經(jīng)典幾何中線段和差最值

1、 幾何中線段和，差最值問題一、解決幾何最值問題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段幾何最值問題中的基本模型舉例軸對(duì)稱最值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)

2、，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)折疊最值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在ABC中，M，N兩點(diǎn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，將BMN沿MN翻折，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，連接AB，求AB的最小值轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求AB+BN+NC的最小值一般處理方法：線段最大（?。┲稻€段差最大線段和(周長)最小平移對(duì)稱旋轉(zhuǎn)平移對(duì)稱旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化構(gòu)造三角形使目標(biāo)線段與定長線段構(gòu)成三角形使點(diǎn)在線同側(cè)（如下圖）使點(diǎn)在線異側(cè)（如下圖）三角形三邊關(guān)系定理三點(diǎn)共線時(shí)取得最值兩點(diǎn)之間

3、，線段最短垂線段最短常用定理：兩點(diǎn)之間，線段最短（已知兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)）垂線段最短（已知一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線時(shí)）三角形三邊關(guān)系（已知兩邊長固定或其和、差固定時(shí)）|PA-PB|最大，需轉(zhuǎn)化，使點(diǎn)在線同側(cè)PA+PB最小，需轉(zhuǎn)化，使點(diǎn)在線異側(cè) 二、典型題型1如圖：點(diǎn)P是AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若AOB=45，OP=，則PMN的周長的最小值為 6 2如圖，當(dāng)四邊形PABN的周長最小時(shí)，a=3如圖，A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線的距離AM=4，點(diǎn)B到直線的距離BN=1，且MN=4，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，|PAPB|的最大值為54動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5如圖所

4、示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為 2 5如圖，直角梯形紙片ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于6如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為 7如圖，線段AB的長為4，C為AB上一

5、動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角ACD和等腰直角BCE，那么DE長的最小值是 2 8如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為9如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)（可與B、C 重合），分別過B、C、D 作射線AP的垂線，垂足分別為B、C、D，則BB+CC+DD的取值范圍是 BB+CC+DD 10 如圖，菱形ABCD中，A=60，AB=3，A、B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、A和B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是 3 11 點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的

6、網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示若P是x軸上使得的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn)，則3第11題圖 第12題圖 12.如圖，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為_2.4_13.如圖，點(diǎn)P在第一象限，ABP是邊長為2的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離是_.若將ABP中邊PA的長度改為，另兩邊長度不變，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離變?yōu)開 14.動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=5如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在B

7、C邊上的A處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為 2 解答題：1. 如圖，直角梯形紙片ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P（1）當(dāng)P落在線段CD上時(shí)，PD的取值范圍為 PD ；（2）當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于多少？ 2. 如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM.（1）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM

8、的值最??；中點(diǎn)（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說明理由.EC與BD的交點(diǎn)為M連接MN，則三角形BMN為等邊三角形，BMC BMABNE,所以MC=MA=EN,即AMBMCM=EN+MN+MC,AMBMCM的值最小時(shí)，E,N,M,C四點(diǎn)在同一直線上3. 如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，-3），B（4，-1）.（1）若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p_時(shí)，PAB的周長最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a_時(shí)，四邊形ABDC的周長最短；（3）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0），N（0，n）

9、，使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請(qǐng)寫出m和n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.m=,n=課堂作業(yè)：幾何中的最值問題1 如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=6，對(duì)角線AC平分BAD，點(diǎn)E在AB上，且AE=2（AEAD），點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PEPB的最小值是_第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖 第5題圖 2 在邊長為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小值為_cm（結(jié)果不取近似值）.3 如圖，一副三角板拼在一起，O為AD的中點(diǎn)，AB=a將ABO沿BO對(duì)折于ABO，點(diǎn)M為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則AM的最小值為 4

10、如圖，在銳角ABC中，BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為_4_5 在RtACB中，ACB=90，AC=6，BC=8，P、Q兩點(diǎn)分別是邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，將PCQ沿PQ翻折，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接A，則A的最小值是_2_ 6 如圖，在ABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是 . 第6題圖7 一次函數(shù)y1=kx-2與反比例函數(shù)y2=（m0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，2）（1）求m，k的值；m=-12,k=-（2）點(diǎn)P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)|PA-PB|的值最大？并求出最大值.8 已知點(diǎn)A（3