高中數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關系2.3.2平面與平面垂直的判定學案含解析新人教A版必修2

1、23.2平面與平面垂直的判定二面角提出問題隨手打開一本書，發(fā)現(xiàn)每兩書頁之間所在的平面也形成一個角度；修水壩時，為了使水壩堅固耐用，必須使水壩面與水平面成適當?shù)慕嵌葐栴}1：根據(jù)上述問題，你發(fā)現(xiàn)兩平面形成的角有何特點？提示：可以是銳角、直角、鈍角、平角問題2：兩平面形成的角可以為0角嗎？提示：可以問題3：兩平面成角的范圍是什么？提示：0180.導入新知二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角(如圖)直線AB叫做二面角的棱，半平面和叫做二面角的面記法：AB，在，內，分別取點P，Q時，可記作PABQ；當棱記為l時，可記作l或PlQ.(2)二面角的平面角：定義：在二面角 l 的

2、棱l上任取一點O，如圖所示，以點O為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的AOB叫做二面角的平面角直二面角：平面角是直角的二面角化解疑難對于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一個空間圖形，而二面角的平面角是平面圖形，二面角的大小通過其平面角的大小表示，體現(xiàn)了由空間圖形向平面圖形轉化的思想(2)二面角的平面角的定義是兩條“射線”的夾角，不是兩條直線的夾角，因此，二面角的取值范圍是0180.平面與平面垂直提出問題建筑工地上，砌墻時，泥水匠為了保證墻面與地面垂直，常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線，再沿著該線砌墻，如圖，這樣就能保證墻面與地面垂直問題1：由上述

3、可知當直線與平面垂直時，過此直線可作無數(shù)個平面，那么這些平面與已知平面有何關系？提示：垂直問題2：若要判斷兩平面是否垂直，根據(jù)上述問題能否得出一個方法？提示：可以，只需在一平面內找一直線垂直于另一平面即可導入新知1面面垂直的定義(1)定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直(2)畫法：記作：.2兩平面垂直的判定(1)文字語言：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直(2)圖形語言：如圖(3)符號語言：AB，ABB，AB.化解疑難對面面垂直的判定定理的理解(1)該定理可簡記為“線面垂直，則面面垂直”(2)定理的關鍵詞是“過另一面的垂線”，所以應用的關鍵是在

4、平面內尋找另一個面的垂線(3)線、面之間的垂直關系存在如下轉化特征：線線垂直線面垂直面面垂直這體現(xiàn)了立體幾何問題求解的轉化思想，應用時要靈活把握面面垂直的判定例1如圖所示，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求證：平面ABC平面SBC.解證明：法一：(利用定義證明)BSACSA60，SASBSC，ASB和ASC是等邊三角形，則有SASBSCABAC，令其值為a，則ABC和SBC為共底邊BC的等腰三角形取BC的中點D，如圖所示，連接AD，SD，則ADBC，SDBC，ADS為二面角ABCS的平面角在RtBSC中，SBSCa，SDa，BDa.在RtABD中，ADa，在ADS中，SD2A

5、D2SA2，ADS90，即二面角ABCS為直二面角，故平面ABC平面SBC.法二：(利用判定定理)SASBSC，且BSACSA60，SAABAC，點A在平面SBC上的射影為SBC的外心SBC為直角三角形，點A在SBC上的射影D為斜邊BC的中點，AD平面SBC.又AD平面ABC，平面ABC平面SBC.類題通法證明面面垂直的方法(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為“線面垂直”；(3)性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面活學活用(江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1

6、中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以DEAC，于是DEA1C1.又因為DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因為A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因為A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB

7、1A1.因為B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因為B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因為直線B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.二面角例2已知D，E分別是正三棱柱ABCA1B1C1的側棱AA1和BB1上的點，且A1D2B1EB1C1.求過D，E，C1的平面與棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小解如圖所示，在平面AA1B1B內延長DE和A1B1交于點F，則F是平面DEC1與平面A1B1C1的公共點于是C1F為這兩個平面的交線因而，所求二面角即為二面角DC1FA1.A1DB1E，且A1D2B1

8、E，E，B1分別為DF和A1F的中點A1B1B1C1A1C1B1F，F(xiàn)C1A1C1.又CC1平面A1B1C1，F(xiàn)C1平面A1B1C1，CC1FC1.又A1C1，CC1為平面AA1C1C內的兩條相交直線，F(xiàn)C1平面AA1C1C.DC1平面AA1C1C，F(xiàn)C1DC1.DC1A1是二面角DC1FA1的平面角由已知A1DA1C1，則DC1A145.故所求二面角的大小為45.類題通法解決二面角問題的策略清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點求二面角的大小的方法為：一作，即先作出二面角的平面角；二證，即說明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所

9、在的三角形算出角的三角函數(shù)值，其中關鍵是“作”活學活用如圖所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于點D，E，又SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小解：E為SC中點，且SBBC，BESC.又DESC，BEDEE，SC平面BDE，BDSC.又SA平面ABC，可得SABD，SCSAS，BD平面SAC，從而BDAC，BDDE，EDC為二面角EBDC的平面角設SAAB1，在ABC中，ABBC，SBBC，AC，SC2.在RtSAC中，DCS30，EDC60，即二面角EBDC為60.線面、面面垂直的綜合問題例3如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為a的正方形

10、，側棱PDa，PAPCa，求證：(1)PD平面ABCD；(2)平面PAC平面PBD；(3)二面角PBCD是45的二面角解證明：(1)PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2.則PDDC.同理可證PDAD.又ADDCD，且AD，DC平面ABCD，PD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD，又AC平面ABCD，PDAC.四邊形ABCD是正方形，ACBD.又BDPDD，且PD，BD平面PBD，AC平面PBD.又AC平面PAC，平面PAC平面PBD.(3)由(1)知PDBC，又BCDC，且PD，DC為平面PDC內兩條相交直線，BC平面PDC.PC平面PDC，BCPC.則PCD為二面角PBCD

11、的平面角在RtPDC中，PDDCa，PCD45，即二面角PBCD是45的二面角類題通法本題是涉及線面垂直、面面垂直、二面角的求法等諸多知識點的一道綜合題，解決這類問題的關鍵是轉化：線線垂直線面垂直面面垂直活學活用已知ABC為正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中點求證：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.證明：(1)設BDa，作DFBC交CE于F，則CFDBa.因為CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因為DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中點N，連接MN，BN，則MN綊CE綊DB.所以四邊形

12、MNBD為平行四邊形，所以MDBN.又因為EC平面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M為EA中點，所以DMAE.又ECAEE，所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.典例(12分)如圖所示，已知三棱錐PABC，ACB90，CB4，AB20，D為AB的中點，且PDB是正三角形，PAPC.(1)求證：平面PAC平面ABC；(2)求二面角DAPC的正弦值；(3)若M為PB的中點，求三棱錐MBCD的體積解題流程活學活用在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E，G，F(xiàn)分別為MB

13、，PB，PC的中點，且ADPD2MA.(1)求證：平面EFG平面PDC；(2)求三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積之比解：(1)證明：由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PDBC.因為四邊形ABCD為正方形，所以BCDC.又PDDCD，因此BC平面PDC.在PBC中，因為G，F(xiàn)分別為PB，PC的中點，所以GFBC，因此GF平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.(2)因為PD平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設MA1，則PDAD2，所以VPABCDS正方形ABCDPD.由于DA平面MAB，且PDMA，所以DA的長即為點P到

14、平面MAB的距離三棱錐VPMAB122，所以VPMABVPABCD14隨堂即時演練1如圖，已知CD，EA，垂足為A，EB，垂足為B，AEB45，那么二面角 CD的平面角等于()A30B60C90 D135答案：D2對于直線m，n和平面，能得出的一組條件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n答案：C3如圖所示，檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉動，觀察尺邊是否和這個面密合就可以了，其原理是_答案：面面垂直的判定定理4若P是ABC所在平面外一點，而PBC和ABC都是邊長為2的正三角形，PA，那么二面角PBCA的大

15、小為_答案：905在四面體ABCD中，BDa，ABADCBCDACa，求證：平面ABD平面BCD.證明：如圖所示，ABD與BCD是全等的等腰三角形，取BD的中點E，連接AE，CE，則AEBD，BDCE.AEC為二面角ABDC的平面角在ABD中，ABa，BEBDa，AEa.同理CEa.在AEC中，AECEa，ACa，由于AC2AE2CE2，AECE，即AEC90，平面ABD平面BCD.課時達標檢測一、選擇題1有下列命題：兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補；二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內作射線

16、所成的角的最小角；二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系其中正確的是()ABC D答案：B2一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角()A相等 B互補C不確定 D相等或互補答案：C3在四棱錐PABCD中，已知PA底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結論中錯誤的是()A平面PAB平面PADB平面PAB平面PBCC平面PBC平面PCDD平面PCD平面PAD答案：C4.如圖所示，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，則二面角BPAC的大小為()A90B60C45D30答案：A5在正方體ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值為()A. B.C. D.答案：C二、填空題6經過平面外一點和平面內一點與平面垂直的平面有_個答案：1或無數(shù)7正四面體的側面與底面所成的二面角的余弦值是_答案：8.如圖，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，則AD_.答案：a三、解答題9如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC平面ABCD，E是SA的中點，求證：平面EDB平面ABCD.證明：連接AC，交BD于點F，連接EF，EF是SAC的中位線，EFSC.SC平面ABCD，EF平面ABC