡(jiǎn)介,矩形平面單元： 以矩形四個(gè)角點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)局部標(biāo)號(hào)用(i, j, k, m)表示，為

15、簡(jiǎn)單起見(jiàn)，坐標(biāo)系選在矩形單元的中心，如圖所示。,x,y,o,i,j,k,m,a,a,b,b,ui,um,uk,uj,vi,vj,vk,vm,其中：,形函數(shù)為：,October 9, 2004,第四章-20,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（8）精度較高的平面單元簡(jiǎn)介,六節(jié)點(diǎn)三角形平面單元： 其節(jié)點(diǎn)布置如圖所示，由于單元存在12個(gè)自由度，就可以采用完全二次多項(xiàng)式位移插值函數(shù)(見(jiàn)第三章討論)：,x,y,o,i,j,k,m,l,這種單元也稱為二次單元。有關(guān)應(yīng)變矩陣B、應(yīng)力矩陣S和單元?jiǎng)偠染仃嚺c上述推導(dǎo)思路完全相同，但推導(dǎo)過(guò)程十分復(fù)雜。在此不作進(jìn)一步的討論，可參見(jiàn)有關(guān)文獻(xiàn)專著。,n,October 9

16、, 2004,第四章-21,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（9）熱應(yīng)力的計(jì)算,工程結(jié)構(gòu)在溫度作用下的熱應(yīng)力分析問(wèn)題十分普遍。如何利用有限元法計(jì)算由于溫度變化所產(chǎn)生的熱應(yīng)力？ 總的講有三種分析思路： 1）如果結(jié)構(gòu)溫度分布已知，則可以將溫度作為體載荷直接加在離散模型的節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行計(jì)算； 2）間接法，用有限元法首先進(jìn)行溫度計(jì)算，然后將求得節(jié)點(diǎn)溫度作為體載荷加在結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析中，溫度和應(yīng)力分開(kāi)計(jì)算； 3）直接法，將溫度和應(yīng)力耦合在一起進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)得到溫度和應(yīng)力分布。 直接法或耦合法是最復(fù)雜得計(jì)算過(guò)程，也是最符合實(shí)際情況。對(duì)大多數(shù)結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力分析，都采用第二種間接法進(jìn)行分析。 我們?cè)诖藘H介紹第一種溫度分布

17、已知的最簡(jiǎn)單情況。,October 9, 2004,第四章-22,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（9）熱應(yīng)力的計(jì)算,對(duì)于平面熱應(yīng)力問(wèn)題，溫度T僅是坐標(biāo)x,y的函數(shù)T=T(x,y)，溫度產(chǎn)生的體積膨脹或收縮只影響彈性體的正應(yīng)變，此時(shí)材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系變?yōu)?,將上式移項(xiàng)有：,溫度產(chǎn)生 的正應(yīng)變,October 9, 2004,第四章-23,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（9）熱應(yīng)力的計(jì)算,再改寫(xiě)成應(yīng)力得形式，有：,引進(jìn)記號(hào)：,溫度產(chǎn)生 的正應(yīng)力,October 9, 2004,第四章-24,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（9）熱應(yīng)力的計(jì)算,代入單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式有：,上式中第二項(xiàng)表示由于

18、溫度作用而產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力，對(duì)上式進(jìn)行移項(xiàng)：,可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)不受力時(shí)節(jié)點(diǎn)實(shí)際載荷并不存在，而包含溫度的項(xiàng)就相當(dāng)于作用在單元節(jié)點(diǎn)的“等效節(jié)點(diǎn)載荷”。,0=,October 9, 2004,第四章-25,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,軸對(duì)稱問(wèn)題的單元分析,在工程實(shí)際中，如果結(jié)構(gòu)的幾何形狀、約束條件及所受的外載都繞某一軸對(duì)稱，則所有的應(yīng)力、應(yīng)變和位移也對(duì)稱于此軸。這種問(wèn)題稱為軸對(duì)稱問(wèn)題。如各種壓力容器、宇航結(jié)構(gòu)、圓柱（筒）等都是軸對(duì)稱問(wèn)題。,在描述軸對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，采用圓柱坐標(biāo)(r,z)比較方便。 用相距dr的兩個(gè)圓柱面，互成d角的兩個(gè)垂直面，和兩個(gè)相距dz的水平面，從彈性體中分離出一個(gè)小的微元體，用r

19、r表示徑向正應(yīng)力，表示環(huán)向正應(yīng)力，zz表示軸向正應(yīng)力，剪應(yīng)力分量rz=zr。,October 9, 2004,第四章-26,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,軸對(duì)稱問(wèn)題的單元分析,任何一點(diǎn)只有兩個(gè)位移分量：即沿r方向的徑向位移u，和沿z方向的軸向位移w。由于對(duì)稱性，垂直對(duì)稱面的方向環(huán)向位移為零；剪應(yīng)力分量r=r=0，z=z=0。 這樣在軸對(duì)稱問(wèn)題中，所求解的未知參量有： 位移分量：f=u，wT； 應(yīng)力分量：=rr，zz，rzT； 應(yīng)變分量：=rr，zz，rzT； 共計(jì)10未知參量。軸對(duì)稱問(wèn)題分析就是在確定約束和載荷邊界條件下，求解結(jié)構(gòu)中上述10未知參量的分布規(guī)律。,October 9, 2004

20、,第四章-27,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（1）軸對(duì)稱問(wèn)題基本方程,根據(jù)圖所示微元體的在r和z方向的平衡條件Rr=0, Rz=0，可推導(dǎo)出軸對(duì)稱問(wèn)題的平衡方程為：,由幾何關(guān)系，可導(dǎo)出幾何方程為：,October 9, 2004,第四章-28,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（1）軸對(duì)稱問(wèn)題基本方程,由廣義Hookes Law可得物理方程（應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）為：,對(duì)稱,October 9, 2004,第四章-29,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（2）位移模式,在軸對(duì)稱問(wèn)題中，以任一對(duì)稱面(r, z)為研究對(duì)象。采用的單元是一些軸對(duì)稱環(huán)形單元，其橫截面（與rz面相交的截面）可以是各種平面形狀，就像平面問(wèn)題在xy面上進(jìn)行離散化。,r, (x),z,o,y, (),r,o,z,m,j,i,ui,uj,um,wi,wj,wm,October 9, 2004,第四章-30,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（2）位移模式,采用三角形單元對(duì)軸對(duì)稱截面進(jìn)行離散化，仿照平面問(wèn)題，選擇線性位移模式：,可以得到與平面問(wèn)題類似的關(guān)系式，即：,其中，Ni=(ai+bir+ciz)/2A, (i,j,m)。,October 9, 2004,第四章-31,工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法,（2）位移模式,在軸對(duì)稱問(wèn)題中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有四個(gè)應(yīng)變分量，沿r方向