高中數(shù)學(xué) 2.1.5 向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 新人教B版必修

1、2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算1.掌握平行向量基本定理并理解兩向量共線的條件及單位向量的含義.(重點(diǎn))2.理解軸上的基向量、向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算公式，并解決軸上的相關(guān)問(wèn)題.(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1平行向量基本定理閱讀教材P90“例1”以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題.1.平行向量基本定理：如果ab，則ab；反之，如果ab，且b0，則一定存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ab.2.單位向量：給定一個(gè)非零向量a，與a同方向且長(zhǎng)度等于1的向量，叫做向量a的單位向量，如果a的單位向量記作a0，由數(shù)乘向量的定義可知：a|a|a0或a0.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若b與a共線，則存在實(shí)數(shù)，使得ba.()

2、(2)任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).()(3)向量a與b不共線，則a與b都是非零向量.()(4)有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行.()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算閱讀教材P91“例2”以下P92“例3”以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題.1.規(guī)定了方向和長(zhǎng)度單位的直線叫做軸.已知軸l，取單位向量e，使e的方向與l同方向.根據(jù)向量平行的條件，對(duì)軸上任意向量a，一定存在唯一實(shí)數(shù)x，使axe.反過(guò)來(lái)，任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x，我們總能作一個(gè)向量axe，使它的長(zhǎng)度等于這個(gè)實(shí)數(shù)x的絕對(duì)值，方向與實(shí)數(shù)的符號(hào)一致.單位向量e叫做軸l的基向量，x叫做a在l上的坐標(biāo)

3、(或數(shù)量).2.x的絕對(duì)值等于a的長(zhǎng)，當(dāng)a與e同方向時(shí)，x是正數(shù)，當(dāng)a與e反方向時(shí)，x是負(fù)數(shù).實(shí)數(shù)與軸上的向量建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.向量相等與兩個(gè)向量的和：設(shè)ax1e，bx2e，于是：如果ab，則x1x2；反之，如果x1x2，則ab；另外，ab(x1x2)e，這就是說(shuō)，軸上兩個(gè)向量相等的條件是它們的坐標(biāo)相等；軸上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量的坐標(biāo)的和.4.向量的坐標(biāo)常用AB表示，則ABe.表示向量，而AB表示數(shù)量，且有ABBA0.5.軸上向量的坐標(biāo)：在數(shù)軸x上，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則ABx2x1，即軸上向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).6.數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式：

4、在數(shù)軸x上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則|AB|x2x1|.數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為1,1,5，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.的坐標(biāo)是2B.3C.的坐標(biāo)是4 D.2【解析】答案C不正確.故選C.【答案】C質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_疑問(wèn)4：_解惑：_小組合作型平行向量基本定理的應(yīng)用如圖2131所示，已知在ABCD中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且3BNBD.求證：M，N，C三點(diǎn)共線.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖2131【精彩點(diǎn)撥】利用向量的運(yùn)算法則將，兩向量分別用，表示出來(lái)，再利用平行向量基本定理判定，

5、共線，從而證明M，N，C三點(diǎn)共線.【自主解答】設(shè)a，b，則ab，ab，a，b，ab，aab，又M為公共點(diǎn)，M、N、C三點(diǎn)共線.平行向量基本定理有兩個(gè)方面的應(yīng)用：(1)一個(gè)向量可以由另一個(gè)向量線性表示，則可以判定兩向量平行，進(jìn)而證明三點(diǎn)共線，三角形相似，兩線段平行以及用來(lái)判斷圖形的形狀等.(2)若兩向量平行，則一個(gè)向量可以由另一個(gè)非零向量線性表示，可以用來(lái)求參數(shù)，它是軸上向量坐標(biāo)化的依據(jù).再練一題1.已知任意兩個(gè)非零向量a，b，作ab，a2b，a3b.試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【解】因?yàn)?a2b)(ab)b，(a3b)(ab)2b，故有2.所以，且有公共點(diǎn)A，所以A，B，C

6、三點(diǎn)共線.用平行向量基本定理證明幾何問(wèn)題已知梯形ABCD中，ABDC，E，F(xiàn) 分別是AD，BC的中點(diǎn)，求證：EF ABDC.圖2132【精彩點(diǎn)撥】解題時(shí)首先結(jié)合圖形與所證問(wèn)題，把幾何條件轉(zhuǎn)化為向量條件，然后利用向量的線性運(yùn)算與平行向量基本定理求證.【自主解答】延長(zhǎng)EF 到M，使EF F M，連接CM，BM，EC，EB，得ECMB，由平形四邊形法則得().由于ABDC，所以，共線且同向，根據(jù)平行向量基本定理，存在正實(shí)數(shù)，使.由三角形法則得，且0，()()()，.由于E，D不共點(diǎn)，EF DCAB.1.用平行向量基本定理證直線平行或三點(diǎn)共線時(shí)，關(guān)鍵是把一個(gè)向量用有關(guān)向量線性表示，同時(shí)有機(jī)地結(jié)合向量的

7、線性運(yùn)算及圖形完成證明.2.用向量法證明幾何問(wèn)題的一般步驟是：首先用向量表示幾何關(guān)系，然后進(jìn)行向量運(yùn)算，得到新的適合題目要求的向量關(guān)系，最后將向量關(guān)系還原為幾何關(guān)系.再練一題2.(2016石家莊高一檢測(cè))已知e，f 為兩個(gè)不共線的向量，若四邊形ABCD滿(mǎn)足e2f ，4ef ，5e3f .(1)將用e，f 表示；(2)證明四邊形ABCD為梯形.【解】(1)根據(jù)向量求和的多邊形法則，有(e2f )(4ef )(5e3f )(145)e(213)f 8e2f .(2)證明：因?yàn)?e2f 2(4ef )2，即2.所以，且的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度的2倍，所以在四邊形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四邊形AB

8、CD為梯形.軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算已知數(shù)軸上四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是4，2，c，d.(1)若AC5，求c的值；(2)若|BD|6，求d的值.(3)若3，求證：34.【精彩點(diǎn)撥】解答本題首先據(jù)條件表示出兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，然后求解.【自主解答】(1)AC5，c(4)5，c1.(2)|BD|6，|d(2)|6，即d26或d26，d4或d8.(3)因?yàn)?，?AD，所以(3)4，所以312，又44(3)12，故34.正確理解和運(yùn)用軸上向量的坐標(biāo)及長(zhǎng)度計(jì)算公式是學(xué)習(xí)其他向量計(jì)算的基礎(chǔ)；解答本題首先利用數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，特別要注意向量坐標(biāo)運(yùn)算公式的順序，還要注意模運(yùn)算中

9、可能會(huì)出現(xiàn)的兩種情形.再練一題3.已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1，x2，求，的坐標(biāo)和長(zhǎng)度.(1)x12，x25.3；(2)x110，x220.5.【解】(1)x12，x25.3，AB5.327.3，BA2(5.3)7.3.|7.3，|7.3.(2)同理AB10.5，BA10.5.|10.5，|10.5.探究共研型向量共線問(wèn)題探究1已知m，n是不共線向量，a3m4n，b6m8n，判斷a與b是否共線？【提示】要判斷兩向量是否共線，只需看是否能找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ab即可.若a與b共線，則存在R，使ab，即3m4n(6m8n).m，n不共線，不存在同時(shí)滿(mǎn)足此方程組，a與b不共線.探究2已知e1，e2

10、是共線向量，a3e14e2，b6e18e2，則a與b是否共線？【提示】e1，e2共線，存在R，使e1e2.a3e14e23e24e2(34)e2，b6e18e26e28e2(68)e2，ab，a與b共線.當(dāng)時(shí)，b0，a與b共線.探究3設(shè)兩非零向量e1和e2不共線，是否存在實(shí)數(shù)k，使ke1e2和e1ke2共線？【提示】設(shè)ke1e2與e1ke2共線，存在使ke1e2(e1ke2)，則(k)e1(k1)e2.e1與e2不共線，只能有則k1.已知非零向量e1，e2不共線.如果Ae1e2，B2e18e2，C3(e1e2)，求證A，B，D三點(diǎn)共線.【精彩點(diǎn)撥】欲證A，B，D共線，只需證存在實(shí)數(shù)，使BA即可

11、.【自主解答】Ae1e2，BBC2e18e23e13e25(e1e2)5A，A，B共線，且有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線.1.本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a0)共線ba，因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問(wèn)題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.2.向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線.再練一題4.設(shè)兩個(gè)非零向量e1，e2不共線，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2.問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A，B，D三點(diǎn)共線，若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解】設(shè)存在kR，使得A，B，D三點(diǎn)共線，(e13e2)(2e1e2)e14e2，2e1ke2.又

12、A，B，D三點(diǎn)共線，2e1ke2(e14e2)，k8，所以存在k8，使得A，B，D三點(diǎn)共線.1.以下選項(xiàng)中，a與b不一定共線的是()A.a5e1e2，b2e210e1B.a4e1e2，be1e2C.ae12e2，be22e1D.a3e13e2，b2e12e2【解析】只有C選項(xiàng)不一定共線.【答案】C2.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是4，1，則AB與|分別是()A.3,3B.3,3C.3，3 D.6,6【解析】AB1(4)3，|3.【答案】B3.如圖2133所示，已知3，3，則向量與的關(guān)系為()圖2133A.共線B.同向C.共線且同向D.共線、同向，且的長(zhǎng)度是的3倍【解析】由題意，知，ABAB，

13、3，故選D.【答案】D4.設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，2apb，ab，a2b.若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值是_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】A、B、D三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)使x，又2ab，2apb，2apb(2ab)，p1.【答案】15.如圖2134，ABCD為一個(gè)四邊形，E，F(xiàn) ，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點(diǎn)，求證：四邊形EF GH為平行四邊形.圖2134【證明】F ，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，.同理，.同理.四邊形EF GH為平行四邊形.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十七)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.已知向量a，b，且

14、a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D【解析】(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)2，所以A，B，D三點(diǎn)共線.【答案】A2.(2016臨沂高一檢測(cè))設(shè)a，b為不共線向量，ab，4ab，5a2b，則下列關(guān)系式中正確的是()A. B.2C. D.2【解析】8a2b2(4ab)2.【答案】B3.設(shè)a，b是不共線的向量，akb，mab(k，mR)，則當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，有()A.kmB.km10C.km10 D.km0【解析】A，B，C三點(diǎn)共線，n，akbmnanb，mk10.【答案】B4.(2016濟(jì)南高一檢測(cè))已知向

15、量e1，e2不共線，ake1e2，be1ke2，若a與b共線，則k等于()A.1B.1 C.1D.0【解析】a與b共線，ab.即ke1e2(e1ke2)，解得k1.【答案】A5.(2016佛山高一檢測(cè))已知e10，R，ae1e2，b2e1，若ab，則()A.0 B.e20C.e1e2 D.e1e2或0【解析】ab，存在實(shí)數(shù)k，使得akb，即(2k1)e1e2.e10，若2k10，則0或e20；若2k10，則e1e2，此時(shí)e1e2，又0與任何一個(gè)向量平行，有e1e2或0.【答案】D二、填空題6.已知A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，AB5，AC2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi).【解析】設(shè)A，C的坐標(biāo)

16、分別為xA，xC，則AB3xA5，xA2，又ACxCxAxC(2)2，xC0.【答案】07.(2015全國(guó)卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_.【解析】ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得【答案】8.(2016紹興高一檢測(cè))設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，記a，tb(tR)，(ab)，那么當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，實(shí)數(shù)t的值為_(kāi).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】a，tb，(ab)，tba，(ab)aba，A，B，C三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，使，即tba.由于a，b不共線，解得故當(dāng)t時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線.【答案】三、解答題9.已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1，x2，根據(jù)下列

17、題中的已知條件，求點(diǎn)A的坐標(biāo)x1.(1)x25，BA3；(2)x21，|AB|2.【解】(1)BAx1(5)3，所以x18.(2)|AB|1x1|2，所以x11或x13.10.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共線，向量c2e19e2，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使向量dab與c共線？【解】假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，使得dab與c共線，dab(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2.要使d與c共線.則有實(shí)數(shù)k，使得dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，所以2.故存在這樣的，使d與c共線.能力提升1.設(shè)e1，e2是不共線向量，若向量a3e15e2與向量bme13e2共線，則m的值等于()A. B.C. D.【解析】ab，存在實(shí)數(shù)，使得ba，即me13e2(3e15e2)，e1，e2是不共線向量，解得m.【答案】A2.(2016棗莊校級(jí)月考)已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，但ab與c共線，且bc與a共線，則向量abc()A.a B.bC.c D.0【解析】ab與c共線，bc與a共線，abc，bca，兩式相減得acca，移項(xiàng)得(1)c(1