2009年江西高考數(shù)學文科試卷帶詳解

1、 2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）文科數(shù)學 第卷一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1下列命題是真命題的為 ( ) A若,則 B若,則 C若,則 D若,則 【測量目標】真假命題的判斷.【考查方式】簡單的邏輯推理，若條件推導結(jié)論成立則命題正確.【參考答案】A【試題解析】由得,而由得,由,不一定有意義,而得不到 故選A. 2函數(shù)的定義域為 （ ）A BCD【測量目標】復合函數(shù)的定義域.【考查方式】根據(jù)復合函數(shù)分母大于0，根號內(nèi)值大于等于0求出定義域.【參考答案】D【試題解析】由得或,故選D. 350 名學生參加甲、乙兩

2、項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學生有30名，參加乙項的學生有25名，則僅參加了一項活動的學生人數(shù)為 （ ）A50 B45 C40 D35【測量目標】隨機事件與概率.【考查方式】根據(jù)（總體兩項都參加的學生人數(shù)=只參加一項學生人數(shù)）得到結(jié)果.【參考答案】B【試題解析】 僅參加了一項活動的學生人數(shù)=50(30+2550)=45, 故選B.4函數(shù)的最小正周期為 （ ）A B C D 【測量目標】三角函數(shù)的恒等變換與周期性.【考查方式】利用三角恒等變換求出三角函數(shù)最簡式，根據(jù)最簡式求出最小正周期.【參考答案】A【試題解析】由可得最小正周期為,故選A.5已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當

3、時，則的值為 （ ）A B C D【測量目標】函數(shù)奇偶性的綜合運用.【考查方式】根據(jù)給出的函數(shù)關(guān)系，利用偶函數(shù)的性質(zhì)進行求解.【參考答案】C【試題解析】,故選C.6若能被整除，則的值可能為 （ ） A B C D【測量目標】二項式定理.【考查方式】把二項式展開式化為二項式，然后把選項中的值代入逐個排除得到答案.【參考答案】C【試題解析】,當時,能被7整除, 故選C. 7.設(shè)和為雙曲線()的兩個焦點, 若，是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為 （ ）A B C D3【測量目標】雙曲線的簡單幾何性質(zhì).【考查方式】根據(jù)上頂點、原點、或構(gòu)成的三角形內(nèi)角求出離心率.【參考答案】B【試題解析】由有,則

4、,故選B.8公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項, ,則等于 （ ）A. 18 B. 24 C. 60 D. 90【測量目標】等差數(shù)列的通項、等比數(shù)列的性質(zhì).【考查方式】根據(jù)等差數(shù)列通項將等比數(shù)列轉(zhuǎn)化求出通項公式，進而求出結(jié)果.【參考答案】C 【試題解析】由得得 （步驟1）再由得則 （步驟2）所以.故選C （步驟3）9如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（ ）A. B. 截面 C. D. 異面直線與所成的角為【測量目標】直線與直線之間、直線與平面之間的位置關(guān)系.【考查方式】根據(jù)給出的空間幾何體判斷線線、線面之間的位置關(guān)系.【參考答案】C 【試題解析】由，可得，故A

5、正確 （步驟1）由可得截面，故B正確 （步驟2） ） 異面直線與所成的角等于與所成的角，故D正確 （步驟3）綜上C是錯誤的，故選C. （步驟4） 10甲、乙、丙、丁個足球隊參加比賽，假設(shè)每場比賽各隊取勝的概率相等，現(xiàn)任意將這個隊分成兩個組（每組兩個隊）進行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為 （ ）A B C D【測量目標】排列組合及其應用.【考查方式】利用排列組合計算出分組的總數(shù)、甲乙相遇的情況得到結(jié)果.【參考答案】D【試題解析】所有可能的比賽分組情況共有種，甲乙相遇的分組情況恰好有6種，故選D. 11如圖所示，一質(zhì)點在平面上沿曲線運動，速度大小不變，其在軸上的投影點的運動速度的圖象大致為（

6、 ） A B C D【測量目標】函數(shù)圖象的應用.【考查方式】結(jié)合函數(shù)圖象理解，利用排除法排除不符合圖象變化的選項得到結(jié)果.【參考答案】B【試題解析】由圖可知，當質(zhì)點在兩個封閉曲線上運動時，投影點的速度先由正到0、到負數(shù)，再到0，到正，故A錯誤 （步驟1）質(zhì)點在終點的速度是由大到小接近0，故D錯誤 （步驟2）質(zhì)點在開始時沿直線運動，故投影點的速度為常數(shù)，因此C是錯誤的 （步驟3）故選B （步驟4）12若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于 A或 B或 C或 D或【測量目標】導數(shù)的幾何意義.【考查方式】先根據(jù)直線與曲線相切、已知點坐標求出切線方程，然后根據(jù)相切條件求出.【參考答案】A【試題解析】設(shè)

7、過的直線與相切于點所以切線方程為.（步驟1）即，又在切線上，則或 （步驟2）當時，由與相切可得 （步驟3）當時，由與相切可得，所以選A. 步驟4 二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.請把答案填在答題卡上 13已知向量， ，若 則= 【測量目標】向量的線性運算.【考查方式】給出向量之間的垂直關(guān)系，利用向量垂直的性質(zhì)求出.【參考答案】 【試題解析】因為,.所以.14體積為8的一個正方體，其表面積與球的表面積相等，則球的體積等于 【測量目標】正方體與球的面積、體積公式.【考查方式】先根據(jù)正方體體積求出正方體表面積，根據(jù)正方體、球表面積相等求出球的半徑，然后求出球的體積.【參考答案】【試

8、題解析】設(shè)球的半徑為，依題設(shè)有，則，球的體積為 15若不等式的解集為區(qū)間，且,則 【測量目標】直線與圓的位置關(guān)系.【考查方式】畫出圖形，然后根據(jù)不等式條件求出值.【參考答案】【試題解析】由數(shù)形結(jié)合 半圓在直線之下必須，則直線過點，則 16設(shè)直線系,對于下列四個命題： A存在一個圓與所有直線相交 B存在一個圓與所有直線不相交 C存在一個圓與所有直線相切 D中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號是 （寫出所有真命題的代號）【測量目標】參數(shù)方程、直線與圓的位置關(guān)系.【考查方式】利用點到直線距離判斷直線與圓的位置關(guān)系.【參考答案】ABC 【試題解析】因為所以點到中每條直線的距離 （步驟1

9、）即為圓:的全體切線組成的集合 （步驟2）所以存在圓心在,半徑大于1的圓與中所有直線相交, 也存在圓心在,半徑小于1的圓與中所有直線均不相交, 也存在圓心在,半徑等于1的圓與中所有直線相切,故ABC正確 （步驟3）又因為中的邊能組成兩個大小不同的正三角形,故D錯誤,故命題中正確的序號是ABC （步驟4）三.解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) （1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍.【測量目標】函數(shù)最值問題和零點問題.【考查方式】先求出導函數(shù)，然后把不等式組轉(zhuǎn)化為一邊為0，當0時可求得

10、值； 結(jié)合函數(shù)圖象分類討論求出的范圍.【試題解析】解：(1) . （步驟1） 因為, 即 恒成立. （步驟2） 所以 , 得，即的最大值為. （步驟3） (2) 因為 當時, ;當時, ;當時, 步驟4所以 當時,取極大值 （步驟5） 當時,取極小值 （步驟6）故當 或時, 方程僅有一個實根. 解得 或. （步驟7）18（本小題滿分12分） 某公司擬資助三位大學生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請兩位專家，獨立地對每位大學生的創(chuàng)業(yè)方案進行評審假設(shè)評審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個“支持”，則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個“支持”，則給予5萬元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助求：(

11、1) 該公司的資助總額為零的概率；（2）該公司的資助總額超過15萬元的概率【測量目標】相互獨立事件與概率.【考查方式】根據(jù)總額為0，6次都是不支持求出概率.【試題解析】解：（1）設(shè)表示資助總額為零這個事件，則（2）設(shè)表示資助總額超過15萬元這個事件，則 19（本小題滿分12分）在中，所對的邊分別為，（1）求；（2）若，求,【測量目標】利用正弦定理解決有關(guān)角度問題.【考查方式】利用正弦定理邊之間比值等于正弦比值求出結(jié)果；給出關(guān)于向量的等式，根據(jù)數(shù)量積的公式將其轉(zhuǎn)化為邊與角的關(guān)系式然后求出,【試題解析】解：（1）由 得 （步驟1） 則有 = 得 即. （步驟2）（2） 由 推出 ；而,即得 （步驟

12、3） 則有 解得 （步驟4）20（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點為球心、為直徑的球面交于點（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點到平面的距離 【測量目標】空間立體幾何中線線、線面、面面之間的位置關(guān)系.【考查方式】利用線線垂直得到線面垂直然后得到面面垂直； 利用射影求出所求角正切值，然后求出所求角； 利用法向量和點到面距離公式求出距離.【試題解析】解：（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則. （步驟1）因為平面，則，又 （步驟2）所以平面，則 （步驟3）因此有平面，所以平面平面 （步驟4）（2）設(shè)平面與交于點，因為，所以平面，則 （步驟5）

13、由（1）知，平面，則是在平面上的射影，所以 就是與平面所成的角 （步驟6）且 所求角為. （步驟7）（3）因為是的中點，則點到平面的距離等于點到平面距離的一半，由（1）知，平面于，則就是點到平面距離. （步驟8）因為在中，所以為中點，則點到平面的距離等于. （步驟9）方法二：（1）同方法一； （2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則， ，. （步驟10）設(shè)平面的一個法向量，由可得：(步驟11)令，則，即.設(shè)所求角為，則，所求角的大小為. (步驟12)（3）設(shè)所求距離為，由，得： (步驟13)21（本小題滿分12分）數(shù)列的通項，其前n項和為. (1) 求; (2) 求數(shù)列的前項和.【測量目標】通項公式的基本運算、求和公式的推導、二倍角公式.【考查方式】把所給公式轉(zhuǎn)化為最簡項，然后逐個推導求出； 利用錯位相減法求出.【試題解析】(1) 由于,故 (步驟1) (步驟2)故 () (步驟3)(2) (步驟4)兩式相減得故 (步驟5)22（本小題滿分14分）如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點. （1）求圓的半徑;（2）過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點.證明：直線與圓相切 【測量目標】圓的切線方程、橢圓與三角形內(nèi)切圓的標準方程.【考查方式】利用條件列出方程然后求出半徑