2019年高考數(shù)學(xué)真題及答案解析(全國卷Ⅰ)

1、2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國 I卷）理科數(shù)學(xué)1.已知集合，則（ ）A. B.C. D. 答案：C解答：由題意可知,又因為,則，故選.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）A. B.C. D.答案：C解答：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為， 3.已知，則（ ）A. B.C.D.答案：B解答：由對數(shù)函數(shù)的圖像可知：；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：，于是可得到：.4.古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 .若某人滿足上述兩個

2、黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是（ ）A.B.C.D.答案：B解答：方法一：設(shè)頭頂處為點(diǎn)，咽喉處為點(diǎn)，脖子下端處為點(diǎn)，肚臍處為點(diǎn)，腿根處為點(diǎn)，足底處為，根據(jù)題意可知,故；又，故；所以身高，將代入可得.根據(jù)腿長為，頭頂至脖子下端的長度為可得，；即，將代入可得所以，故選B.方法二：由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近，故頭頂至脖子下端的長度可估值為頭頂至咽喉的長度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是（稱為黃金分割比例）可計算出咽喉至肚臍的長度約為；將人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度相加可得頭頂至肚臍的長度為，頭頂至肚臍的長度與肚臍

3、至足底的長度之比是可計算出肚臍至足底的長度約為；將頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度相加即可得到身高約為，與答案更為接近且身高應(yīng)略小于，故選B.5. 函數(shù)在的圖像大致為（ ）A.B.C.D.答案：D解答：，為奇函數(shù)，排除A，又，排除C，排除B，故選D.6.我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有個陽爻的概率是（ ） A. B. C. D. 答案：A解答：每爻有陰陽兩種情況，所以總的事件共有種，在個位置上恰有個是陽爻的情況有種，所以.7. 已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

4、）A. B. C. D.答案：B解答：設(shè)與的夾角為，.8.右圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（ ）A.B.C.D.答案：A解答：把選項代入模擬運(yùn)行很容易得出結(jié)論選項A代入運(yùn)算可得，滿足條件，選項B代入運(yùn)算可得,不符合條件，選項C代入運(yùn)算可得,不符合條件，選項D代入運(yùn)算可得,不符合條件.9.記為等差數(shù)列的前項和.已知，則（ ） A. B. C. D. 答案：A解析：依題意有，可得，.10.已知橢圓的焦點(diǎn)為，過的直線與交于，兩點(diǎn).若，則的方程為（ ）A. B. C. D.答案：B解答：由橢圓的焦點(diǎn)為，可知，又，可設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義可知，得，所以，可知，根據(jù)相似可得代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，橢

5、圓的方程為.11. 關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：是偶函數(shù) 在區(qū)間單調(diào)遞增在有4個零點(diǎn) 的最大值為其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）A. B. C. D.答案：C解答：因為，所以是偶函數(shù)，正確，因為，而，所以錯誤，畫出函數(shù)在上的圖像，很容易知道有零點(diǎn)，所以錯誤，結(jié)合函數(shù)圖像，可知的最大值為，正確，故答案選C.12. 已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，是邊長為的正三角形，分別是，的中點(diǎn)，則球的體積為（ ）A.B.C.D.答案：D解答：設(shè)，則，,即，解得，又易知兩兩相互垂直，故三棱錐的外接球的半徑為，三棱錐的外接球的體積為，故選D.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為 .答案：解答：，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)處的

6、切線方程的斜率，切線方程為.14.記為等比數(shù)列的前項和，若，則 .答案：解答：，設(shè)等比數(shù)列公比為15.甲乙兩隊進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該對獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期的比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為，客場取勝的概率為，且各場比賽相互獨(dú)立，則甲隊以獲勝的概率是 .答案：解答：甲隊要以，則甲隊在前4場比賽中輸一場，第5場甲獲勝，由于在前4場比賽中甲有2個主場2個客場，于是分兩種情況：.16.已知雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn).若，則的離心率為 .答案：解答：由知是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以為中位線且，

7、所以，因此，又根據(jù)兩漸近線對稱，所以，.17. 的內(nèi)角的對邊分別為.設(shè).（1） 求；（2） 若，求.答案：略解答：（1） 由得結(jié)合正弦定理得又，.（2） 由得,又又，.18.如圖，直四棱柱的底面是菱形，分別是的中點(diǎn).（1） 證明：平面；（2） 求二面角的正弦值.答案：（1） 見解析；（2） .解答：（1） 連結(jié)和，分別是和的中點(diǎn)，且，又是，且，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面.（2） 以為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，由題，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由得，令得，由得，令得，二面角的正弦值為.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.（1） 若，求的方程；（2） 若，求

8、.答案：（1）；（2）.解答：（1）設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程：消去化簡整理得，依題意可知，即，故，得，滿足，故直線的方程為，即.（2）聯(lián)立方程組消去化簡整理得，可知，則，得，故可知滿足，.20.已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).證明：(1)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；(2)有且僅有個零點(diǎn).答案：略解答：(1)對進(jìn)行求導(dǎo)可得，取，則,在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以在內(nèi)存在一個，使得，所以在內(nèi)，為增函數(shù)；在內(nèi)，為減函數(shù)，所以在在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）可知當(dāng)時，單調(diào)增，且，可得則在此區(qū)間單調(diào)減；當(dāng)時，單調(diào)增，且，則在此區(qū)間單調(diào)增；又則在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時，單調(diào)減，且，則存在唯一的，使得

9、，在時，單調(diào)增；當(dāng)時，單調(diào)減，且，所以在上無零點(diǎn)；當(dāng)時，單調(diào)減，單調(diào)減，則在上單調(diào)減, ,所以在上存在一個零點(diǎn).當(dāng)時，恒成立，則在上無零點(diǎn).綜上可得，有且僅有個零點(diǎn).21為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物實(shí)驗實(shí)驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比實(shí)驗對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪實(shí)驗當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止實(shí)驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪實(shí)驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且

10、施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪實(shí)驗中甲藥的得分記為（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在實(shí)驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，其中，假設(shè)，（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種實(shí)驗方案的合理性答案：（1）略；（2）略解答：（1）一輪實(shí)驗中甲藥的得分有三種情況：、得分時是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則；得分時是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則；得分時是都治愈或都未治愈，則則的分布列為：（2）（i）因為，則，可得，則，則，則，所以為等比數(shù)列（ii）的首項為，那么可得：，以上7個式子相加，得到，則，則，再把后面三個式子相加，得，則表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計得分為4”，因為，則實(shí)驗結(jié)果中“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計得分為4”這種情況的概率是非常小的，而的確非常小，說明這種實(shí)驗方案是合理的22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.