二次型理論起源于解析幾何中的化二次曲線和二次曲面方

1、第八章 二次型二次型理論起源于解析幾何中的化二次曲線和二次曲面方程為標準形的問題，這一理論在數(shù)理統(tǒng)計、物理、力學及現(xiàn)代控制理論等諸多領(lǐng)域都有很重要的應(yīng)用. 本章主要介紹二次型的基本概念,討論化二次型為標準形及正定二次型的判定等問題.8.1 二次型及其矩陣表示在解析幾何中,我們曾經(jīng)學過二次曲線及二次曲面的分類,以平面二次曲線為例,一條二次曲線可以由一個二元二次方程給出： (1.1)要區(qū)分(1.1)式是哪一種曲線(橢圓、雙曲線、拋物線或其退化形式),我們通常分兩步來做:首先將坐標軸旋轉(zhuǎn)一個角度以消去項, 再作坐標的平移以消去一次項. 這里的關(guān)鍵是消去項,通常的坐標變換公式為: (1.2)從線性空間

2、與線性變換的角度看,(1.2)式表示平面上的一個線性變換.因此二次曲線分類的關(guān)鍵是給出一個線性變換,使(1.1)式中的二次項只含有平方項.這種情形也在空間二次曲面的分類時出現(xiàn),類似的問題在數(shù)學的其它分支、物理、力學中也會遇到. 為了討論問題的方便,只考慮二次齊次多項式.定義8.1.1 設(shè)是數(shù)域上的元二次齊次多項式: (1.3)稱為數(shù)域上的元二次型,簡稱二次型. 如果數(shù)域為實數(shù)域,則稱為實二次型; 如果數(shù)域為復(fù)數(shù)域,則稱為復(fù)二次型; 如果二次型中只含有平方項,即稱為標準形式的二次型,簡稱為標準形.說明: 在這個定義中,非平方項系數(shù)用主要是為了以后矩陣表示的方便.例8.1.2 下列多項式都是二次型

3、:下列多項式都不是二次型:定義8.1.3 設(shè)是兩組文字,系數(shù)在數(shù)域中的一組關(guān)系式 (1.4)稱為由到的一個線性替換,或簡稱線性替換. 如果系數(shù)行列式,那么線性替換(1.4)就稱為非退化的.在研究二次型時,矩陣是一個有力工具,因此我們先把二次型用矩陣來表示.令 , 則有 , 于是(1.3)式可以改寫為記 則二次型可記為 , (1.5)其中是對稱矩陣. 稱(1.5)式為二次型的矩陣形式.例8.1.4 二次型 的矩陣形式為說明: 任給一個二次型就唯一地確定一個對稱矩陣. 反之,任給一個對稱矩陣可唯一地確定一個二次型. 因此, 二次型與對稱矩陣之間有著一一對應(yīng)的關(guān)系. 把對稱矩陣稱為二次型的矩陣,也把

4、稱為對稱矩陣的二次型. 稱對稱矩陣的秩為二次型的秩.例8.1.5 給定對稱矩陣則其對應(yīng)的二次型為: 對于二次型,作線性替換,其中則 令 , 則有,即是對稱矩陣.這樣, 對稱矩陣同樣定義了一個二次型. 于是, 線性替換將二次型化為二次型.定義8.1.6 設(shè)是數(shù)域上的階方陣,如果有數(shù)域上的階可逆矩陣,使得則稱矩陣與合同, 記作.合同是矩陣之間的一個關(guān)系.易知,合同關(guān)系具有:(1) 反身性: 即與合同，因為;(2) 對稱性: 即若與合同，則與合同，因為由,即得;(3) 傳遞性: 即若與合同，與合同，則與合同，由和,即得.說明: 經(jīng)過非退化的線性替換,新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的. 這樣,

5、我們就把二次型的變換通過矩陣表示出來,為以后的討論提供了有力的工具.另外， 在二次型變換時,我們總是要求所作的線性替換是非退化的, 因為這樣我們可以把所得的二次型還原.定理8.1.7 若與合同,則.證明: 因為與合同,所以存在階可逆矩陣,使得由于可逆矩陣乘以矩陣兩邊不改變矩陣的秩,故.說明: 這個定理給我們化二次型為標準形提供了保證. 這樣,若是對角矩陣,則非退化的線性替換就把二次型化為了標準形. 因此, 把二次型化為標準形的問題其實質(zhì)是: 對于對稱矩陣,尋找可逆矩陣,使得為對角矩陣.8.2 化二次型為標準形現(xiàn)在來討論用非退化的線性替換化簡二次型的問題. 1 配方法定理8.2.1 數(shù)域上任意一

6、個二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換化為標準形,即只含有平方項.證明: 對變量的個數(shù)作數(shù)學歸納法.對于,二次型就是, 顯然已經(jīng)是平方項了. 現(xiàn)假定對元的二次型,定理的結(jié)論成立.再設(shè) 分三種情形來討論:(1) 中至少有一個不為零,例如,這時這里 是一個關(guān)于的二次型.令即這是一個非退化線性替換,它使由歸納法假定,對有非退化的線性替換能使它變成平方和于是非退化線性替換就使變成即變成平方和了.根據(jù)歸納法原理,定理得證.(2) 所有都等于零,但是至少有一個,不失普遍性, 設(shè).令它是非退化線性變換,且使這時,上式右端是的二次型,且的系數(shù)不為零,屬于第一種情況,定理成立.(3) ,由對稱性知這時是元的二次型,

7、 根據(jù)歸納法假定,它能用非退化線性替換變成平方和. 證畢.例8.2.2 用配方法化二次型為標準形,并寫出所用的非退化線性替換.解: 由定理的證明過程,令, 即 得: 上式右端除第一項外已不再含, 繼續(xù)配方,令, 即 得: 所有的非退化線性替換為例8.2.3 用配方法化二次型為標準形,并寫出所用的非退化性替換.解: 由定理的證明過程, 令代入原二次型得:這時項不為零,于是令于是, 其中的系數(shù)為零,故沒有寫出.為求非退化線性替換, 我們可將第二個替換代入第一個替換中, 得說明: 在用配方法化二次型為標準形時,必須保證線性替換是非退化的. 有時,我們在配方過程中會遇到看似簡單的方法,但得到的結(jié)果未必

8、正確.如若令則.然而, 所以, 此處所作的線性替換是退化的,于是最后的結(jié)果并不是所求的.2 初等變換法由于二次型與對稱矩陣一一對應(yīng), 所以能用非退化線性替換化標準形的過程也可以用矩陣的方法做到, 由8.1我們知道,矩陣合同可以將矩陣化為對角陣.于是,定理8.2.1可以用矩陣的語言描述出來.定理8.2.4 數(shù)域上任意一個對稱矩陣都合同于一對角矩陣. 即存在可逆矩陣, 使得 (2.1)現(xiàn)在我們就根據(jù)定理8.2.4, 討論用矩陣的初等變換來求定理8.2.4中的可逆矩陣及對角矩陣. 由前面的知識,我們知道,可逆矩陣可以表示為有限個初等矩陣的乘積,即 (2.2)將(2.2)式代入(2.1)式, 得 (2

9、.3)(2.3)式表明,對對稱矩陣施行次初等行變換及相同的次初等列變換, 就變?yōu)榱藢蔷仃? 而(2.2)式表明對單位矩陣施行上述的初等列變換, 就變?yōu)榭赡婢仃? 這種利用矩陣的初等變換求可逆矩陣及對角矩陣,使得與合同的方法稱為初等變換法. 具體做法: 對以階對稱矩陣和階單位矩陣做成的矩陣進行初等變換則.例8.2.5 已知對稱矩陣用初等變換法求可逆矩陣及對角矩陣,使得與合同.解: 所求可逆矩陣及對角矩陣為:且.例8.2.6 已知二次型用初等變換法將其化為標準形,并求非退化的線性替換.解: 二次型對應(yīng)的矩陣為:于是有, 故非退化線性替換為這樣,二次型化為8.3 慣性定理我們知道, 二次型與對稱矩

10、陣一一對應(yīng),并且對稱矩陣可以合同化為對角矩陣. 又因為合同不改變矩陣的秩, 這樣一來, 任意一個對稱矩陣合同的對角矩陣對角線上不為零的元素的個數(shù)是不變的,就是矩陣的秩. 因此, 在一個二次型的標準形中,系數(shù)不為零的項的個數(shù)是唯一確定的, 與所作的非退化的線性替換無關(guān). 至于標準形中的系數(shù), 就不是唯一確定的.比如在例8.2.6中, 我們還可以進一步,令則二次型化為 .這說明, 在一般的數(shù)域內(nèi), 二次型的標準形不是唯一的, 而與所作的非退化的線性替換有關(guān).下面只就實數(shù)域和復(fù)數(shù)域的情形來進一步討論唯一性的問題.設(shè)對稱矩陣的秩為,則由定理8.2.4知, 存在可逆矩陣,使得矩陣合同于對角矩陣, 即即此

11、時原二次型化為 (3.1)在這些不為零的中,假設(shè),這樣(1) 在實數(shù)域內(nèi), 我們令則(3.1)式變?yōu)? 這就是說對稱矩陣合同于下列對角矩陣:其中有個1, 個,個0.(2) 在復(fù)數(shù)域內(nèi), 我們令則(3.1)式變?yōu)? 這就是說對稱矩陣合同于下列對角矩陣:其中有個1.定義8.3.1 在實數(shù)域內(nèi), 稱為實二次型的規(guī)范形; 在復(fù)數(shù)域內(nèi), 稱為復(fù)二次型的規(guī)范形.定理8.3.2 (慣性定理) 設(shè)是一個元實二次型,且可化為兩個規(guī)范形:,則必有 .證明: 用反證法. 設(shè), 由前面知識知, (3.2)又設(shè) 其中 于是, .令則 因為,齊次線性方程組必有非零解(個未知數(shù),個方程式). 令其中一個非零解為:把這組解代

12、入(3.2)式中的上式, 得到:但這時,故(3.2)式中的下式為這樣就得出了矛盾.同理可證 也不可能.于是 .證畢.說明: 這個定理表明了實二次型的規(guī)范形是唯一的.定義8.3.3 在實二次型的規(guī)范形中, 則稱是該二次型的秩,是它的正慣性指數(shù),是負慣性指數(shù), 稱為的符號差.推論8.3.4 兩個實二次型合同當且僅當它們有相同的秩和正慣性指數(shù).定理8.3.5 設(shè)是一個元復(fù)二次型,則經(jīng)過適當?shù)姆峭嘶€性替換可以化為規(guī)范形,且規(guī)范形是唯一的.推論8.3.6兩個復(fù)二次型合同當且僅當它們有相同的秩.8.4 正定二次型在實二次型中,正定二次型占有特殊的地位. 所以本節(jié)主要介紹實二次型,并討論它們的正定性.定義

13、8.4.1 設(shè)是一個元實二次型, 如果對任意維列向量都有:(1) ,則稱為正定二次型,并稱實對稱矩陣為正定矩陣;(2) ,則稱為負定二次型,并稱實對稱矩陣為負定矩陣;(3) ,則稱為半正定二次型,并稱實對稱矩陣為半正定矩陣;(4) ,則稱為半負定二次型,并稱實對稱矩陣為半負定矩陣;(5) 既不滿足(3) ,又不滿足(4) ,則稱為不定二次型,并稱實對稱矩陣為不定矩陣.例8.4.2 已知和都是階正定矩陣,證明也是正定矩陣.證明: 因為和都是階正定矩陣,所以,于是即也是對稱矩陣.又任意,有從而 即是正定二次型,故是正定矩陣.定理8.4.3 元實二次型正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于.證明:

14、設(shè)元實二次型經(jīng)過非退化線性替換化為標準形充分性. 已知,對于任意有,故必要性. 用反證法.假設(shè)有某個,當取時,有,此時這與已知為正定二次型矛盾.故. 證畢.推論8.4.4 實對稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是的特征值全為正數(shù).推論8.4.5 實對稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是合同于單位矩陣.推論8.4.6 實對稱矩陣為正定矩陣的必要條件是.證明: 因為為正定矩陣,由推論8.4.5, 合同于單位矩陣,所以有可逆矩陣使兩邊取行列式,有說明: 從定義可以看出,如果我們根據(jù)定義來判斷二次型的正定性是比較麻煩的.所以我們下面給出一個方便判斷的結(jié)論.定義8.4.7 子式稱為矩陣的順序主子式.定理8.4.

15、8 元實二次型正定的充分必要條件是矩陣的順序主子式全大于零.證明: 必要性. 已知二次型是正定的.令則對任意的列向量,有從而是元正定二次型.由上面的推論8.4.6知,充分性. 已知.對階數(shù)作數(shù)學歸納法. 當時,由知是正定的. 假設(shè)論斷對元二次型成立. 以下來證元二次型的情形.注意到,將關(guān)于配方,得其中 由知.如果能證明元實二次型是正定的, 則由定義知也是正定的. 根據(jù)行列式性質(zhì),得從而由歸納假設(shè)知元實二次型是正定的. 證畢.例8.4.9 判斷下列二次型的正定性.解: 二次型的矩陣為因為 .所以是正定的.例8.4.10 試求的取值范圍,使下列二次型為正定二次型.;解: 二次型對應(yīng)的矩陣為矩陣的順

16、序主子式為為了使正定,必須有: 即有 解得 .最后,我們注意到正、負定二次型的關(guān)系,于是有下面的結(jié)論.定理8.4.11 元實二次型負定的充分必要條件是下列條件之一成立.(1) 的負慣性指數(shù)為;(2) 的特征值全為負數(shù);(3) 合同于;(4) 的各階順序主子式負正相間,即奇數(shù)階順序主子式為負數(shù),偶數(shù)階順序主子式為正數(shù).定理8.4.12 元實二次型半正定的充分必要條件是下列條件之一成立.(1) 的正慣性指數(shù)與秩相等;(2) 的特征值全為非負數(shù);(3) 合同于,其中為矩陣的秩;(4) 存在實矩陣使得;(5) 的各階主子式都非負,其中主子式就是指行指標與列指標相同的子式. 說明: 僅有順序主子式非負是

17、不能保證半正定性的. 如就是一個反例.習題八(A)1. 證明：秩等于的對稱矩陣等于個秩為1的對稱矩陣之和.2. 設(shè)是的一個排列，則下面兩個對角陣 與 合同。3. 若可逆矩陣和合同，求證：和也合同.4. 用配方法把下列二次型化成標準形.（1）；（2）；（3）；（4）5. 用初等變換法把下列二次型化為標準形，并求可逆矩陣.（1）；（2）；(3) ;(4) 6. 設(shè)是一個階矩陣，證明（1）是反對稱矩陣當且僅當對于任一個維向量，有；（2）如果是對稱矩陣，且對任一個維向量有，那么.7. 如果把實階矩陣按照合同分類，即兩個實階矩陣屬于同一類當且僅當它們合同，問共有幾類？8. 證明：一個秩大于1的實二次型可

18、以分解為兩個實系數(shù)的一次多項式之積的充分必要條件是它的秩等于2且符號差等于零.9. 設(shè)階實對稱矩陣是正定的，是階實可逆矩陣，證明：也是正定矩陣.10. 設(shè)是階實對稱矩陣，證明：是正定的當且僅當存在階實可逆矩陣，使得.11. 設(shè)是一個正定矩陣，證明：（1）對于任意正實數(shù)，是正定矩陣；（2）對于任意正整數(shù)，是正定矩陣；（3）是正定矩陣；（4）的伴隨矩陣也是正定矩陣.12. 判別下列二次型是否正定：（1）；（2）；（3）；（4）13. 如下列二次型是正定的，求的取值范圍：（1）；（2）14. 設(shè)是實對稱矩陣，證明：當實數(shù)充分大之后，是正定矩陣.15. 設(shè)是一個階實對稱矩陣，且，證明：必存在實維向量，使.16. 證明：是半正定的.習題八(B)1. 用非退化的線性替換化下列二次型為標準形：（1）；（2）2. 設(shè)實二次型，證明：的秩等于矩陣的秩.3. 設(shè)