第14章 排隊(duì)論 (管理運(yùn)籌學(xué) 第三版 課件 共17章 韓伯棠).ppt

1、1,第十四章.排隊(duì).論,1排隊(duì)過(guò)程的組成部分 2單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型 3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型 4排隊(duì)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)分析 5單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型 6單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、定長(zhǎng)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型 7多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意的服務(wù)時(shí)間、損失制排隊(duì)模型 8顧客來(lái)源有限制排隊(duì)模型 9單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有限制的排隊(duì)模型 10多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有限制的排隊(duì)模型 *11生滅過(guò)程及生滅過(guò)程排隊(duì)系統(tǒng),2,一、基本概念 一些排隊(duì)系統(tǒng)的例子 排隊(duì)系統(tǒng) 顧 客 服務(wù)臺(tái) 服 務(wù) 電話系統(tǒng) 電話呼叫 電話總機(jī) 接通呼叫或取

2、消呼叫 售票系統(tǒng) 購(gòu)票旅客 售票窗口 收款、售票 設(shè)備維修 出故障的設(shè)備 修理工 排除設(shè)備故障 防空系統(tǒng) 進(jìn)入陣地的敵機(jī) 高射炮 瞄準(zhǔn)、射擊，敵機(jī)被擊落或離開 排隊(duì)的過(guò)程可表示為：,排隊(duì),服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù),服務(wù)后顧客離去,排隊(duì)系統(tǒng),顧客到達(dá),1排隊(duì)過(guò)程的組成部分,3,考慮要點(diǎn)： 1、服務(wù)臺(tái)（或通道）數(shù)目：?jiǎn)畏?wù)臺(tái)（單通道）、多服務(wù)臺(tái)（多通道）。 2、顧客到達(dá)過(guò)程：本教材主要考慮顧客的泊松到達(dá)情況。 滿足以下四個(gè)條件的輸入流稱為泊松流（泊松過(guò)程）。 *平穩(wěn)性：在時(shí)間區(qū)間 t, t+t) 內(nèi)到達(dá)k個(gè)顧客的概率與t無(wú)關(guān)，只與 t 有關(guān)，記為 pk(t）； *無(wú)后效性：不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)互相獨(dú)

3、立； *普通性：在足夠短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)多于一個(gè)顧客的概率可以忽略； *有限性：任意有限個(gè)區(qū)間內(nèi)到達(dá)有限個(gè)顧客的概率等于1。 泊松分布 為單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù) P (x) = x e- / x! (x = 0, 1, 2,),1排隊(duì)過(guò)程的組成部分,4,1排隊(duì)過(guò)程的組成部分,3、服務(wù)時(shí)間分布： 服從負(fù)指數(shù)分布， 為平均服務(wù)率，即單位時(shí)間服務(wù)的顧客數(shù)， P（服務(wù)時(shí)間 t ) = 1- e- t 。 4、排隊(duì)規(guī)則分類 (1) 等待制： 顧客到達(dá)后，一直等到服務(wù)完畢以后才離去， 先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，隨機(jī)服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)； (2) 損失制： 到達(dá)的顧客有一部分未接受服務(wù)就離去。 5、平穩(wěn)狀態(tài)：

4、業(yè)務(wù)活動(dòng)與時(shí)間無(wú)關(guān)。,5,排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示: 一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的特征可以用五個(gè)參數(shù)表示，形式為： ABCDE 其中 A 顧客到達(dá)的概率分布，可取M、 D、G 、Ek等； B 服務(wù)時(shí)間的概率分布，可取M、D、 G 、 Ek等； C 服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，取正整數(shù)； D 排隊(duì)系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)或； E 顧客源的最大容量，可取正整數(shù)或。 例如 M / M / 1 / / 表示顧客到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，一個(gè)服務(wù)臺(tái)，排隊(duì)的長(zhǎng)度無(wú)限制和顧客的來(lái)源無(wú)限制。,1排隊(duì)過(guò)程的組成部分,6,M / M / 1 / / 單位時(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) ，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ( ) 數(shù)量指標(biāo)公式: 1. 系

5、統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 P0 =1 / 2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) Lq =2/( ) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + / 4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時(shí)間 Wq = Lq / 5. 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/ 6. 顧客得不到及時(shí)服務(wù)必須排隊(duì)等待的概率 Pw = / 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 Pn =( /)n P0,1 排隊(duì)過(guò)程的組成部分,2單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,7,2單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,在上面的公式中，我們都認(rèn)定 ,即到達(dá)率小于服務(wù)率，如果沒(méi)有這個(gè)條件，則排隊(duì)的長(zhǎng)度將無(wú)限制地增加，服務(wù)機(jī)構(gòu)根本沒(méi)有能力

6、處理所有到達(dá)的顧客， 也就是 / 1,我們稱 / 為服務(wù)強(qiáng)度。 例 某儲(chǔ)蓄所只有一個(gè)服務(wù)窗口。根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，顧客的到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，平均每小時(shí)到達(dá)顧客36人；儲(chǔ)蓄所的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時(shí)能處理48位顧客的業(yè)務(wù)。試求這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 解 平均到達(dá)率 = 36/60 = 0.6， 平均服務(wù)率 = 48/60 = 0.8。 P0 =1 / = 10.6/0.8 = 0.25, Lq =2/( ) = (0.6)2 / 0.8(0.8 0.6) =2.25 (個(gè)顧客),8,Ls = Lq + / = 2.25+ 0.6/0.8 =3 (個(gè)顧客), Wq = Lq / = 2.

7、25/0.6 = 3.75（分鐘）, Ws = Wq+ 1/ = 3.75+1/0.8 =5 （分鐘）, Pw = / = 0.6/0.8 = 0.75, Pn =( /)n P0 = (0.75)n 0.25, n=1, 2, 。 通過(guò)計(jì)算，可知儲(chǔ)蓄所的排隊(duì)系統(tǒng)里有n個(gè)顧客的概率，見(jiàn)表14-1。,2單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,表14-1,9,2單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)與表中數(shù)據(jù)，可知儲(chǔ)蓄所的排隊(duì)系統(tǒng)并不盡如人意，到達(dá)儲(chǔ)蓄所有75%的概率要排隊(duì)等待，排隊(duì)的長(zhǎng)度平均為2.25個(gè)人，排隊(duì)的平均時(shí)間為3.75分鐘，是1.25分鐘的3倍，而且儲(chǔ)蓄所里有7

8、個(gè)或更多的顧客的概率為13.35%，這個(gè)概率太高了。而要提高服務(wù)水平，減少顧客的平均排隊(duì)時(shí)間和平均服務(wù)時(shí)間，一般可采用兩種措施：第一，減少服務(wù)時(shí)間，提高服務(wù)率；第二，增加服務(wù)臺(tái)即增加服務(wù)窗口。 如采取第一種方法，不增加服務(wù)窗口，而增加新型點(diǎn)鈔機(jī)，建立儲(chǔ)戶管理信息系統(tǒng)，可以縮短儲(chǔ)蓄所每筆業(yè)務(wù)的服務(wù)時(shí)間，使每小時(shí)平均服務(wù)的顧客數(shù)目從原來(lái)的48人提高到60人，即每分鐘平均服務(wù)的顧客數(shù)從0.8人提高到1人，這時(shí) 仍然為0.6， 為1，通過(guò)計(jì)算得到的結(jié)果如表14-2所示：,10,2單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,從上表我們可以看出由于把服務(wù)率從0.8提高到1，其排隊(duì)系統(tǒng)有了很大的改進(jìn)，顧客平

9、均排隊(duì)時(shí)間由3.75分鐘減少到1.5分鐘，顧客平均逗留時(shí)間從5分鐘減少到2.5分鐘，在系統(tǒng)里有7個(gè)或更多顧客的概率有大幅度的下降，從13.35%下降到2.79%。 如果采用第二種方法，再設(shè)一個(gè)服務(wù)窗口，排隊(duì)的規(guī)則為每個(gè)窗口排一個(gè)隊(duì)，先到先服務(wù)，并假設(shè)顧客一旦排了一個(gè)隊(duì)，就不能再換到另一個(gè)隊(duì)上去（譬如，當(dāng)把這個(gè)服務(wù)臺(tái)設(shè)在另一個(gè)地點(diǎn)，上述假設(shè)就成立了）。這種處理方法就是把顧客分流，把一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)分成兩個(gè)排隊(duì)系,表14-2,11,2單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,統(tǒng)，每個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)中有一個(gè)服務(wù)臺(tái)，每個(gè)系統(tǒng)的服務(wù)率仍然為0.8，但到達(dá)率由于分流，只有原來(lái)的一半了， =0.3，這時(shí)我們可求得每

10、一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)如表14-3所示：,表14-3,我們比較表14-1和14-3，知道采用第二個(gè)方法的服務(wù)水平也使得原來(lái)的服務(wù)水平有了很大的提高，采用第二種方法顧客平均排隊(duì)時(shí)間減少到了0.75分鐘，顧客平均逗留時(shí)間減少到了2分鐘，第二種排隊(duì)系統(tǒng)為兩個(gè)M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)。如果在第二種方法中把排隊(duì)的規(guī)則變一下，在儲(chǔ)蓄所里只排一個(gè)隊(duì)，這樣的排隊(duì)系統(tǒng)就變成了 M/M/2排隊(duì)系統(tǒng)。,12,M / M / C / / 單位時(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) ，單位平均服務(wù)顧客數(shù) 。 1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + / , 4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時(shí)間

11、 Wq = Lq / ,3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,13,5. 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/ , 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率,當(dāng)nc時(shí),當(dāng)nc時(shí),3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,14,例 在前例的儲(chǔ)蓄所里多設(shè)一個(gè)服務(wù)窗口，即儲(chǔ)蓄所開設(shè)兩個(gè)服務(wù)窗口。顧客的到達(dá)過(guò)程仍服從泊松分布，平均每小時(shí)到達(dá)顧客仍是36人；儲(chǔ)蓄所的服務(wù)時(shí)間仍服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時(shí)仍能處理48位顧客的業(yè)務(wù)，其排隊(duì)規(guī)則為只排一個(gè)隊(duì)，先到先服務(wù)。試求這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 解 C = 2， 平均到達(dá)率 = 36/60 = 0.6

12、， 平均服務(wù)率 = 48/60 = 0.8。 P0 =0.4545, Lq = 0.1227 (個(gè)顧客), Ls = Lq + / = 0.8727 (個(gè)顧客), Wq = Lq / = 0.2045（分鐘）, Ws = Wq+ 1/ = 1.4545 （分鐘）, Pw = 0.2045, P1 = 0.3409, P2 = 0.1278, P3 = 0.0479, P4 = 0.0180, P5 = 0.0067。 系統(tǒng)里有6個(gè)人的概率或多于6個(gè)人的概率為0.0040。,3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,15,在儲(chǔ)蓄所里使用M / M / 2模型與使用兩個(gè)M / M / 1模型，

13、它們的服務(wù)臺(tái)數(shù)都是2，服務(wù)率和顧客到達(dá)率都一樣，只是在M / M / 2中只排一隊(duì)，在2個(gè)M / M / 1中排兩個(gè)隊(duì)，結(jié)果卻不一 樣。 M / M / 2使得服務(wù)水平有了很大的提高，每個(gè)顧客的平均排隊(duì)時(shí)間從0.75分鐘減少到0.2045分鐘，每個(gè)顧客在系統(tǒng)里逗留時(shí)間從2分鐘減少到1.4545分鐘，平均排隊(duì)的人數(shù)也從0.2250人減少到0.1227人，系統(tǒng)里平均顧客數(shù)也從0.6*2=1.2人減少到0.8727人。如果把M / M / 2與原先一個(gè)M / M / 1比較，那么服務(wù)水平之間的差別就更大了。 當(dāng)然在多服務(wù)臺(tái)的M/M/C模型中，計(jì)算求得這些數(shù)量指標(biāo)是很繁瑣的。管理運(yùn)籌學(xué)軟件有排隊(duì)論的程

14、序，可以由它來(lái)計(jì)算。 我們?cè)诘诙?jié)與第三節(jié)發(fā)現(xiàn)公式有三個(gè)公式是完全相同的，實(shí)際上這三個(gè)公式表示了任一個(gè)排隊(duì)模型（不僅僅是M/M/1或M/M/2）中，Ls,Lq,Ws,Wq之間的關(guān)系，也就是說(shuō)：,3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,16,3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,對(duì)任一個(gè)排隊(duì)模型成立，這里L(fēng)s,Lq,Ws,的定義如上所述，而 應(yīng)為實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)平均到達(dá)率，對(duì)于排隊(duì)長(zhǎng)度有限制的模型，我們?cè)O(shè)因排隊(duì)長(zhǎng)度的限制顧客被拒絕的概率為PN，則實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)平均到達(dá)率應(yīng)為 這時(shí)，原來(lái)公式中的 應(yīng)改為 。,17,我們把一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的單位時(shí)間的總費(fèi)用TC定義為服務(wù)機(jī)構(gòu)的單位時(shí)間的費(fèi)用和顧客

15、在排隊(duì)系統(tǒng)中逗留單位時(shí)間的費(fèi)用之和。即 TC = cw Ls + cs c 其中 cw為一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中逗留單位時(shí)間付出的費(fèi)用；Ls為在排隊(duì)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)；cs為每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間的費(fèi)用；c為服務(wù)臺(tái)的數(shù)目。 例 在前兩例中，設(shè)儲(chǔ)蓄所的每個(gè)服務(wù)臺(tái)的費(fèi)用cs=18，顧客在儲(chǔ)蓄所中逗留一小時(shí)的成本cw =10。這樣，對(duì)儲(chǔ)蓄所M / M / 1 模型可知 Ls =3， c=1，得 TC = cw Ls + cs c=48 元/每小時(shí)。 對(duì)儲(chǔ)蓄所 M / M / 2 模型可知 Ls =0.8727， c=2，得 TC = cw Ls + cs c=44.73 元/每小時(shí)。,4排隊(duì)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)分析,

16、18,M / G / 1 / / 單位時(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) ，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ， 一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間 1 / ，服務(wù)時(shí)間的均方差。 數(shù)量指標(biāo)公式: 1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 P0=1 / 2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + / 4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時(shí)間 Wq = Lq / 5. 在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/ 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 Pw = / 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 Pn,5單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,19,例1 某雜貨店只有一名售貨員，已知顧客的到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，平均到達(dá)率為

17、每小時(shí)20人；不清楚這個(gè)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間服從什么分布，但從統(tǒng)計(jì)分析知道售貨員平均服務(wù)一名顧客的時(shí)間為2分鐘，服務(wù)時(shí)間的均方差為1.5分鐘。試求這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 解：這是一個(gè) M / G / 1 的排隊(duì)系統(tǒng)，其中 = 20/60 = 0.3333 人/分鐘，1/ = 2分鐘， = =0.5 人/分鐘， =1.5。 P0 =1 / = 0.33334, Lq =1.0412 (人), Ls = Lq + / = 1. 7078 (人), Wq = Lq / = 2.25/0.6 = 3.1241（分鐘）, Ws = Wq+ 1/ =5.1241（分鐘）, Pw = / = 0.6666。,5

18、單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,20,6單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、定長(zhǎng)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,M / D / 1 / / 注：它是 M / G / 1 / / 的特殊情況 = 0。 1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 P0=1 / 2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + / 4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時(shí)間 Wq = Lq / 5. 在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/ 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 Pw = / 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 Pn,21,例2 某汽車沖洗服務(wù)營(yíng)業(yè)部，有一套自動(dòng)沖洗設(shè)備，沖洗每輛車需要6分鐘，到此營(yíng)業(yè)部來(lái)沖洗的汽車

19、到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，每小時(shí)平均到達(dá)6輛，試求這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 解：這是一個(gè) M / D / 1 排隊(duì)模型，其中 = 6輛/小時(shí)， = 60/6 =10輛/小時(shí)，得 P0 =1 / = 0.4, Lq =0.45, Ls = Lq + / = 1.05, Wq = Lq / = 0.0750， Ws = Wq+ 1/ =0.1750, Pw = / = 0.6。,6單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、定長(zhǎng)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型,22,M / G / C / C / 注：不存在平均排隊(duì)的顧客數(shù) Lq 和顧客平均的排隊(duì)等待時(shí)間 Wq。數(shù)量指標(biāo)公式: 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = / (1 Pc ) 其中Pc 是

20、系統(tǒng)中恰好有 c 個(gè)顧客的概率，也就是系統(tǒng)里c 個(gè)服務(wù)臺(tái)都被顧客占滿的概率。 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率,7多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意的服務(wù)時(shí)間、損失制排隊(duì)模型,23,例3. 某電視商場(chǎng)專營(yíng)店開展了電話訂貨業(yè)務(wù)，到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，平均到達(dá)率為每小時(shí)16個(gè)，而一個(gè)接話員處理訂貨事宜的時(shí)間是隨著訂貨的產(chǎn)品、規(guī)格、數(shù)量及顧客的不同而變化的，但平均每個(gè)人每小時(shí)可以處理8個(gè)訂貨電話，在此電視商場(chǎng)專營(yíng)店里安裝了一臺(tái)電話自動(dòng)交換臺(tái)，它接到電話后可以接到任一個(gè)空閑的接話員的電話上，試問(wèn)該公司應(yīng)安裝多少臺(tái)接話員的電話，使得訂貨電話因電話占線而損失的概率不超過(guò)10%。 解：這是一個(gè) M / G / C / C

21、 / 模型。當(dāng)c=3時(shí)，即正好有3位顧客的情況，,7多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意的服務(wù)時(shí)間、損失制排隊(duì)模型,24,0.21050.1,所以不符合要求。 當(dāng)c=4時(shí)， 因此，設(shè)置四個(gè)電話很合適。,7多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意的服務(wù)時(shí)間、損失制排隊(duì)模型,25,M / M / 1 / / m 條件：?jiǎn)挝粫r(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) 單位平均服務(wù)顧客數(shù) 關(guān)心的項(xiàng)目: 1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 P0 2. 系統(tǒng)中平均排隊(duì)的顧客數(shù) Lq 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls 4. 系統(tǒng)中顧客平均的排隊(duì)等待時(shí)間 Wq 5. 系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間 Ws 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 Pw 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率

22、 Pn,8顧客來(lái)源有限制的排隊(duì)模型,26,M /M / 1 / /m 數(shù)量指標(biāo)公式: 1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + (1-p0) 4. 顧客在排隊(duì)上的平均花費(fèi)等待時(shí)間 Wq = Lq /（m-Ls) 5. 在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/ 6. 系統(tǒng)中有 n 個(gè)顧客的概率, n=0,1,2,m,8顧客來(lái)源有限制的排隊(duì)模型,27,例4. 某車間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間為15分鐘，有一個(gè)修理工，每次修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘，求該排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)P0,Lq,L

23、s,Wq,Ws,以及P5。 解：這是一個(gè)M/M/1/ /5系統(tǒng)。其中，m=5, =1/15, =1/12,/ =0.8。 Lq=2.766 ; Ls=3.759 Wq=33.43 ; Ws=45.43 P5=0.2870,=0.0073,8顧客來(lái)源有限制的排隊(duì)模型,28,9單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有 限制的排隊(duì)模型,這種模型我們記為M/M/1/K/，這個(gè)記法中的第四位字母K表示這個(gè)系統(tǒng)的最大容量為N，因?yàn)檫@是一個(gè)單服務(wù)臺(tái)的情況，所以排隊(duì)的顧客服務(wù)最多為K-1，在某時(shí)刻一顧客到達(dá)時(shí)，如系統(tǒng)中已有N個(gè)顧客，那么這個(gè)顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)。 這個(gè)模型可簡(jiǎn)寫為M/M/1/K。 由于所考

24、慮的排隊(duì)子系統(tǒng)中最多只能容納K個(gè)顧客（等待位置只有K-1個(gè)），因而有:,令 ， 有：,1.系統(tǒng)里沒(méi)有顧客的概率,2.在系統(tǒng)里的平均顧客數(shù),3. 平均的排隊(duì)顧客數(shù),29,9單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有 限制的排隊(duì)模型,4.有效顧客到達(dá)率,5.一位顧客花在排隊(duì)上的平均時(shí)間,6.一位顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間,7.在系統(tǒng)里正好有n個(gè)顧客的概率,30,9單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有 限制的排隊(duì)模型,例5 某理發(fā)店只有一個(gè)理發(fā)師，且店里最多可容納4名顧客，設(shè)顧客按泊松流到達(dá)，平均每小時(shí)5人，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每15分鐘可為1名顧客理發(fā)，試求該系統(tǒng)的有關(guān)指標(biāo)。 解

25、：該系統(tǒng)可以看成一個(gè)M/M/1/4排隊(duì)系統(tǒng)，其中,31,9單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有 限制的排隊(duì)模型,系統(tǒng)里平均顧客數(shù),=,平均的排隊(duì)顧客數(shù),平均逗留時(shí)間,平均排隊(duì)時(shí)間,32,10多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有限制的排隊(duì)模型,這種排隊(duì)模型我們記為M/M/C/K/，這與第九節(jié)單服務(wù)臺(tái)模型的 區(qū)別，就在于服務(wù)臺(tái)的數(shù)量為C，我們可以把這個(gè)模型簡(jiǎn)記為M/M/C/K。 在此系統(tǒng)中到達(dá)率與服務(wù)率分別為:,1.系統(tǒng)里沒(méi)有顧客的概率 2.系統(tǒng)里正好有n個(gè)顧客的概率,33,10多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有限制的排隊(duì)模型,3.平均排隊(duì)顧客數(shù),4.系統(tǒng)里的平均排隊(duì)顧客數(shù),5.有效到達(dá)率,6.顧客花在排隊(duì)上的平均時(shí)間,7.顧客在系統(tǒng)里的平均逗留時(shí)間,特別地，當(dāng)k=c時(shí)即為第七節(jié)的M/M/C/C/的模型。,34,10多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有限制的排隊(duì)模型,例6 某公司維修服務(wù)中心有兩名維修工，中心內(nèi)至多可以停放6臺(tái)機(jī) 器（包括正在維修的兩臺(tái)機(jī)器）。假設(shè)待修機(jī)器按泊松分布過(guò)程到達(dá)此中 心。平均每小時(shí)3臺(tái)。維修每臺(tái)機(jī)器平均需要20分鐘，試求該系統(tǒng)的各項(xiàng) 性能指數(shù)。 解：該子系統(tǒng)可看成一個(gè)M/M/2/