.《線段的垂直平分線》典型例題

1、典型例題例1如圖，已知：在中，BD平分交AC于D.求證：D在AB的垂直平分線上. 分析：根據(jù)線段垂直平分線的逆定理，欲證D在AB的垂直平分線上，只需證明即可. 證明：，（已知）， （的兩個(gè)銳角互余）又BD平分（已知） . （等角對(duì)等邊）D在AB的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.例2如圖，已知：在中，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于F。求證：。分析：由于，可得，又因?yàn)镋F垂直平分AB，連結(jié)AF，可得. 要證，只需證，即證就可以了. 證明：連結(jié)AF，EF垂直平分AB（已知）（線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩端點(diǎn)的距離相等）（等邊對(duì)等角）（已知）， （等

2、邊對(duì)等角）又（已知），（三角形內(nèi)角和定理） （直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）說(shuō)明：線段的垂直平分線的定理與逆定理都由三角形的全等證得，初學(xué)者往往不習(xí)慣直接使用絕無(wú)僅有垂直平分線的定理與逆定理，容易舍近求遠(yuǎn)，由三角形全等來(lái)證題. 例3如圖，已知：AD平分，EF垂直平分AD，交BC延長(zhǎng)線于F，連結(jié)AF。求證：。分析：與不在同一個(gè)三角形中，又，所在的兩個(gè)三角形不全等，所以欲證，不能利用等腰三角形或全等三角形的性質(zhì). 那么注意到EF垂直平分AD，可得，因此，又因?yàn)椋?，所以可證明. 證明：EF垂直平分AD（已知），（線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等）. （等邊對(duì)等角）（三

3、角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），又（角平分線定義），說(shuō)明：運(yùn)用線段的垂直平分線的定理或逆定理，能使問(wèn)題簡(jiǎn)化，如本例題中，EF垂直平分AD，可以直接有結(jié)論，不必再去證明兩個(gè)三角形全等. 例4如圖，已知直線和點(diǎn)A，點(diǎn)B，在直線上求作一點(diǎn)P，使. 分析：假設(shè)P點(diǎn)已經(jīng)作出，則由，那么根據(jù)“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”可知，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上. 而點(diǎn)P又在直線上，則點(diǎn)P應(yīng)是AB的垂直平分線與垂線的交點(diǎn)。作法：1連結(jié)AB. 2作線段AB的垂直平分線，交直線于點(diǎn)P. 則P即為所求的點(diǎn). 說(shuō)明：在求作一個(gè)點(diǎn)時(shí)，要考慮該點(diǎn)具備什么樣的特點(diǎn)，如它到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，