數(shù)字電路課程課件：第2章邏輯代數(shù)基礎

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎,2.1 概述,1、二值邏輯,不同的數(shù)碼不僅可以表示數(shù)量的不同大小，而且還能用來表示不同的事物。,在數(shù)字邏輯電路中，用1位二進制數(shù)碼的0和1表示一個事物的兩種不同邏輯狀態(tài)。,例如:可以用1和0分別表示一件事情的是和非、真和偽、有和無、好和壞，或者表示電路的通和斷、電燈的亮和暗、門的開和關等。,這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關系稱為二值邏輯。,二、邏輯運算,所謂“邏輯”，在這里是指事物間的因果關系。 當兩個二進制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時， 它們之間可以按照指定的某種因果關系進行推理運算。 這種運算稱為邏輯運算。,三、布爾代數(shù),1849年英國數(shù)學家喬治布爾（George Boo

2、le）首先提出了進行邏輯運算的數(shù)學方法 布爾代數(shù)。 后來，由于布爾代數(shù)被廣泛用于開關電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設計中，所以也將布爾代數(shù)稱為開關代數(shù)或邏輯代數(shù)。 邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。 邏輯運算表示的是邏輯變量以及常量之間邏輯狀態(tài)的推理運算，而不是數(shù)量之間的運算 。,2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運算,條件：開關閉合 結果：燈亮,1、邏輯與（AND）,定義：只有決定事物結果的全部條件同時具備時，結果才發(fā)生。 這種因果關系叫邏輯與，或叫邏輯相乘。,1 表示開關閉合，燈亮。 0 表示開關斷開，燈不亮。,真值表,與邏輯表達式 Y = AB,條件：開關閉合 結果：燈亮,2、邏輯

3、或（OR）,定義：決定事物結果的諸條件中只要有任何一個條件 滿足， 結果就會發(fā)生， 這種邏輯關系叫邏輯或，也叫邏輯相加。,真值表,1 表示開關閉合，燈亮。 0 表示開關斷開，燈不亮。,或邏輯表達式 Y = A+B,條件：開關閉合 結果：燈亮,3、邏輯非（NOT）,定義：只要條件具備了，結果就不會發(fā)生； 而條件不具備時，結果一定發(fā)生， 這種邏輯關系叫邏輯非，也叫邏輯求反。,真值表,1 表示開關閉合，燈亮。 0 表示開關斷開，燈不亮。,圖形符號,幾種常用的復合邏輯運算,1.與非(NAND),與非邏輯表達式：,圖形符號：,或非邏輯表達式：,圖形符號：,2. 或非(NOR),3.與或非(AND-NOR

4、),圖形符號：,與或非邏輯表達式：,與或非邏輯真值表,4.異或(XOR),兩輸入變量A、B不同時，輸出Y為 1。 而A、B相同時，輸出Y為 0。,異或邏輯表達式：,圖形符號：,5. 同或(NXOR),兩輸入變量A、B相同時，輸出Y為 1。 而A、B不同時，輸出Y為 0。,或Y=AB,同或邏輯表達式：,圖形符號：,同或、異或互為反邏輯： A B=(A B) A B=(A B) ,思考： A 0= A 1= A A = A A= A 0= A 1= A A = A A= N位二進制中1的個數(shù)為奇數(shù)時，每位異或的結果為？ N位二進制中1的個數(shù)為偶數(shù)時，每位異或的結果為？,2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和

5、常用公式,2.3.1 基本公式 2.3.2 常用公式,2.3.1 基本公式,結合律,交換律,分配律,德摩根定理 (反演律),還原律,證明方法：推演 真值表,公式（17）的證明（公式推演法）：,公式（17）的證明（真值表法）：,2.3.2 若干常用公式,2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.1 代入定理 -在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。,2.4.1 代入定理,應用舉例： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D),2.4.1 代入定理,應用舉例： 式 （8）,2.

6、4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.2 反演定理,對任一邏輯式 Y，若將其中所有的乘換成加， 加換成乘，0 換成 1 ，1 換成 0， 原變量換成反變量，反變量換成原變量， 則得到的結果就是 Y 的反。,注意： 遵守“括號、乘、加”的運算優(yōu)先次序。 （即保持運算順序與原式相同） 不屬于單個變量上的反號應保留不變。,若,則,若,則,2.4.3 對偶定理,對偶式：對于任何一個邏輯式 Y， 若將其中的 “” 換成 “+”， “+” 換成 “”，0 換成 1，1 換成 0， 則得到一個新的邏輯式 YD， 則 YD 叫做 Y 的對偶式。,若,則,若,則,對偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。,根據(jù)

7、對偶定理，則,2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法,2.5.1 邏輯函數(shù) 若以邏輯變量為輸入，運算結果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關系。 表示為： Y=F(A,B,C,) 任何一個具體的因果關系都可以用一個邏輯函數(shù)描述。 注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。,例: 三人表決電路： 三人A、B、C當中有兩人或兩人以上同意時，表決結果Y為通過，否則表決結果Y為沒通過。表決結果Y的狀態(tài)（通過與沒通過）是三人A、B、C狀態(tài)（同意與不同意）的函數(shù)。,邏輯函數(shù)為：,2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法,真值表 邏輯式 邏輯圖 波形圖 卡諾圖 計算機軟件中的描

8、述方式 各種表示方法之間可以相互轉換,1.邏輯真值表,將輸入變量所有的取值下對應的輸出值 找出來列成表格，即可得到邏輯真值表。,以三人表決電路為例， 輸入變量A、B、C為1表示同意，0表示不同意， 輸出（函數(shù)）Y為1表示通過，0表示沒通過。,三人表決電路真值表,2.邏輯函數(shù)式,把輸入與輸出之間的邏輯關系 寫成與、或、非等運算的組合式， 就得到了邏輯函數(shù)式。 根據(jù)電路功能的要求和與、或的邏輯定義， 三人表決電路的邏輯函數(shù)式為：,3.邏輯圖,將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關系，用圖形符號表示出來，就可畫出表示函數(shù)關系的邏輯圖。,將輸入變量所有取值可能與對應輸出按時間順序排列起來，就得到表

9、示該邏輯函數(shù)的波形圖。,4.波形圖,舉重裁判電路的波形圖,卡諾圖 EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL,5.各種表示方法間的互相轉換,從真值表寫出邏輯函數(shù)式,一般方法： （1）找出真值表中使邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合。 （2）每組輸入變量取值的組合對應一個乘積項， 其中取值為 1 的寫入原變量， 取值為 0 的寫入反變量。 （3）將這些乘積項相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。,例 ：已知一個奇偶判斷函數(shù)的真值表如圖所示，試寫出它

10、的邏輯函數(shù)式。,這三種取值的任何一種都使Y=1, 所以 Y= ?,從邏輯函數(shù)式列出真值表,將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式, 求出函數(shù)值，列成表。,例：已知邏輯函數(shù)表達式：,求它對應的真值表。,解：,從邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖,用圖形符號代替邏輯函數(shù)式中的運算符號。,例 ：已知邏輯函數(shù)式為,，畫出對應的邏輯圖。,從邏輯圖寫出邏輯函數(shù)式,從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯式，即可得到對應的邏輯式。,從波形圖寫出真值表,從真值表畫出波形圖,真值表 邏輯式 邏輯圖,2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標準形式 最小項之和 最大項之積,一、最小項和最大項,1. 最小項,定義：在n變量邏輯函數(shù)中

11、，若m為包含n個因子的乘積項，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。,最小項舉例：,兩變量A, B的最小項 三變量A,B,C的最小項,n變量的最小項應為2n個。 輸入變量的每一組取值，都使一個對應的最小項的值等于1。,為方便，可把每個最小項用一個號碼表示，這個號碼為使其為1的取值對應的十進制數(shù)。如A=1、B=0、C=1時，ABC=1。因此本最小項的號碼為5，表示為m5,m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7,0 1 2 3 4 5 6 7,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,三變量最小

12、項的編號表,最小項的性質,在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。 全體最小項之和為1 。 任何兩個最小項之積為0 。 兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。 -相鄰：僅一個變量不同的最小項 如,2. 最大項,n變量的最大項應為2n個。 輸入變量的每一組取值，都使一個對應的最大項的值等于0。 使某個最大項為0的這組取值對應的十進制數(shù)作為該最大項的編號。,定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量之和，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M 為該組變量的最大項。,如：兩變量A, B的最大項,三變量最大項的編號表,最大項的性質,在輸入變量任一取值

13、下，有且僅有一個最大項的值為0； 全體最大項之積為0； 任何兩個最大項之和為1； 只有一個變量不同的最大項的乘積等于各相同變量之和。,最大項和最小項之間的關系,例：已知最小項,二、邏輯函數(shù)的最小項之和形式：,全部由最小項相加而構成的與-或表達式（標準與或式）,利用,可以把任何一個邏輯函數(shù)化為最小項之和的標準形式。,例：,例 ：將邏輯函數(shù),展開為最小項之和的形式。,三、邏輯函數(shù)的最大項之積形式（標準或與式）,方法1：先用A+BC=(A+B)(A+C)變成或與式 再用 將缺少的變量補齊,例：將邏輯函數(shù),展開成最大項之積的形式。,方法2：,若給定邏輯函數(shù)最小項之和表達式：,可得其反函數(shù)最小項之和表達

14、式：,則該邏輯函數(shù)的最大項之積形式為：,例：將邏輯函數(shù),展開成最大項之積的形式。,2.5.4 邏輯函數(shù)形式的變換,同一邏輯函數(shù)可以有不同的表達式；表達式不同，實現(xiàn)電路所選用的器件就不同,例：將邏輯函數(shù),轉化為與非-與非形式,二次取反,以后再介紹如何轉換為與或非形式,或非-或非形式,2.6 邏輯函數(shù)的化簡法,最簡與或式 -包含的乘積項已經最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。,同一邏輯函數(shù)可以有不同的表達式。表達式簡單，使用的元器件就少?；喌哪康模旱玫竭壿嫼瘮?shù)的最簡形式。,2.6.1公式化簡法 反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。以得到函數(shù)式的最簡形式。,

15、一、并項法,利用公式,二、吸收法,利用公式,3.消項法,利用公式,四、消因子法,利用公式,五、配項法,根據(jù)公式,可在邏輯函數(shù)式中重復寫入某一項。,根據(jù)公式,可在邏輯函數(shù)式中的某一項乘,然后拆成兩項分別與其他項合并。,綜合法,另一方法：,2.6.2 卡諾圖化簡法,一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法,將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫做n變量的卡諾圖。,實質：將邏輯函數(shù)的最小項之和形式以圖形的方式表示出來，也可看為圖形化的真值表。,表示最小項的卡諾圖,二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖,4變量的卡諾圖,五變量的卡諾圖,因為卡諾圖的每個小

16、方格對應一個最小項，而任一邏輯函數(shù)都可變換成最小項表達式。所以，可以用n變量的卡諾圖表示n變量的任一邏輯函數(shù)。,1. 將函數(shù)表示為最小項之和的形式 2. 在卡諾圖上與這些最小項對應的位置上添入1，其余地方添0。,方法：,任何一個邏輯函數(shù)，都等于它的卡諾圖中添入 1 的那些最小項之和。,例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù),解：先將邏輯函數(shù)化為最小項之和的形式，,畫出四變量最小項的卡諾圖。,在對應函數(shù)式中各最小項的位置上填入1，,其余位置上填入0。,再根據(jù),先將邏輯式變換成最小項之和的形式再填卡諾圖的方法有時比較繁瑣、易出錯，所以經常采用觀察法填寫卡諾圖。,例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù),通過觀察函數(shù)發(fā)現(xiàn)當A=0

17、、B=1、C=0、D=1時函數(shù)為1， A=1、B=0、D=0時函數(shù)為1，A=1、C=1、D=1函數(shù)為1。,例：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，寫出該函數(shù)的邏輯式。,解：函數(shù)Y等于卡諾圖中填入1的那些最小項之和， 所以可得：,已知邏輯函數(shù)的卡諾圖還可以寫出邏輯式,二、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),依據(jù)：具有相鄰性的最小項可以合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。即邏輯相鄰在卡諾圖中位置相鄰。,1、合并最小項的原則： 兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一個有0、1變化的變量 四個相鄰最小項可合并為一項，消去二個有0、1變化的變量 八個相鄰最小項可合并為一項，消去三個有0、1變化的

18、變量,合并兩個相鄰最小項的情況：,合并四個相鄰最小項的情況：,B,合并八個相鄰最小項的情況：,2、卡諾圖化簡的步驟：,畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。 用圈圈的方法合并相鄰的最小項。 將化簡后的乘積項相加得到函數(shù)的最簡表達式 圈圈的原則： 所有1均被圈到-包含所有的最小項 圈盡可能大-每個乘積項包含的因子最少 圈盡可能少-所有的乘積項數(shù)目最少 每個圈應至少包含一個新的1格，否則這個圈是多余的 圈圈的順序： 先圈只有一種圈法的1格,例：將對應下面卡諾圖的函數(shù)化為最簡與或式,不最簡,例：將對應下面卡諾圖的函數(shù)化為最簡與或式,有多余項,A,BC,例：,例：,A,BC,例：,A,BC,例：,化 簡 結 果 不 唯 一,例：,AB,CD,例：,AB,CD,當需要將函數(shù)化為最簡的與或非形式和或非-或非形式時，采用圈0的方法,例：將函數(shù),化為最簡的與或非形式和或非-或非形式,2.7具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關項,約束項 任意項 邏輯函數(shù)中的無關項：約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關項。,在邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值是不會出現(xiàn)的，在這些取值下為1的最小項稱為約束項,在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或為0不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項稱為任意項,在真值表和卡諾圖中用表示