上海海事大學(xué) 概率論 第二章(1,2).ppt

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布,2.1 隨機(jī)變量,例 電話(huà)總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話(huà)次數(shù), 可用一個(gè)變量 X 來(lái)描述：,X = 0, 1, 2, ,例 考慮“測(cè)試燈泡壽命”這一試驗(yàn)，以 X 記燈泡的壽命（以小時(shí)計(jì)）則：,X = t, ( t0 ),例 檢測(cè)一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果 , 也可以用一個(gè)變量來(lái)描述:,設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間, 若,定義,則稱(chēng) 上的單值實(shí)值函數(shù) X ( )為隨機(jī)變量,隨機(jī)變量一般用大寫(xiě)英文字母X, Y , Z , 或小寫(xiě)希臘字母 , , , 表示,此映射具有如下特點(diǎn):,定義域 事件域 ；,隨機(jī)性 隨機(jī)變量 X 的可能取值不止一個(gè), 試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪

2、個(gè)值；,概率特性 X 以一定的概率取某個(gè)值或某些 值 。,引入隨機(jī)變量的意義,有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).,如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話(huà)交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用 X 表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量。, 收到不少于1次呼叫 , 沒(méi)有收到呼叫,可見(jiàn)，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi). 也可以說(shuō)，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣。,隨機(jī)變量分類(lèi),2.2 離散型隨機(jī)變量 及其分布律,定義,若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè), 則稱(chēng) X 為離散型隨機(jī)變量。,一、概念,例有獎(jiǎng)

3、儲(chǔ)蓄，20萬(wàn)戶(hù)為一開(kāi)獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬(wàn)名，獎(jiǎng)金4元?？疾斓锚?jiǎng)金額 X 。,X 的可能取值為：,解：,4000，400，40，4，0 。,.0001,.0006,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,即,或,分布律的性質(zhì),例1 一批產(chǎn)品的次品率為8% ,從中抽取1件 進(jìn)行檢驗(yàn), 令 寫(xiě)出 X 的分布律.,X 的分布律為:,概率分布圖 :,解：,1.兩點(diǎn)分布( 01分布),分布律為：,或,二、幾種重要的離散型隨機(jī)變量,應(yīng)用場(chǎng)合,凡試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果,常用0 1分布描述,如產(chǎn)品是否合格, 人口性別統(tǒng)計(jì), 系

4、統(tǒng)是否正常, 電力消耗是否超標(biāo)等。,10件產(chǎn)品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數(shù)”，求分布律。,X 可能取值為 0，1，2。,例2,解：,所以，X的分布律為：,注 求分布律，首先弄清 X 的確切含義及其所有可能取值。,2.二項(xiàng)分布,伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布,設(shè)試驗(yàn) E 只有兩個(gè)結(jié)果：和 ，記: 則稱(chēng)試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn)。,考慮 可以用何種分布來(lái)描述伯努 利試驗(yàn)的結(jié)果？,答（0-1）分布,例3 設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為 q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù)，求X的概率分布。,將 E 獨(dú)立地重復(fù) n 次，則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為 n 重伯努利( Bernoull

5、i )試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為伯努利( Bernoulli )試驗(yàn),X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù),生男孩的概率為 p.,X=0,X =1,X =2,X =3,X =4,在 n 重伯努利試驗(yàn)中,事件A可能發(fā)生0, 1, 2, n 次,稱(chēng) X 服從參數(shù)為 p 的二項(xiàng)分布。,記作：,當(dāng)n=1時(shí)， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 即0-1分布,（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或 ，,伯努利試驗(yàn)的結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次試驗(yàn)條件相同；,且P(A)=p ， ；,（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。,二項(xiàng)分布描述的是 n 重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù) X 的概率分布。,當(dāng)(n+1

6、)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k) 在 k=(n +1)p 和 k =(n+1)p-1 處達(dá)到最大值；,當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p達(dá)到最大值。,例4 已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率。,解:,依題意，p = 0.05,設(shè) X 為所取的3個(gè)中的次品數(shù)。,于是，所求概率為：,例5 設(shè)有80臺(tái)同類(lèi)型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備

7、發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大小。,X = 第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻故障臺(tái)數(shù)； Ai ：第i人維護(hù)的20臺(tái)故障不能及時(shí)維修” （i1, 2, 3, 4）；,解： 按第一種方法。,而Xb（20, 0.01），故有80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：,設(shè)：Y=80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)；,按第二種方法。, 0.0169,第二種方法優(yōu)于第一種方法,此時(shí)Yb（80, 0.01） ，,故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：,3.Poission分布,設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2.，取各個(gè)值的概率為,（）為常數(shù),稱(chēng) X 服從 參數(shù)為 的Poisson分布，記為：,如 單位時(shí)間內(nèi)某電

8、話(huà)總機(jī)收到的呼叫次數(shù)X量服從泊松分布。,二項(xiàng)分布的Poisson近似,泊松定理,設(shè)是一個(gè)正整數(shù)， ，則有：,n100, np10 時(shí)近似效果就很好.,泊松定理表明，當(dāng) n 很大，p 很小時(shí)有以下近似式：,其中,例6 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員 . 設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理 . 問(wèn)至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?,我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：,設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，,300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率p=0.01 . 可看作n=3

9、00的伯努利概型.,可見(jiàn)，,XB(n,p)，n=300, p=0.01,設(shè)需配備N(xiāo)個(gè)維修人員，,所求的是滿(mǎn)足,的最小的N.,P( X N ) 0.01 或 P( X N ) 0.99,P(XN),n大, p小, np=3, 用 =np=3 的泊松近似,查泊松分布表得,N+1 9,即N 8,即至少需配備8個(gè)維修人員.,例3 某地的“天天彩”中獎(jiǎng)率為p ,某人每天買(mǎi) 1 張, 若不中獎(jiǎng)第二天繼續(xù)買(mǎi) 1張, 直至中獎(jiǎng)為止。求該人購(gòu)買(mǎi)次數(shù) X 的分布律。,X= k 表示購(gòu)買(mǎi)了 k 張, 前 k-1張都未中獎(jiǎng), 第 k 張中了獎(jiǎng)。,補(bǔ)充.幾何分布,適用于試驗(yàn)首次成功的場(chǎng)合,解：,例4 一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯