光纖光學教學課件第三講

1、08.10.2020,第二章 光纖光學的基本方程,08.10.2020,光纖光學的研究方法,幾何光學方法：,光纖芯徑遠大于光波波長0時, 可以近似認為00，從而將光波近似看成由一根一根光線所構成, 因此可采用幾何光學方法來分析光線的入射、傳播(軌跡) 以及時延(色散) 和光強分布等特性，這種分析方法即為光線理論。,優(yōu)點：簡單直觀，適合于分析芯徑較粗的多模光纖。 缺點：不能解釋諸如模式分布、包層模、模式耦合以及光場分布等現象，分析單模光纖時結果存在很大的誤差。,08.10.2020,波動光學方法：,是一種嚴格的分析方法，從光波的 本質特性電磁波出發(fā)，通過求解電磁波所遵從的麥克斯韋方程，導出電磁波

2、的場分布。,優(yōu)點：具有理論上的嚴謹性，未做任何前提近似，因此適用于各種折射率分布的單模和多模光纖。 缺點：分析過程較為復雜。,08.10.2020,光纖光學的研究方法比較,08.10.2020,光線理論與波動理論分析思路,電磁分離 波動方程 wave equation,縱橫分離 波導場方程,時空分離 亥姆赫茲方程 Helmholtz equation,08.10.2020, HUST 2010,2010-3-2,6,補充數學知識,08.10.2020, HUST 2010,2010-3-2,7,補充數學知識,為梯度算符，在直角坐標系與圓柱坐標系中分別為：,08.10.2020,2.1 麥克斯韋

3、方程與亥姆赫茲方程,一、麥克斯韋方程,光纖是一種介質光波導，具有如下特點： 無傳導電流； 無自由電荷； 線性各向同性。,DE BH,ee0n2,08.10.2020,邊界條件：在兩種介質交界面上電磁場矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù),D與B的法向分量連續(xù)：,08.10.2020,電場、磁場關系式,矢量關系式,電場強度E的波動方程式,該方程只與電場強度E有關，與磁場H無關。,8,電磁矢量分離：波動方程,08.10.2020,9, HUST 2010,2010-3-2,矢量波方程,這是電磁波普遍適用的精確方程。 在光纖中，折射率變化非常緩慢，可近似認為 于是上述方程可簡化為標量波方程

4、 Notice：該方程為近似結果，適用于光纖中的一般問題。若要進行精密分析，要用矢量方程。,矢量E(x,y,z,t)和H(x,y,z,t)的每一個分量均滿足該式！,08.10.2020,分離變量: 時空坐標分離,令場分量為： 得到關于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即 亥姆霍茲方程：,前提：光纖傳播單色光波，時間函數為簡諧函數,08.10.2020,2.2 程函方程與射線方程,一、程函方程：光程函數方程,08.10.2020,二、光線方程,由光程函數方程可推得光線方程：,08.10.2020,單位矢量相等：,又有：,08.10.2020,光線方程,08.10.2020,光線方程的物

5、理意義：,當光線與z 軸夾角很小時，有：,物理意義： 將光線軌跡(由r描述)和空間折射率分布(n)聯(lián)系起來; 由光線方程可以直接求出光線軌跡表達式; dr/dS是光線切向斜率, 對于均勻波導，n為常數,光線以直 線形式傳播;對于漸變波導,n是r的函數,則dr/dS為一變量, 這表明光線將發(fā)生彎曲。而且可以證明,光線總是向折射率 高的區(qū)域彎曲。,08.10.2020,由光線方程可以證明下列關系式成立：,光線總是向折射率高的區(qū)域彎曲,課后作業(yè)題：證明上式。,08.10.2020,典型光線傳播軌跡,08.10.2020,麥克斯韋方程,場的波動方程,亥姆霍茲方程,波導場方程,電、磁分離,時、空分離,縱

6、、橫分離,直角坐標系 or 圓柱坐標系下研究,任意場分量都滿足. 選哪個場分量 研究呢？ 能方便求出其他場分量！,2.3 波導場方程,08.10.2020,波動理論,亥姆霍茲方程： 特征：拉普拉斯算符作用在場分量函數上的結果等于該函數與一常數-k2的乘積。 這類方程在數學上稱為本征方程，常數k稱為本征值，該函數稱為本征函數。 波動理論：對于給定的邊界條件求本征方程的解 本征解及對應本征值,08.10.2020,光纖波導光波傳輸特征： 在縱向（軸向）以“行波”形式存在，橫向以 “駐波”形式存在。場分布沿軸向只有相位變化， 沒有幅度變化。 進行空間坐標縱、橫分離，令 代入亥姆霍茲方程得到,空間坐標

7、縱橫分離：波導場方程,08.10.2020,由此得到電場E和磁場H的場分布滿足的 波導場方程： 數學物理意義： 是波動光學方法的最基本方程。它是一個典型的 本征方程,其本征值為或。當給定波導的邊界條件時,求解波導場方程可得本征解及相應的本征值。通常將本征解定義為“模式”.,08.10.2020,模式及其基本性質,每一個模式對應于沿光波導軸向傳播的一種電磁波; 每一個模式對應于某一本征值并滿足全部邊界條件; 模式具有確定的相速群速和橫場分布. 模式是波導結構的固有電磁共振屬性的表征。給定 的波導中能夠存在的模式及其性質是已確定了的,外 界激勵源只能激勵起光波導中允許存在的模式而不 會改變模式的固

8、有性質。(和及邊界條件均由光纖本身決定，與外界激勵源無關),08.10.2020,橫模 光波在傳輸過程中，在光束橫截面上將形成具有各種不同形式的穩(wěn)定分布，這種具有穩(wěn)定光強分布的電磁波，稱為橫模。橫模（表現在光斑形狀）的分布是和光波傳輸區(qū)域的橫向（xy面）結構相關的； 光纖中的模式：,光纖中的模式-橫模,08.10.2020,縱 模,相長干涉 條件：2 nLK 縱模是與激光腔長度相關的，所以叫做“縱模”，縱模是指頻率而言的。,08.10.2020,模式的場分量,模式場分布由六個場分量唯一決定： 直角坐標系：Ex Ey Ez Hx Hy Hz 圓柱坐標系：Er Ef Ez Hr Hf Hz Ez

9、和 Hz 總是獨立滿足波導場方程 場的橫向分量可由縱向分量來表示6個場分量可簡化為2個縱向場分量的求解。,說明：光纖為圓柱型波導，通常在圓柱坐標系下研究更為方便。此時其兩個橫向分量相互交疊，沒有如此簡單的分量方程，只有縱向分量滿足獨立的波導場方程。,08.10.2020,直角坐標系縱橫關系式,08.10.2020,圓柱坐標系縱橫關系式,08.10.2020,30,橫縱關系式,已知場的橫向向分量，可知場的縱向分量,直角坐標系下,圓柱坐標系下,08.10.2020,縱橫關系式推導,對于單色波，任一場分量 由麥克斯韋方程組可得： 直角坐標系下： 柱坐標系下：,08.10.2020,直角坐標系各分量方

10、程,08.10.2020,1、模場分布,即波導場方程滿足邊界條件的本征解 直角坐標系：(Ex、Ey、Ez) (Hx、Hy、Hz) 圓柱坐標系：(Er、E、Ez) (Hr、H、Hz),2.4 模式及其基本性質,08.10.2020,34,2、模式命名,根據場的縱向分量Ez和Hz的存在與否,可將模式命名為: (1)橫電磁模(TEM): EzHz0; (2)橫電模(TE): Ez0, Hz0; (3)橫磁模(TM): Ez0, Hz0; (4)混雜模(HE或EH):Ez0, Hz0。 光纖中存在的模式多數為HE(EH)模,有時也出現TE(TM)模。,08.10.2020,3、縱向傳播常數（b）,b實

11、際上是等相位面沿z軸的變化率； b數值分立，對應一組導模； 不同的導模對應于同一個b數值，我們稱這些導模是簡并的；,z方向單位長度位相變化率; 波矢量k的z-分量,縱向傳播常數（b）：即與本征解相對應的本征值,08.10.2020,3、歸一化頻率（V）,給定光纖中,允許存在的導模由其結構參數所限定。光纖的結構參數可由其歸一化頻率V表征: V值越大，允許存在的導模數就越多。,08.10.2020,4、橫向傳播常數（U、W）,橫向分量：,（對應于纖芯）,（對應于包層）,定義橫向傳播常數：,滿足：,場歸一化傳播常數：,芯區(qū)：c1為實數; 包層：c2為純虛數,08.10.2020,橫向傳播常數（U、W）的特性,08.10.2020,5、相速度與群速度,相速度：場的等相位面沿z軸的傳播速度,群速度：光脈沖或波包中心或光能量沿z軸的傳播速度,在光纖中,Vp大于光速c/n1而Vg小于光速c/n1,并有如下關系式: Vp c/(n1cosz ) c /n1 Vg(c/ n1)cosz c /n1 其中z是波矢K與z軸夾角。僅當z0時才有VpVgc/n1。 不同的z角相應于不同的導模,對應于不同的相速Vp和群速Vg。,08.10.2020,6、色散與群延時,群延時：光脈沖行經單位長度距離所需時間。,色散：不同模式之間會產生不同的群延時，這種群延時引起