實(shí)變函數(shù)與泛函分析課件：第四章 線性賦范空間與有界線性算子

1、第四章 線性賦范空間與有界線性算子,本章是該課程最主要的部分,前三章為本章的基礎(chǔ).泛函分析的主要思想和結(jié)果都在本章中給出,它們可直接用于研究工程技術(shù)問(wèn)題.,4.1 線性賦范空間,4.1.1. 定義及例子 在距離空間中,并未考慮其元素之間的關(guān)系.但是事實(shí)上,在某些具體的空間,如 , , 及 等中,已經(jīng)用了其元素的加法與數(shù)乘.本章將在線性空間中引入范數(shù),成為線性賦范空間.,定義 4.1.1 設(shè) 是一個(gè)實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域 上的一個(gè)線性空間,若存在 上的函數(shù) ,滿足: (1) 非負(fù)性: ; 正定性: ( , 為 中零元). (2) 正齊性: ( , ). (3) 次可加性: ( ). 則稱 為 上的一個(gè)范

2、數(shù),而 稱為 的范數(shù). 此時(shí) 稱為線性賦范空間,簡(jiǎn)稱賦范空間,記為 .,注:若將(1)中的正定性去掉,則稱 為一個(gè)半范數(shù)或擬范數(shù). 若將(1)中的正定性改為 ,范數(shù)定義不變.因?yàn)?根據(jù)正齊性,令 ,則 .,任何線性賦范空間 ,都可按照距離 成為一個(gè)距離空間.從這種意義上,任一賦范空間都是距離空間,并稱該距離為由范數(shù)誘導(dǎo)的距離. 因此第3章中關(guān)于距離空間的結(jié)論在賦范空間中均成立.如 , 后者稱為按范數(shù)收斂. 又如 是 的連續(xù)函數(shù).,線性空間上的距離未必都能由范數(shù)誘導(dǎo). 線性空間 上的一個(gè)距離 能由范數(shù)誘導(dǎo) 及 對(duì)一切 及 成立.,定義 4.1.2 設(shè) 為賦范空間,若 按照距離 是完備的,則稱 為

3、Banach空間. 按照距離 是完備的,且距離可由范數(shù) 誘導(dǎo). 因此 是Banach空間.,對(duì) ,令 則 也是Banach空間. ,是Banach空間.,例 4.1.1 有界數(shù)列全體 ,按數(shù)列通常加法與數(shù)乘構(gòu)成一個(gè)線性空間.且距離 , 其中 , 可由范數(shù) 誘導(dǎo),則它是一個(gè)Banach空間.,例 4.1.2 設(shè) 為閉區(qū)間 上所有本性有界可測(cè)函數(shù),按照函數(shù)的通常加法與數(shù)乘構(gòu)成的線性空間,規(guī)定幾乎處處相等的函數(shù)為同一函數(shù).定義 其中, ,則易驗(yàn)證 為 上的一個(gè)范數(shù),稱為本性最大模,且 為Banach空間.,4.1.2. 不同范數(shù)之間的等價(jià)性,在同一個(gè)線性空間中,往往可定義多種不同的范數(shù),如 中,可定

4、義 等三種范數(shù). 下面討論不同范數(shù)之間的關(guān)系.,定義 4.1.3 設(shè) 與 為線性空間 中的兩種范數(shù),若對(duì) ,有 ,則稱 比 更強(qiáng); 若 比 更強(qiáng), 比 也更強(qiáng),則稱 與 等價(jià). 范數(shù)等價(jià)具有自反性,對(duì)稱性及傳遞性.,定理 4.1.1 設(shè) 與 為線性空間 中的兩種范數(shù),則 比 更強(qiáng) ,使對(duì) ,有 . 注 充分性顯然，必要性用反證法 推論4.1.1 設(shè) 與 為線性空間 中的兩種范數(shù),則 與 等價(jià) , 使對(duì) ,有,4.1.3 有限維線性賦范空間,首先復(fù)習(xí)一下線性代數(shù)中基底,坐標(biāo)及維數(shù)等基本概念. 定義4.1.4 若線性空間 中存在 個(gè)線性無(wú)關(guān)向量 ,使得 ,均存在唯一的 ,使 可以表示為 ,則稱 為

5、 的一個(gè)基底, 為坐標(biāo).,稱為空間的維數(shù), 為零維線性空間.所有 維線性空間為有限維線性空間,有限維賦范空間又稱為Minkowski空間,如 ;所有非有限維線性空間都叫無(wú)限維線性空間.Eg. , , . 代數(shù)同構(gòu)映射保持兩線性空間中的加法和數(shù)乘. 維線性空間 一定與 代數(shù)同構(gòu).進(jìn)一步,若 還是賦范空間,則 , ,范數(shù)相等的同構(gòu)映射稱為等距同構(gòu).,定理 4.1.2 若 為有限維線性賦范空間,則 上的所有范數(shù)互相等價(jià).,定理 4.1.3 設(shè) 為線性賦范空間,則 有限維 中的單位球致密 中的單位球全有界. 推論 設(shè) 為一個(gè)無(wú)線維賦范空間,則 中單位球一定不是緊集.,4.2 有界線性算子,4.2.1.

6、 定義及例子 定義 4.2.1 設(shè) 與 為同一數(shù)域 上的兩個(gè)線性空間, ,若對(duì)每個(gè) ,按照某種法則 ,存在唯一的 與之對(duì)應(yīng),則稱 為 中 到 的一個(gè)算子或映射. 稱為 的定義域,記為 , 稱為 在 下的像,集合 稱為 的值域,記為 或 .,習(xí)慣上,若 均為數(shù)空間,稱 為函數(shù).若 為線性賦范空間,稱 為算子.若 為賦范空間, 為數(shù)空間,則稱 為泛函(例如積分),用 表示 .若 為數(shù)空間, 為賦范空間,稱 為抽象函數(shù). 例: 為數(shù)空間, 為賦范空間, ,則 ( 固定) ,則 為 張成的一維賦范空間. 記為 或 .,定義 4.2.2 設(shè) ,若對(duì) ,均有 ,則稱 為可加的;若對(duì) ,及 ,均有 ,則稱

7、為齊性的.齊性且可加的算子稱為線性算子. 由定義可知,若 為線性算子,則 一定是 中的一個(gè)線性子空間,且值域 也是 中的線性子空間,且有 .,以下設(shè) , 與 均為線性賦范空間.算子 在 連續(xù)是指 ,總有 ;若 在 上每點(diǎn)均連續(xù),則稱 為連續(xù)算子. 引理1 設(shè) 為線性算子,對(duì)某個(gè) ,則 在 點(diǎn)連續(xù) 為連續(xù)算子.,定義 4.2.3 若 ,使對(duì) ,均有 ,則稱 為有界算子,否則稱 為無(wú)界算子. 注意:因 與 屬于不同空間,范數(shù)的定義也不同.有界算子把有界集映為有界集,但反之不一定成立. 無(wú)界 ,均 , 使 . 引理2 設(shè) 是線性算子,則 有界的充要條件是 把 中的有界集映為 中的有界集.,例 4.2

8、.1 維Euclid空間 中的任一線性變換 是 上的有界線性算子. 思考題 設(shè) 與 為兩個(gè)Minkowski空間,則 到 的線性算子一定有界.,例 4.2.2 設(shè) 為賦范空間, ,算子 稱為 上的相似算子.顯然,它是一個(gè)有界線性算子. 時(shí)稱為零算子; 時(shí)稱 為不變算子或恒等算子或單位算子,分別用 與 表示. 例 4.2.3 設(shè) ,令 , 則 是 到 的有界線性算子.其中 為 的對(duì)偶數(shù).,例 4.2.4 設(shè) ,取定 ,令 ,則 是 上的一個(gè)有界線性泛函. 例 4.2.5 用 表示在 上連續(xù)可微函數(shù)全體,并把它看作是 的一個(gè)子空間,則微分算子 是 到 的無(wú)界線性算子. 思考題 證明 是 到 的無(wú)界

9、線性算子.,4.2.2 有界線性算子的性質(zhì),定理 4.2.1 設(shè) 是線性算子,則 連續(xù)等價(jià)于 有界.,定義 4.2.4 設(shè) 是線性算子,若 則稱 為算子 的范數(shù). 易證: 有界 . 當(dāng) 為有界線性算子時(shí), 稱為 的范數(shù),且對(duì) 有 .,定理 4.2.2 設(shè) 為有界線性算子,則 例 4.2.6 設(shè) 在正方形域 上連續(xù),且有 ,則 是 上的有界線性算子,且 .,4.2.3. 線性算子空間,定義 4.2.5 設(shè) 與 為同一數(shù)域 上的兩個(gè)線性賦范空間,記 到 的線性算子全體為 , 到 的有界線性算子全體為 ,在 中定義加法和數(shù)乘:,易驗(yàn)證 關(guān)于上述加法與數(shù)乘為一個(gè)線性空間.而 為 的一個(gè)線性子空間,稱為

10、有界線性算子空間.零算子 為其中的零元. 易驗(yàn)證 為一個(gè)線性賦范空間,其中: 特別, 上的有界線性泛函全體 稱為 的共軛空間,記為 .,定義 4.2.6 設(shè) 與 為同一數(shù)域 上的兩個(gè)線性賦范空間, ,若 ,則稱有界線性算子序列 按算子范數(shù)收斂到 ,或稱 一致收斂到 ,記為 (或 ).,若對(duì)每個(gè) ,均有 , 則稱 強(qiáng)收斂到 ,記為 (相當(dāng)于處處收斂).若對(duì)每個(gè) ,及 ,均有 ,則稱 弱收斂到 ,記為 . 顯然: ,反之一般不成立. 若 與 為有限維空間,則 .,例 4.2.7 強(qiáng)收斂但不一致收斂的算子序列. 在 中,定義左移算子序列 ,對(duì) ,有 ,顯然 是 上的有界線性算子,則易驗(yàn)證 ,且對(duì) ,

11、 有 (余項(xiàng) ),故 , 令 ,則 ,且 ,于是有 ,則 .,定理 4.2.3 若 為線性賦范空間, 為Banach空間,則 是Banach空間. 推論 設(shè) 是線性賦范空間,則其共軛空間 一定是Banach空間.,定義 4.2.7 設(shè) 為線性賦范空間, ,若 ,則稱泛函序列 強(qiáng)收斂于 (相當(dāng)于算子序列的一致收斂),記為 . 若對(duì)每個(gè) , 均有 ,則稱 弱*收斂到 (相當(dāng)于算子序列的強(qiáng)收斂),記為 .,4.2.4. 算子乘法,定義 4.2.8 設(shè) , 與 為同一數(shù)域 上的線性賦范空間, ,則稱 的算子 為 與 的乘積. 特別,若 ,稱 為 左乘 , 或 右乘 . 顯然, ,但一般 . 若 ,則稱

12、 與 可交換.,且 . 若 ,則對(duì) ,可歸納定義 ,且易驗(yàn)證 . 若記 ,則可考慮算子多項(xiàng)式 ,其中 為常數(shù).易證, , 且有 .,4.3 連續(xù)線性泛函的表示及存在性,本節(jié)將研究在某些具體空間中,線性連續(xù)泛函的一般形式,即所謂線性連續(xù)泛函的表示,并回答連續(xù)線性泛函的存在性問(wèn)題.,4.3.1. 幾個(gè)空間上連續(xù)線性泛函的一般形式,(1) 維Euclid空間 首先,對(duì)每個(gè)給定的 ,若定義 , , 則 為連續(xù)線性泛函. 線性顯然,由Holder不等式 故 有界,且 .,定理4.3.1 設(shè) 為 上的一個(gè)線性泛函,則存在唯一的 ,使對(duì) ,有 ,且 .,定義 4.3.1 設(shè) 與 為同一數(shù)域 上的兩個(gè)線性賦范

13、空間,若存在 的等距線性映射,則稱 與 保范線性同構(gòu),簡(jiǎn)稱保范同構(gòu). 此時(shí) 稱為一個(gè)保范線性算子,而映射稱為保范線性映射.,定義 4.3.2 設(shè) 是一個(gè)線性賦范空間,若在保范同構(gòu)同一化的意義下, ,則稱 為自共軛的. 由定理 4.3.1知, 是自共軛的.此外,易知自共軛空間一定是Banach空間.,(2) 空間 首先,對(duì) ( 為 的對(duì)偶數(shù)),定義 易驗(yàn)證: 是 是連續(xù)線性泛函,且由Holder不等式,可知 .,定理 4.3.2 設(shè) 為 上的連續(xù)線性泛函,則必存在唯一的 ( 為 的共軛數(shù)),使對(duì) ,有 ,且 . 關(guān)于定理 4.3.2的說(shuō)明, .特別, 是自共軛的.此外可以證明, ,但 .,(3)

14、 空間 定理 4.3.3 設(shè) 為 上的一個(gè)連續(xù)線性泛函,則必存在唯一的 ( 為 的對(duì)偶數(shù)),使對(duì) ,有 ,且 . 關(guān)于定理 4.3.3的說(shuō)明, ,特別, 是自共軛的,但 .,(4) 空間 先給出有界變差函數(shù)及Riemann-Stieltjes積分的概念. 定義4.3.3 設(shè) 為閉區(qū)間 上的實(shí)函數(shù),若存在常數(shù) ,使對(duì) 的任一 型分割 ,都有 ,則稱 為 上的有界變差函數(shù).,記 為 上有界變差函數(shù)的全體,易證: 1 上單調(diào)函數(shù)一定是有界變差函數(shù). 2若 在 上滿足Lipschits條件,即 ,使對(duì) ,有 ,則 必是有界變差函數(shù). 3有界變差函數(shù)必是有界的.,不難證明, 按照函數(shù)的通常加法與數(shù)乘構(gòu)成

15、一線性空間.對(duì) ,若令 ,則 按照范數(shù) 成為線性賦范空間.這里 ,稱為 在 上的全變差.易驗(yàn)證 為 上的一個(gè)范數(shù).又令 ,易驗(yàn)證 為 的線性子空間,且對(duì) ,有 為 在 上的全變差.,定義 4.3.4 設(shè) 為 上的兩個(gè)實(shí)函數(shù), 有一分割 ,令 , 任取 ,稱 為 關(guān)于 的Riemann-Stieltjes和,簡(jiǎn)稱R-S和.若 存在,且與分割 及 的選取無(wú)關(guān),則稱該極限值為 關(guān)于 的Riemann-Stieltjes積分,簡(jiǎn)稱R-S積分,記為,可以證明,若 ,則R-S積分 存在. 定理 4.3.4 （F.Riesz定理) 設(shè) 為 上的連續(xù)線性泛函,則必存在唯一的 ,使對(duì) ,有 ,且 .,4.3.

16、2. 連續(xù)線性泛函的存在性,定理 4.3.5 (Hahn-Banach定理) 設(shè) 為線性賦范空間,則 ,必存在 ,使得 , 且 . 該定理說(shuō)明,在任何有非零元的線性賦范空間上,必存在非零的連續(xù)線性泛函.,推論 設(shè) 為線性賦范空間, ,若 ,均有 ,則 . Hahn-Banach定理,逆算子定理,閉圖像定理及共鳴定理并稱為泛函分析的四大定理.嚴(yán)格來(lái)說(shuō),定理4.3.5并不是真正的Hahn-Banach定理,它不過(guò)是Hahn-Banach定理一個(gè)極簡(jiǎn)單的推論.真正的Hahn-Banach定理是所謂的泛函延拓定理.,定理 4.3.6（Haha-Banach）設(shè) 為線性賦范空間, 為 的線性子空間,則對(duì)

17、 上的任一連續(xù)線性泛函 , 必存在 上的連續(xù)線性泛函 ,滿足: () 當(dāng) 時(shí), ; () .,4.4 共軛空間和共軛算子,本節(jié)進(jìn)一步討論線性賦范空間與其共軛空間之間的關(guān)系,并建立共軛算子的概念.,4.4.1. 共軛空間與二次共軛空間,設(shè) 為賦范空間, 為其共軛空間,稱 為 的二次共軛空間,類似地可定義高次共軛空間: 若 ,則稱 為自反的,eg: .自反的空間一定是Banach空間. ( 是Banach空間, 也是Banach空間).,若 是自反的,則 都是自反的. 1當(dāng) 具有非零元時(shí), 都具有非零元. 2當(dāng) 時(shí), 是自反的; 是共軛的. 不完備的空間(非Banach空間)一定不是自反的;完備的

18、但非自反的有 空間.,定理 4.4.1 設(shè) 為賦范空間,則 ,即 與 的一個(gè)線性子空間保范同構(gòu). 定義 4.4.1 設(shè) 為線性賦范空間, ,若對(duì) ,均有 ,則稱 弱收斂到 ,記為 . 顯然 .,4.4.2. 共軛算子,定義 4.4.2 設(shè) 與 為兩個(gè)線性賦范空間, , 若 ,使 及 ,均有 ,則稱 為 的共軛算子或伴隨算子.,定理 4.4.2 設(shè) 與 為兩個(gè)線性賦范空間,則有: 1 對(duì)每個(gè) ,存在唯一的共軛算子 . 2 映射 是 到 的保范線性映射. 3 .,例 4.4.1 設(shè) ,對(duì) ,令 則易知 ,求 .,4.5 逆算子定理、閉圖像定理和共鳴定理,本節(jié)介紹算子理論的三條基本定理,它們與Hah

19、n-Banach定理一起奠定了泛函分析的理論基礎(chǔ),并有著廣泛的應(yīng)用范圍.,4.5.1. 逆算子定理,定義 4.5.1 設(shè) 與 為同一數(shù)域 上的兩個(gè)賦范空間,若 是11對(duì)應(yīng),則稱 為可逆算子,記其逆為 . 1 . 2若 線性,則 也線性. 3 . 4設(shè) ,若 ,使 , ,則 可逆,且 .,定義 4.5.2 設(shè) 與 為同一數(shù)域 上的兩個(gè)賦范空間, 是線性算子,若 是可逆算子,且 有界,則 為正則算子.,定理4.5.1（Banach逆算子定理）設(shè) 與 為兩個(gè)Banach空間,若 ,且 是 的11對(duì)應(yīng), 則 有界,即 為正則算子.,引理 1 設(shè) 為線性賦范空間 的稠密子集,則對(duì) , ,有 ,其中 ,且

20、 . 引理 2 在定理4.5.1的條件下,令 ,則存在一個(gè) 在 的某個(gè)閉球中稠. 引理 3 在定理4.5.1的條件下,必存在一個(gè) ( 的定義如引理2)在 中稠密.,例 4.5.1 設(shè)線性空間 關(guān)于范數(shù) 與 均成為Banach空間,若 比 更強(qiáng),則 與 等價(jià).,4.5.2. 閉圖象定理,設(shè) 和 為同一數(shù)域 上的兩個(gè)線性賦范空間,令 在 中定義加法與數(shù)乘: 在上述加法與數(shù)乘下成為一個(gè)線性空間.又在 中定義: 或 ,則 成為一個(gè)線性賦范空間,則稱 為 與 的乘積空間,記為 .,定義 4.5.3 設(shè) 與 為同一數(shù)域 上的兩個(gè)線性賦范空間, ,令 ,稱 為算子 的圖象.若 為 的閉集,則稱 為閉算子. 引理1 設(shè) 與 為兩個(gè)線性賦范空間,若 為連續(xù)算子