幾何與代數(shù)課件：lec26-二次型的正定性

1、,幾何與代數(shù),2010年國家級精品課程,教學內(nèi)容和學時分配,第六章 二次型與二次曲面,問題式預習及思考題,思考題：請判斷下面兩命題，正確的給出證明，錯誤的給出反例. 1.實對稱陣相似必相合嗎？ 2.實對稱陣相合必相似嗎?,1. 什么是正定二次型？,2. 正定矩陣有哪些等價命題？,等價關系匯總,相抵,相 似,四種等價關系之間的相互關系,相 合,正交 相似,PTAP,不變量:,秩;正負慣性指數(shù),實對稱陣相合,正負慣性指數(shù)相同,相合的實對稱陣的最簡形:,規(guī)范形相同,實對稱陣相似必相合?,實對稱陣相合必相似?,相似的不變量:,秩; 特征值, 跡, 行列式,實對稱陣相似，特征值同，p,q同，必相合；反之

2、不然.,6.1 二次型,第六章 二次型與二次曲面,推論2. 設n階實對稱矩陣A的秩為r, 正慣性指 數(shù)為p, 則存在可逆陣P, 使,PTAP =,推論3. n階實對稱陣A可逆 p+q = n.,問題：若p = n, 則A有什么性質？,第六章 二次型與二次曲面,六. 正定二次型與正定矩陣,1. 定義:,設實二次型 f(x) = xTAx 滿足對Rn中任何 非零向量x, 有f(x) 0, 則稱之為正定二 次型, 稱A為正定矩陣. 若對Rn中任何非零向量x, 有f(x) 0, 則 稱之為負定二次型, 稱A為負定矩陣.,注1.,正定(負定)矩陣必為實對稱矩陣.,對任何x ,注2.,x xi 0,并不是

3、 xi 0,注3.,f(x) = a11x12 + a22x22 + +annxn2 正定, aii 0, i=1,2,n.,6.1 二次型,第六章 二次型與二次曲面,6.2 慣性定理與正定二次型,定理6.4. 設A為n階實對稱陣, 則下列命題等價: (1) A是正定矩陣; (2) A的正慣性指數(shù)為n; (3) A的特征值均大于零; (4) A與 E 相合; (5) 存在可逆陣P, 使得A = PTP.,例9. 設實對稱矩陣A滿足A23A+2E = O, 證明 A是正定的.,(負定),(q = n),(i 0),(A與E相合),(A = PTP),存在可逆陣P, 使得A = PTP,推論：設A

4、是正定矩陣，則|A| 0, trA 0.,證明: 設為A的特征值, 則23+2=0, = 1或2,因此A的所有可能特征值均大于零.,所以A正定.,第六章 二次型與二次曲面,6.2 慣性定理與正定二次型,例10. 設A是正定的n階實對稱矩陣, 證明A+E的 跡大于n.,證明: 因為A是正定的n階實對稱矩陣,所以A的n個特征值1, , n均大于零.,是 A的特征值 f, f()是 f(A)的特征值,A + E 的特征值為i +1, i=1,n,A + 2E 的特征值為i +2, i=1,n,第六章 二次型與二次曲面,6.2 慣性定理與正定二次型,證明2: 因為A是正定的n階實對稱矩陣,所以A的n個

5、特征值1, , n均大于零.,則Q1(A+E)Q = +E,例10. 設A是正定的n階實對稱矩陣, 證明A+E的 跡大于n.,則Q1(A+2E)Q = +2E,第六章 二次型與二次曲面,6.2 慣性定理與正定二次型,1.,正定二次型f(x) = xTAx 滿足x, 有f(x) 0.,2. 性質,命題3. 同階正定矩陣的和仍為正定矩陣.,命題1. 可逆線性變換不改變二次型的正定性.,x, f(x) = xTAx 0,x=Py, P可逆,y=P1x , g(y)= yT(PTAP)y = xTAx 0,命題2. 相合的實對稱矩陣的正定性也相同.,A,B正定, 則x, xTAx0, xTBx0,(A

6、+B)T=AT+BT=A+B,x, xT(A+B)x= xTAx+xTBx0, A+B正定, A+B實對稱,設A,B正定,6.1 二次型,第六章 二次型與二次曲面,則, 0., a11 =, 0., 0.,6.1 二次型,第六章 二次型與二次曲面,則, a11 0.,第六章 二次型與二次曲面,6.2 慣性定理與正定二次型,定理6.4. n階實對稱矩陣A是正定矩陣 A的各階順序主子式,1 = a11,均大于零.,n = |A|,故A不是正定的.,實對稱陣A負定各階順序主子式負正相間,A也不是負定的.,1 = 2 0,求參數(shù)t 的范圍,使下列二次型正定.,例12,設ARmn, 證明ATA正定 r(

7、A)=n.,例13,例14. 假設A, B都是n階實對稱矩陣, A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 證明: A+B的特征值均大于a+b.,a = d = 0, b = c.,a 1.,= 4,1,=1,a+0,a+10,a = b = 0, c = 1.,求參數(shù)t 的范圍,使下列二次型正定.,解：二次型的矩陣為,例12,A正定 A的各階順序主子式 i 0,即,當 -2 t 1 時A正定.,設ARmn, 證明ATA正定 r(A)=n.,證,n = r(ATA) r(A) n, r(A)=n.,由(ATA)T=ATA知ATA是n階實對稱陣,由r(A)=n知,齊次方程組 Ax= 只有零解.,

8、所以實二次型xTATAx正定, 故ATA正定.,若ATA正定,則 |ATA| 0,例13,而且,例14. 假設A, B都是n階實對稱矩陣, A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 證明: A+B的特征值均大于a+b.,證明: A是n階實對稱陣,于是 1a,na( 0)為 AaE 的特征值,則存在n階正交陣Q使得,Q1AQ = =diag(1, , n),特征值ia, i=1,n.,所以 AaE 是正定陣.,是A的特征值 f, f()是f(A)的特征值,同理, BbE 是正定陣.,因為同階正定矩陣的和仍為正定矩陣.,所以 A+B(a+b)E 也是正定陣.,其特征值均大于0.,設為 A+B 的任一特征值,則 (a+b)是A+B(a+b)E的特征值., a+b.,第六章 二次型與二次曲面,6.2 慣性定理與正定二次型,1. 正定二次型f(x) = xTAx 滿足x, 有f(x) 0.,2. 性質,同階正定矩陣的和仍為正定矩陣.,可逆線性變換不改變二次型的正定性.,定理6.3 A正定 p=n A的特征值均大于零 A與E相合 存在可逆陣P, 使得A = PTP.,定理6.4. A正定 A的各階順序主子式,均大于零.,解題思想：利用實對稱陣A的正交相似對角化， 將f(A)轉化為對角陣f()進行求解或證明。,|A+E| = |+E|=(1+1)(n+1),作業(yè)、問題式預習及思考