高中數(shù)學(xué)-導(dǎo)數(shù)難題

1、5.導(dǎo)函數(shù)不等式1. 已知函數(shù)（）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（）設(shè)函數(shù)，求證：分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。解：（）由得，所以由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是（）由可知是偶函數(shù)于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立由得當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增故，符合題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）， 由此得，故2. 設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，

2、記（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）求證：（）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；（）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意正實(shí)數(shù)成立。分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力分類討論、化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法（I）解：由，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（II）證明：（i）方法一：令，則，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)的最小值是故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立方法二：對(duì)任意固定的，令，則，由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立（ii）方法一：由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成

3、立下面證明的唯一性：當(dāng)，時(shí)，由（i）得，再取，得，所以，即時(shí)，不滿足對(duì)任意都成立故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立方法二：對(duì)任意，因?yàn)殛P(guān)于的最大值是，所以要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：，即，又因?yàn)椋坏仁匠闪⒌某浞直匾獥l件是，所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立3. 定義函數(shù)f n( x )(1x)n1, x2，nN*(1)求證：f n ( x ) nx；(2)是否存在區(qū)間 a，0 (a0)，使函數(shù)h( x )f 3( x )f 2( x )在區(qū)間a，0上的值域?yàn)閗a，0?若存在，求出最小實(shí)數(shù)k的值及相應(yīng)的區(qū)間a，0，若不存在，說(shuō)明理由.分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)

4、，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力分類討論、數(shù)形結(jié)合思想方法解：(1)證明：f n( x )nx(1x)n1nx，令g( x )(1x)n1nx , 則g( x )n(1x)n11.當(dāng)x(2，0)時(shí)， g( x )0,當(dāng)x(0，）時(shí)，g( x )0，g( x )在x0處取得極小值g( 0 )0，同時(shí)g( x )是單峰函數(shù)，則g( 0 )也是最小值.g( x )0,即f n ( x )nx(當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)). 注：亦可用數(shù)學(xué)歸納法證明.(2)h( x )f 3( x )f 2( x )x( 1x )2h( x )(1x)2x2(1x)(1x)(1

5、3x)令h(x)0, 得x1或x ，當(dāng)x(2，1)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x( ,)時(shí)，h(x)0.故作出h(x)的草圖如圖所示，討論如下：當(dāng)時(shí)，h(x)最小值h(a)ka k(1a)2當(dāng)時(shí)h(x)最小值h(a)h()ka 當(dāng)時(shí)h( x )最小值h( a )a(1a)2ka k(1a)2，時(shí)取等號(hào).綜上討論可知k的最小值為，此時(shí)a，0，0.例4. 已知在區(qū)間上是增函數(shù)。（1）求實(shí)數(shù)的值組成的集合A；（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為、。試問(wèn)：是否，使得不等式對(duì)及恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基

6、礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力函數(shù)方程思想、化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：（1） 在上 對(duì)恒成立即，恒有成立設(shè) （2） 、是方程的兩不等實(shí)根，且， 對(duì)及恒成立 對(duì)恒成立設(shè)， 對(duì)恒成立 滿足題意5. 已知函數(shù)。（1）求函數(shù)的反函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)；（2）假設(shè)對(duì)，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：本題主要考查反函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：（1） （2） ，成立 設(shè)， 恒有成立 ， ，在上 即 在上 的取值范圍是6.設(shè)函數(shù).()當(dāng)x=6時(shí),求的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);()對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,證明()是否存在,使得a恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.（）解：展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是（）證法一：因證法二：因而故只需對(duì)和進(jìn)行比較。令，有，由，得因?yàn)楫?dāng)