銳角三角函數(shù)培優(yōu)題型分類(答案版)

1、銳角三角函數(shù)培優(yōu)-題型分類【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；銳角三角函數(shù)的定義菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有1（2009牡丹江二模）直線y=kx4與y軸相交所成銳角的正切值為，則k的值為（）ab2c2d【分析】首先確定直線y=kx4與y軸和x軸的交點(diǎn)，然后利用直線y=kx4與y軸相交所成銳角的正切值為這一條件求出k的值【解答】解：由直線的解析式可知直線與y軸的交點(diǎn)為（0，4），即直線y=kx4與y軸相交所成銳角的鄰邊為|4|=4，與x軸的交點(diǎn)為y=0時(shí)，x=，直線y=kx4與y軸相交所成銳角的正切值為，即|=4，k=2故選c【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；三角形中位線定理2（1998臺(tái)州）如圖，延長(zhǎng)rtabc斜

2、邊ab到d點(diǎn)，使bd=ab，連接cd，若cotbcd=3，則tana=（）ab1cd【分析】若想利用cotbcd的值，應(yīng)把bcd放在直角三角形中，也就得到了rtabc的中位線，可分別得到所求的角的正切值相關(guān)的線段的比【解答】解：過b作beac交cd于eab=bd，e是cd中點(diǎn)，ac=2be，acbc，bebc，cbe=90beac又cotbcd=3，設(shè)be=x，則bc=3x，ac=2x，tana=，故選a【考點(diǎn)3】銳角三角函數(shù)的定義3將一副直角三角板中的兩塊按如圖擺放，連接ac，則tandac的值為（）abcd【分析】欲求dac的正切值，需將此角構(gòu)造到一個(gè)直角三角形中過c作cead于e，設(shè)cd

3、=bd=1，然后分別表示出ad、ce、de的值，進(jìn)而可在rtace中，求得dac的正切值【解答】解：如圖，過c作cead于ebdc=90，dbc=dcb=45，bd=dc，設(shè)cd=bd=1，在rtabd中，bad=30，則ad=2在rtedc中，cde=bad=30，cd=1，則ce=，de=tandac=故選c【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有4（2007連云港）如圖是一山谷的橫斷面示意圖，寬aa為15m，用曲尺（兩直尺相交成直角）從山谷兩側(cè)測(cè)量出oa=1m，ob=3m，oa=0.5m，ob=3m（點(diǎn)a，o，oa在同一條水平線上），則該山谷的深h為30m【分析】過谷底構(gòu)造相

4、應(yīng)的直角三角形，利用坡比定義表示山谷寬求解【解答】解：設(shè)a、a到谷底的水平距離為ac=m，ac=nm+n=15根據(jù)題意知，obcdoboa=1，ob=3，oa=0.5，ob=3=3，=6（+）h=15解得h=30（m）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有5（2007婁底）去年夏季山洪暴發(fā)，幾所學(xué)校被山體滑坡推倒教學(xué)樓，為防止滑坡，經(jīng)過地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過45時(shí)，可以確保山體不滑坡某小學(xué)緊挨一座山坡，如圖所示，已知afbc，斜坡ab長(zhǎng)30米，坡角abc=60改造后斜坡be與地面成45角，求ae至少是多少米？（精確到0.1米）【分析】連接be，過e作enbc于n，則四邊形ae

5、nd是矩形，有ne=ad，ae=dn，在rtadb和rtben中都已知一邊和一個(gè)銳角，滿足解直角三角形的條件，可求出ad和bd、ae的長(zhǎng)【解答】解：在rtadb中，ab=30米abc=60ad=absinabc=30sin60=1525.9826.0（米），db=abcosabc=30cos60=15米連接be，過e作enbc于naebc四邊形aend是矩形ne=ad26米在rtenb中，由已知ebn45，當(dāng)ebn=45時(shí)，bn=en=26.0米ae=dn=bnbd=26.015=11米答：ae至少是11.0米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有6（2010新密市自主招生）某廠

6、家新開發(fā)的一種摩托車如圖所示，它的大燈a射出的光線ab、ac與地面mn的夾角分別為8和10，大燈a離地面距離1m（1）該車大燈照亮地面的寬度bc約是多少（不考慮其它因素）？（2）一般正常人從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到做出剎車動(dòng)作的反應(yīng)時(shí)間是0.2s，從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到摩托車完全停下所行駛的距離叫做最小安全距離，某人以60km/h的速度駕駛該車，從60km/h到摩托車停止的剎車距離是m，請(qǐng)判斷該車大燈的設(shè)計(jì)是否能滿足最小安全距離的要求，請(qǐng)說明理由（參考數(shù)據(jù)：，）【分析】（1）本題可通過構(gòu)造直角三角形來解答，過a作admn于d，就有了abn、acn的度數(shù)，又已知了ae的長(zhǎng)，可在直角三角形abe、ace中分別求出be、c

7、e的長(zhǎng)，bc就能求出了（2）本題可先計(jì)算出最小安全距離是多少，然后于大燈的照明范圍進(jìn)行比較，然后得出是否合格的結(jié)論【解答】解：（1）過a作admn于點(diǎn)d，在rtacd中，tanacd=，cd=5.6（m），在rtabd中，tanabd=，bd=7（m），bc=75.6=1.4（m）答：該車大燈照亮地面的寬度bc是1.4m；（2）該車大燈的設(shè)計(jì)不能滿足最小安全距離的要求理由如下：以60 km/h的速度駕駛，速度還可以化為：m/s，最小安全距離為：0.2+=8（m），大燈能照到的最遠(yuǎn)距離是bd=7m，該車大燈的設(shè)計(jì)不能滿足最小安全距離的要求【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有7（2

8、010赤峰）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin（+）=sincos+cossincos（+）=coscossinsintan（+）=利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如：tan105=tan（45+60）=（2+）根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問題：如圖，直升飛機(jī)在一建筑物cd上方a點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端d點(diǎn)的俯角=60，底端c點(diǎn)的俯角=75，此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物cd的水平距離bc為42m，求建筑物cd的高【分析】先由俯角的正切值及bc求得ab，再由俯角的正切值及bc求得a、d兩點(diǎn)垂直距離cd的長(zhǎng)由二者相減即可求得【解答】解：由于=60，=75

9、，bc=42，則ab=bctan=42tan75=42=42=42（），a、d垂直距離為bctan=42，cd=ab42=84（米）答：建筑物cd的高為84米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有8（2010巴中）巴中市某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在開展“保護(hù)環(huán)境，愛護(hù)樹木”的活動(dòng)中，利用課外時(shí)間測(cè)量一棵古樹的高，由于樹的周圍有水池，同學(xué)們?cè)诘陀跇浠?.3米的一平壩內(nèi)（如圖），測(cè)得樹頂a的仰角acb=60，沿直線bc后退6米到點(diǎn)d，又測(cè)得樹頂a的仰角adb=45，若測(cè)角儀de高1.3米，求這棵樹的高am（結(jié)果保留兩位小數(shù)，1.732）【分析】可在rtabd和rtabc中，利用已知角的三角函

10、數(shù)，用ab表示出bd、bc，根據(jù)cd=bdbc=6即可求出ab的長(zhǎng)；已知hm、de的長(zhǎng)，易求得bm的值，由am=abbm即可求出樹的高度【解答】解：設(shè)ab=x米rtabd中，adb=45，bd=ab=x米rtacb中，acb=60，bc=abtan60=x米cd=bdbc=（1）x=6，解得x=9+3，即ab=（9+3）米bm=hmde=3.31.3=2，am=abbm=7+312.20（米）答：這棵樹高12.20米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有9（2015甘南州）如圖，從熱氣球c上測(cè)得兩建筑物a、b底部的俯角分別為30和60度如果這時(shí)氣球的高度cd為90米且點(diǎn)a、d、b

11、在同一直線上，求建筑物a、b間的距離【專題】計(jì)算題；壓軸題【分析】在圖中兩個(gè)直角三角形中，都是知道已知角和對(duì)邊，根據(jù)正切函數(shù)求出鄰邊后，相加求和即可【解答】解：由已知，得eca=30，fcb=60，cd=90，efab，cdab于點(diǎn)da=eca=30，b=fcb=60在rtacd中，cda=90，tana=，ad=90=90在rtbcd中，cdb=90，tanb=，db=30ab=ad+bd=90+30=120答：建筑物a、b間的距離為120米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用方向角問題10（2007徐州）如圖，一艘船以每小時(shí)30海里的速度向東北方向航行，在a處觀測(cè)燈塔s在船的北偏東75的方向，航行1

12、2分鐘后到達(dá)b處，這時(shí)燈塔s恰好在船的正東方向已知距離此燈塔8海里以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿東北方向航行嗎？為什么？（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）【分析】問這艘船能否可以繼續(xù)沿東北方向航行，只要證明d與s的距離要大于8海里，可以做與正北方向平行的直線，與sb的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)c則abc，acs都是直角三角形，可以運(yùn)用勾股定理來計(jì)算【解答】解：作與正北方向平行的直線，與sb的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)c，過點(diǎn)s作sdab于dab=30=6（海里），cab=45，acb=90，ac=bc=absin45=6=3（海里），cas=75，acs=90，sc=actan75=3（2+）=6+3（海里

13、），bs=3+3（海里），dbs=abc=45，sd=bssin45=（3+3）=3+38.28，這艘船可以繼續(xù)沿東北方向航行【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形的面積；解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有11（2010蘭州）已知平行四邊形abcd中，對(duì)角線ac和bd相交于點(diǎn)o，ac=10，bd=8（1）若acbd，試求四邊形abcd的面積；（2）若ac與bd的夾角aod=60，求四邊形abcd的面積；（3）試討論：若把題目中“平行四邊形abcd”改為“四邊形abcd”，且aod=，ac=a，bd=b，試求四邊形abcd的面積（用含，a，b的代數(shù)式表示）【分析】（1）因?yàn)閍cbd，所以四邊形abcd的面積等

14、于對(duì)角線乘積的一半；（2）過點(diǎn)a分別作aebd，cfbd，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分和正弦定理求出aod的面積，那么四邊形abcd的面積=4aod的面積；（3）作輔助線aebd，cfbd，利用正弦定理求出bcd、abd的高，那么四邊形abcd的面積=bcd的面積+abd的面積【解答】解：（1）acbd，四邊形abcd的面積=acbd=40（2）分別過點(diǎn)a，c作aebd，cfbd，垂足分別為e，f 四邊形abcd為平行四邊形，ao=co=ac=5，bo=do=bd=4在rtaoe中，sinaoe=，ae=aosinaoe=aosin60=5= saod=odae=45=5 四邊形abcd的面積

15、s=4saod=20 （3）如圖所示，過點(diǎn)a，c分別作aebd，cfbd，垂足分別為e，f 在rtaoe中，sinaoe=，ae=aosinaoe=aosin同理可得cf=cosincof=cosin 四邊形abcd的面積s=sabd+scbd=bdae+bdcf=bdsin（ao+co）=bdacsin=absin平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形12（2006濰坊）已知平行四邊形abcd，ad=a，ab=b，abc=點(diǎn)f為線段bc上一點(diǎn)（端點(diǎn)b，c除外），連接af，ac，連接df，并延長(zhǎng)df交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，連接ce（1）當(dāng)f為bc的中點(diǎn)時(shí)，求證：efc與abf的面

16、積相等；（2）當(dāng)f為bc上任意一點(diǎn)時(shí)，efc與abf的面積還相等嗎？說明理由【分析】（1）sefc=fc高h(yuǎn)，sabf=bf高h(yuǎn)，而efc與abf的面積相等且當(dāng)f為bc的中點(diǎn)，所以必須證明h=h，而h=absin，h=ebsin，所以證明方向轉(zhuǎn)化為求證eb=ab，而eb=cd，可利用證ebfdcf來解答，因此便可求證所求；（2）由于abc和cde為等底等高三角形，所以sabc=scde，又因?yàn)閍cf和cdf同底等高，所以safc=scdfsabcsafc=scdescdf，即sabf=sefc【解答】（1）證明：點(diǎn)f為bc的中點(diǎn)，bf=cf=bc=，又bfad，be=ab=b，a，e兩點(diǎn)到bc

17、的距離相等，都為bsin，（3分）則sabf=bsin=absin，sefc=bsin=absin，sabf=sefc；（5分）（2）解：法一：當(dāng)f為bc上任意一點(diǎn)時(shí)，設(shè)bf=x，則fc=ax，四邊形abcd是平行四邊形，（7分）在efc中，fc邊上的高h(yuǎn)1=besin，（9分）又在abf中，bf邊上的高h(yuǎn)2=bsin，sabf=bxsin，sabf=sefc；（11分）法二：abcd為平行四邊形，sabc=scde=absin，又safc=scdf，sabcsafc=scdescdf，即sabf=sefc（11分）菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形菁13（2009龍

18、巖）在邊長(zhǎng)為6的菱形abcd中，動(dòng)點(diǎn)m從點(diǎn)a出發(fā)，沿abc向終點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)，連接dm交ac于點(diǎn)n（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)m在ab邊上時(shí)，連接bn：求證：abnadn；若abc=60，am=4，abn=，求點(diǎn)m到ad的距離及tan的值（2）如圖2，若abc=90，記點(diǎn)m運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為x（6x12）試問：x為何值時(shí)，adn為等腰三角形【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型【分析】（1）abn和adn中，不難得出ab=ad，dac=cab，an是公共邊，根據(jù)sas即可判定兩三角形全等通過構(gòu)建直角三角形來求解作mhda交da的延長(zhǎng)線于點(diǎn)h由可

19、得mda=abn，那么m到ad的距離和就轉(zhuǎn)化到直角三角形mdh和mah中，然后根據(jù)已知條件進(jìn)行求解即可（2）本題要分三種情況即：nd=na，dn=da，an=ad進(jìn)行討論【解答】解：（1）證明：四邊形abcd是菱形，ab=ad，1=2又an=an，abnadn（sas）作mhda交da的延長(zhǎng)線于點(diǎn)h由adbc，得mah=abc=60在rtamh中，mh=amsin60=4sin60=2點(diǎn)m到ad的距離為2ah=2dh=6+2=8在rtdmh中，tanmdh=，由知，mdh=abn=，tan=；（2）abc=90，菱形abcd是正方形cad=45下面分三種情形：（）若nd=na，則adn=nad

20、=45此時(shí)，點(diǎn)m恰好與點(diǎn)b重合，得x=6；（）若dn=da，則dna=dan=45此時(shí)，點(diǎn)m恰好與點(diǎn)c重合，得x=12；（）若an=ad=6，則1=2adbc，1=4，又2=3，3=4cm=cnac=6cm=cn=acan=66故x=12cm=12（66）=186綜上所述：當(dāng)x=6或12或186時(shí)，adn是等腰三角形等邊三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有14（2009莆田）已知：等邊abc的邊長(zhǎng)為a探究（1）：如圖1，過等邊abc的頂點(diǎn)a、b、c依次作ab、bc、ca的垂線圍成mng，求證：mng是等邊三角形且mn=a；探究（2）：在等邊abc內(nèi)取一點(diǎn)o，過點(diǎn)o分別作odab、oebc、ofca，垂足分別為點(diǎn)d、e、f如圖2，若點(diǎn)o是abc的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個(gè)正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1 od+oe+of=a；結(jié)論2 ad+be+cf=a；如圖3，若點(diǎn)o是等邊abc內(nèi)任意一點(diǎn)，則上述結(jié)論1，2是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由【分析】（1）本題中abc為等邊三角形，ab=bc=a，abc=60，求出n，g的值，在直角amb、cnb中，可以先用a表示出mb，nb然后再表示