2007年考研數(shù)學(xué)一試卷真題及答案解析

1、2007年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題及答案解析 一、選擇題：(本題共10小題，每小題4分，共40分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1) 當(dāng)時，與等價的無窮小量是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式，盡量將四個選項先轉(zhuǎn)化為其等價無窮小量，再進(jìn)行比較分析找出正確答案.【詳解】 當(dāng)時，有； 利用排除法知應(yīng)選(B). (2) 曲線，漸近線的條數(shù)為(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析】 先找出無定義點，確定其是否為對應(yīng)垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線。【詳解】 因

2、為，所以為垂直漸近線；又 ，所以y=0為水平漸近線；進(jìn)一步，=， = =，于是有斜漸近線：y = x. 故應(yīng)選(D).(3) 如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間3，2，2，3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間2，0，0，2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論正確的是(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 本題考查定積分的幾何意義，應(yīng)注意f(x)在不同區(qū)間段上的符號，從而搞清楚相應(yīng)積分與面積的關(guān)系?！驹斀狻?根據(jù)定積分的幾何意義，知F(2)為半徑是1的半圓面積：，F(xiàn)(3)是兩個半圓面積之差：=，因此應(yīng)選(C).(4) 設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命

3、題錯誤的是(A) 若存在，則f(0)=0. (B) 若存在，則f(0)=0. (C) 若存在，則存在. (D) 若存在，則存在 D 【分析】 本題為極限的逆問題，已知某極限存在的情況下，需要利用極限的四則運算等進(jìn)行分析討論?！驹斀狻?(A),(B)兩項中分母的極限為0，因此分子的極限也必須為0，均可推導(dǎo)出f(0)=0.若存在，則，可見(C)也正確，故應(yīng)選(D). 事實上，可舉反例：在x=0處連續(xù)，且=存在，但在x=0處不可導(dǎo)。(5) 設(shè)函數(shù)f (x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 令, 則下列結(jié)論正確的是(A) 若，則必收斂. (B) 若，則必發(fā)散. (C) 若，則必收斂. (D) 若，則必發(fā)散. D

4、【分析】 可直接證明或利用反例通過排除法進(jìn)行討論。【詳解】 設(shè)f(x)=, 則f (x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但發(fā)散，排除(C); 設(shè)f(x)=, 則f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但收斂，排除(B); 又若設(shè)，則f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但發(fā)散，排除(A). 故應(yīng)選(D).(6) 設(shè)曲線具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過第II象限內(nèi)的點M和第IV象限內(nèi)的點N，T為L上從點M到點N的一段弧，則下列小于零的是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 直接計算出四個積分的值，從而可確定正確選項。【詳解】 設(shè)M 、N點的坐標(biāo)分別為. 先將曲線方程代入積分表達(dá)式，再計算有： ; ; .故正

5、確選項為(B). (7) 設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是(A) . (B) . (C) . (D) . A 【詳解】用定義進(jìn)行判定:令，得 .因線性無關(guān)，所以 又 ， 故上述齊次線性方程組有非零解, 即線性相關(guān). 類似可得(B), (C), (D)中的向量組都是線性無關(guān)的. (8) 設(shè)矩陣, , 則A與B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 【詳解】 由 得A的特征值為0, 3, 3, 而B的特征值為0, 1, 1,從而A與B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正慣性指數(shù), 因此A

6、與B合同. 故選(B) .(9) 某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0p1), 則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為(A) (B) .(C) (D) C 【詳解】 “第4次射擊恰好第2次命中”表示4次射擊中第4次命中目標(biāo), 前3次射擊中有1次命中目標(biāo), 由獨立重復(fù)性知所求概率為：. 故選(C) . (10) 設(shè)隨機變量(,)服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表示，的概率密度，則在y的條件下，的條件概率密度為(A) (B) (C ) . (D) A 【詳解】 因(,)服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，故與相互獨立，于是 =. 因此選(A) .二、填空題：(1116小題，每

7、小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上)(11) = 【分析】 先作變量代換，再分部積分?！驹斀狻?= (12) 設(shè)f(u,v)為二元可微函數(shù)，則=【詳解】 利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式，有= (13) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為 其中為任意常數(shù).【詳解】 特征方程為 ，解得 可見對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為 設(shè)非齊次線性微分方程的特解為，代入非齊次方程可得k= 2. 故通解為(14) 設(shè)曲面，則= 【詳解】 由于曲面關(guān)于平面x=0對稱，因此=0. 又曲面具有輪換對稱性，于是=(15) 設(shè)矩陣, 則的秩為1.【詳解】 依矩陣乘法直接計算得 , 故r()=1. (16) 在區(qū)間(0, 1

8、)中隨機地取兩個數(shù), 則兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為【詳解】 這是一個幾何概型, 設(shè)x, y為所取的兩個數(shù), 則樣本空間, 記.故 ，其中分別表示A與W 的面積. 三、解答題：(1724小題，共86分. ) (17) (本題滿分11分) 求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值?！痉治觥?由于D為閉區(qū)域，在開區(qū)域內(nèi)按無條件極值分析，而在邊界上按條件極值討論即可?！驹斀狻?因為 ，解方程： 得開區(qū)域內(nèi)的可能極值點為.其對應(yīng)函數(shù)值為又當(dāng)y=0 時，在上的最大值為4，最小值為0.當(dāng)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 解方程組 得可能極值點：，其對應(yīng)函數(shù)值為 比較函數(shù)值，知f(x, y)在區(qū)域D上的最大值為8，最小值為0. (

9、18) (本題滿分10分)計算曲面積分 其中為曲面的上側(cè)?！痉治觥?本題曲面不封閉，可考慮先添加一平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區(qū)域內(nèi)用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可?！驹斀狻?補充曲面：，取下側(cè). 則 =其中為與所圍成的空間區(qū)域，D為平面區(qū)域. 由于區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，因此. 又=其中.(19) (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)f(x), g(x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明：存在，使得【分析】 需要證明的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，自然聯(lián)想到用微分中值定理。事實上，若令，則問題轉(zhuǎn)化為證明, 只需對用羅爾定理，關(guān)

10、鍵是找到的端點函數(shù)值相等的區(qū)間(特別是兩個一階導(dǎo)數(shù)同時為零的點)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一點，使得，則在區(qū)間上兩次利用羅爾定理有一階導(dǎo)函數(shù)相等的兩點，再對用羅爾定理即可。【證明】 構(gòu)造輔助函數(shù)，由題設(shè)有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)內(nèi)具有相等的最大值, 不妨設(shè)存在, 使得，若，令, 則若，因，從而存在，使 在區(qū)間上分別利用羅爾定理知，存在，使得. 再對在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，知存在，有， 即 (20) (本題滿分10分)設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿足(I) 證明：(II) 求y(x)的表達(dá)式.【分析】 先將和函數(shù)求一階、二階導(dǎo)，再代入微分

11、方程，引出系數(shù)之間的遞推關(guān)系?！驹斀狻?(I)記y(x)=, 則代入微分方程有即 故有 即 (II) 由初始條件知， 于是根據(jù)遞推關(guān)系式 有 故y(x)= =(21) (本題滿分11分)設(shè)線性方程組 與方程 有公共解，求a的值及所有公共解【分析】 兩個方程有公共解就是與聯(lián)立起來的非齊次線性方程組有解. 【詳解】 將與聯(lián)立得非齊次線性方程組: 若此非齊次線性方程組有解, 則與有公共解, 且的解即為所求全部公共解. 對的增廣矩陣作初等行變換得: .于是1 當(dāng)a=1時，有=23，方程組有解, 即與有公共解, 其全部公共解即為的通解，此時，此時方程組為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為: ,所以與的全部公共

12、解為，k為任意常數(shù).2 當(dāng)a =2時，有=3，方程組有唯一解, 此時，故方程組的解為: , 即與有唯一公共解: 為. (22) (本題滿分11分)設(shè)3階對稱矩陣的特征值 是的屬于的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣.(I) 驗證是矩陣的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量(II) 求矩陣【分析】 根據(jù)特征值的性質(zhì)可立即得B的特征值, 然后由B也是對稱矩陣可求出其另外兩個線性無關(guān)的特征向量.【詳解】 (I) 由 得 , 進(jìn)一步 , ，故 ，從而是矩陣的屬于特征值2的特征向量.因, 及的3個特征值 得B的3個特征值為.設(shè)為B的屬于的兩個線性無關(guān)的特征向量, 又為對稱矩陣，得B也是對稱矩陣, 因此與正交, 即所以可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關(guān)的解： ,其基礎(chǔ)解系為: , , 故可取=, =.即B的全部特征值的特征向量為: , , 其中,是不為零的任意常數(shù), 是不同時為零的任意常數(shù).(II) 令=, 則 ，得 =. (23) (本題滿分11分) 設(shè)二維隨機變量(X, Y)的概率密度為 (I) 求；(II) 求Z+的概率密度.【詳解】 (I) .( II