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高等數學競賽模擬試題（三）參考答案 一.填空題（每小題4分，共40分）1當，時，函數當時關于的無窮小階數最高。2設，則。3設是由方程組確定的隱函數，則。4設為的原函數，且，若當時，則=。5設是參數，則。6設，則 。7設，則=。8。9設，則=。10圓的圓心坐標為，半徑為。二、（每小題6分，共24分）1計算解：，2設為正常數，證明 證：令，即，3試比較積分與的大小，并證明你得出的結論。解：對后一個積分作代換：，于是，得4設函數有連續(xù)的二階偏導數，且，求與。解：，聯(lián)立得。三、（7分）設函數在上二階可導，求證存在使得。證：設，則，在上可導，使，在上可導，使四、（7分）判斷級數的斂散性，其中。解：，即，當時，級數發(fā)散；當時，級數收斂。故當時，原級數發(fā)散；當時，原級數收斂。五、（8分）一點先向正東移動米，然后左拐彎移動米（其中,如此不斷重復左拐彎，使得后一段移動的距離為前一段的倍，這樣該點有一極限位置，試問該極限位置與原出發(fā)點相距多少米？解：建立坐標系，原點為起始點，軸正向單位向量為，軸正向單位向量為，則質點所在位置向量為六、（7分）設在上具有連續(xù)導數，證明 證：則 ，結論成立。七（7分）設函數在區(qū)間上具有二階

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