待定系數(shù)法、配方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)思想、方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是開啟數(shù)學(xué)知識寶庫的金鑰匙，是層出不窮的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉。數(shù)學(xué)思想、方法比形式化的數(shù)學(xué)知識更具有普遍性，在學(xué)生未來的工作和生活中有更加廣泛的應(yīng)用。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)思想有：轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等等；常見的數(shù)學(xué)方法有：待定系數(shù)法、配方法、換元法、分析法、綜合法、類比法等等。下面談?wù)劥ㄏ禂?shù)法、配方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。待定系數(shù)法：待定系數(shù)法是確定代數(shù)式中某些項(xiàng)的系數(shù)的重要數(shù)學(xué)方法，它是以代數(shù)式形式上的恒等變換的性質(zhì)為依據(jù)，根據(jù)恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組）并解出待定

2、字母系數(shù)的值的方法。除了我們熟悉的求解析式的應(yīng)用外，待定系數(shù)法還可運(yùn)用在整式整除、因式分解等問題中。1、求函數(shù)解析式待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式中的未知系數(shù)，再根據(jù)條件列出方程或方程組求出未知系數(shù)，從而寫出函數(shù)表達(dá)式的方法叫做待定系數(shù)法，其中的未知系數(shù)便稱為待定系數(shù)。用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的一般步驟是：（1）設(shè)出函數(shù)表達(dá)式的一般形式；（2）把從問題中分析出的自變量與函數(shù)的對應(yīng)值代入函數(shù)表達(dá)式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；（3）解方程或方程組求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)表達(dá)式。例如 已知一個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-2，-3），（1，3）兩點(diǎn)，求這個(gè)一次函數(shù)解析式。再如 如圖所示的是拋物線形

3、的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬 4 m，水面下降1 m時(shí)，水面寬度增加多少？確定二次函數(shù)的關(guān)系式是二次函數(shù)中的易考知識點(diǎn)，也是不少同學(xué)感到難的地方。與一次函數(shù)和反比例函數(shù)類似，也用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，不過要注意根據(jù)已知條件選擇合適的關(guān)系式的設(shè)法，可分三種情況：（1）設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a0）：如果已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)或三組x，y的對應(yīng)值，可設(shè)所求二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a0），將已知條件代入關(guān)系式，得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解方程組求出于a，b，c的值，關(guān)系式便可得出；（2）設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a0）：如果已知拋物線的對稱軸和

4、最大值（或最小值）或頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)所求二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k（a0），將已知條件代入，求出待定系數(shù)，從而求得函數(shù)關(guān)系式，最后要注意把關(guān)系式化成一般式；（3）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1) (x-x2)（a0）：如果已知或較易求得拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)（x1，0）和（x2，0）及另一點(diǎn)的坐標(biāo)或一組x，y的對應(yīng)值，可設(shè)所求二次函數(shù)為y=a(x-x1) (x-x2)（a0），將另一點(diǎn)的坐標(biāo)或一組x，y的對應(yīng)值代入，求出待定系數(shù)a，進(jìn)而可得到函數(shù)關(guān)系式，最后也要注意將其化為一般形式。例1已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，10），B（1，4），C（2，7），求拋物線的解析式例2 已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1

5、，4），且又過點(diǎn)（2，3）求拋物線的解析式例3 已知拋物線與x軸的兩交點(diǎn)為（1，0）和（3，0），且過點(diǎn)（2，3）求拋物線的解析式2、在因式分解中的應(yīng)用用待定系數(shù)法分解因式，就是先按已知條件把原式假設(shè)成若干個(gè)因式的連乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，由于這些因式的連乘積與原式恒等，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值。在初中競賽中經(jīng)常出現(xiàn)。 例如 分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20分析：所要因式分解的多項(xiàng)式看上去比較復(fù)雜，屬于二次六項(xiàng)式，一般采取分組分解的方法，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數(shù)法。解：先分解2

6、a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)設(shè)2a2+3ab-9b2+14a+3b+20=(2a-3b+m)(a+3b+n) （*）則2a2+3ab-9b2+14a+3b+20=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn比較等號兩邊對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)注對于（*）式，因?yàn)閷，b取任何值等式都成立，也可用特殊值法，求m，n，比如令a=1，b=0；a=0，b=1，可以得到m，n的二元一次方程組，從而求出m，n的值。3、在分式中的應(yīng)用把一個(gè)有理分式分解成幾個(gè)簡單分式的和。由于分式變形時(shí)恒等變形，故在去分母之后對應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)相等，可采取待

7、定系數(shù)法求出字母系數(shù)的值。例如 已知，求A，B，C的值。去分母得x2-x+2=A(x-3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-3)法一：比較系數(shù)法，將等式右邊的代數(shù)式整理成關(guān)x的二次三項(xiàng)式，然后根據(jù)“左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等”，列出方程組求解。法二：特殊值法，根據(jù)恒等式的意義（選擇適當(dāng)?shù)膞值，可直接求出A，B，C的值），當(dāng)x=0時(shí)，有2=-6A，所以A=-1/3；當(dāng)x=3時(shí)，有8=-15B，所以B=8/15；當(dāng)x=-2時(shí)，有8=10C，所以C=4/5。四、在整式乘法中的應(yīng)用例如 求（x+y）5的展開式。此題可以利用“楊輝三角”，也可以用待定系數(shù)法。整式變形是恒等變形，可以考慮用待定系數(shù)法，即

8、先假設(shè)出展開式的形式，然后運(yùn)用特殊值法進(jìn)行求解。因?yàn)檎归_式是五次齊次對稱式，所以可設(shè)(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3)(a、b、c是待定系數(shù))。當(dāng)x =1，y =0時(shí)，得a=1；當(dāng)x =1，y =1時(shí)，得2a+2b+2c=32即a+b+c=16；當(dāng)x =-1，y =2時(shí)，得31a-14b+4c=1即a+b+c=16，最后解方程組得a=1，b=5，c=10，所以(x+y)5=x5 +5x4y +10x3y2+10x2y3+5xy4+ y5。五、在整式除法中的應(yīng)用例如 試確定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除。因?yàn)閤2+3x+2=(x

9、+1)(x+2)，而要使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除，則x+1和x+2都應(yīng)該是x4+ax2-bx+2的因式。若設(shè)m= x4+ax2-bx+2，要使m能被x2+3x+2整除，則x+1和x+2必是m的因式，因此，當(dāng)x=-1時(shí)，m=0，即1+a+b+2=0；當(dāng)x=-2時(shí)，m=0，即16+4a+2b+2=0,得a=-6，b=3。待定系數(shù)法是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法，解題的一般步驟是：（1）確定所求問題含待定系數(shù)的解析式；（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；（3）解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。配方法：所謂配方，就是把一個(gè)多項(xiàng)式經(jīng)過適當(dāng)變形配成完全平方式。通過配方解

10、決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。配方法解一元二次方程步驟如下：1、將一元二次方程化為ax2+bx+c=0的形式；2、將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；3、將常數(shù)項(xiàng)移到等號右側(cè)；4、等號左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；5、將等號左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式；6、左右同時(shí)開平方；7、整理即可得到原方程的根。配方法除一元二次方程求根公式推導(dǎo)以及二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式這些典型應(yīng)用外，在因式分解、化簡二次根式、證明恒等式、解方程、求代數(shù)式最值等問題中都有廣泛應(yīng)用，是一種很重要、很基本的數(shù)學(xué)方法。例1分解因式x2120x+3456.分析：由于常數(shù)項(xiàng)的數(shù)值較大，如果運(yùn)用十字相乘法分解，需要試驗(yàn)多次，因此可采用配方法。解

11、：原式= x2120x+3600+3456-3600 =( x260)2-144=(x-60+12)(x-60-12)=(x-48)(x-72)例2化簡.解：原式例3解方程x4-15 x2+10 x+24=0.分析：這是一個(gè)四次方程，應(yīng)設(shè)法降次后來解，為此先將方程的左端利用配方法分解因式。將-15 x2及24適當(dāng)拆項(xiàng)后可達(dá)到分解因式的目的。解：原方程可變形為x4+10 x2+25-25 x2+10 x-1=0即（x2+5）2-（5 x -1）2=0所以（x2+5+5 x -1）（x2+5-5 x +1）=0即x2+5 x+4=0或x2-5 x +6=0由x2+5 x+4=0，得x1=1，x2=4；由x2-5 x +6=0，得x3=2，x4=3。故原方程的解為x1=1，x2=4，x3=2，x4=3。例4求4x2+y2-2y-4x+15的最小值.解：可將原式配方，得(2x-1)2+(y-1)2+1313所以當(dāng)x=1/2，y=1時(shí)，原式有最小值13.例5已知：a=m/2-2n+1，b=m/2-2n+3，c=m/2-2n+2，求代數(shù)式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.解：（a-b)2=4，(a-c)2