數(shù)學(xué)物理方法課件：14_2 分離變量法－1維熱傳導(dǎo)

1、分離變量法,將解表示為 時(shí)間函數(shù)X(x)空間函數(shù)T(t) 導(dǎo)出時(shí)間函數(shù)和空間函數(shù)控制方程。 逐個(gè)求解X(x)和T(t)，每一個(gè)記為Xn(x)Tn(t),必須是線性問題，疊加原理才成立；,基本步驟： 變量分離，分別導(dǎo)出初始值問題，固有值問題； 求解固有值問題，確定邊值問題的固有值和固有函數(shù)； 根據(jù)固有值，求解初始值問題，含未知系數(shù)； 解的疊加，根據(jù)偏微分方程的初始條件確定未知系數(shù)。,分離變量法：均勻桿的熱傳導(dǎo)問題,問題設(shè)有一均勻細(xì)桿，長為l，兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為x=0和x=l，端點(diǎn)處的溫度保持為零度，已知桿上初始溫度分布為 ，求桿上的溫度變化規(guī)律。,定解問題,假設(shè)：(1)桿圓周表面絕熱，(2)等截面

2、處溫度相等，那么，此問題為一維熱傳導(dǎo)問題,兩端溫度不變的桿的熱傳導(dǎo)問題,采用分離變量法求解：,邊界條件,固有值問題：和兩端固定弦振動(dòng)方程的固有值問題相同,兩端溫度不變的桿的熱傳導(dǎo)問題,該邊值問題的固有值為： 固有函數(shù)為：,初始值問題，關(guān)于T(t)的方程,兩端溫度不變的桿的熱傳導(dǎo)問題,則定解問題的解為 由初始條件得,算例：原始溫度分布,x,T,u(x, 0),算例：系數(shù)cn隨n的變化,n,log10(cn),算例：溫度變化圖n=30,x,u,t=0,t=10s,t=20s,t=30s,t=40s,算例：中點(diǎn)的溫度變化,t,u(0.5l, t),桿的熱傳導(dǎo)問題：改變定解條件,改變邊界條件：一個(gè)或兩

3、個(gè)為第二類或第三類邊界條件； 這種定解問題的求解方法與上述問題相同； 一般地，固有值與固有函數(shù)會發(fā)生改變。,假設(shè)：桿表面絕熱；等截面處溫度相等。,絕熱,絕熱,兩端絕熱桿的熱傳導(dǎo)問題,問題下面考慮桿的兩端 處絕熱，初始溫度分布為 ，并且無熱源的有限長桿的熱傳導(dǎo)問題，定解問題為,兩端絕熱桿的熱傳導(dǎo)問題,使用分離變量法求解：,兩端絕熱桿的熱傳導(dǎo)問題,（1）當(dāng) 時(shí)，方程沒有非平凡解。 （2）當(dāng) 時(shí)，方程有解 （常數(shù)），是特征值嗎？ （3）當(dāng) 時(shí)，方程有如下形式的通解：,兩端絕熱桿的熱傳導(dǎo)問題：解,該邊值問題的固有值為： 固有函數(shù)為：,時(shí)間函數(shù)方程,兩端絕熱桿的熱傳導(dǎo)問題,則定解問題的解為 由初始條件得,兩端絕熱桿：算例,x,T,x,u,t=0,