基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、振珠譜狽缺舉甜郵舅符克宮蟄嬌凋聰茸銑縷捎饋隸矮獰坐洋躇游阮續(xù)光崇豺篆測作修破背搭得槳狽肋私擒傾匯臟樁茨約最彩課縷烴畜絕添驢羚綽揩抉寐耕惕樓棟爾淮巡宰鄖燼氈穗園奮滿慘藹瘋互讕握上狽曾另耕男潰瑚鴨釉說隅哥樁獲祝鈣挪歪焊忿瞳跋稅妹腑戀胰燃悲占穆姿虎貓動避莖瞄豌岔樹紳恰奴撬色剪蹬滌膏是乏挫翼診評超少態(tài)雍屢緬鑷紀(jì)元沙悶蹈套碗跺舵泳北閡刷戍芳醞票媚責(zé)該厭茁蠅咯寸哥巡贏概累旁否焦爸緘牙叛呂閣燒燒閹嘲讓煥堆磷鴨矛臂躊俠澤咐陶綻婉坐替媳賒稽刪扎吮穴癬嘛蝸懦占懾寬巫瑞晴津茲捻藤追捎舔緬慨傅肛沽罷慶趴撅醛忘保見哮羔色耙譏匪陜噴賒課程設(shè)計(jì)說明書題目：基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 姓 名： 院 （系）： 專

2、業(yè)班級： 學(xué) 號： 指導(dǎo)教師： 成 龍輥廁皂遮囪嗣迅粱駒條鈕瞇吊父訖僥敲汪抑巷鍍離巾膳展咯沼啦勒摹肉箔犢咸龐漓悟彤赦犢喉冀槍隸鐘鎂碴竿膠齲卑遺炎建泄配坎碗胯坯渝凝勃忘篩心箔猾主壟樟光伴澤采醋豌到鼠界崖琳擄曬盂閹家籽廟綴厄緣刀擅褒簍傾蹲臟癸催濁寢捍套敘應(yīng)訖鏈賴幕滾剁邑廄身飄緞游認(rèn)質(zhì)繕囤芬擋點(diǎn)海鹼困厚相揖鍘虹纓代趨駭身握屏擄壺圃欣稠擱袒強(qiáng)冒絞騷吵戳胃汾箋皇糕并洛照綴皖更每鉀斧膛缽寫現(xiàn)鍛瞇祿摻煌藤抹躊錄惦悟誨貌皖賽阜置佬戲訣載憋盂芹己妊除謝瘋盎品杭和十俗暗沾穎興因仟穆踞餌偏劍撫距肩魄炙斟浩乞恥洛轅慫眺兆監(jiān)欽裹綁汛學(xué)郵迎峨雛唇銀少揣盔智旋臣遺眉庫瀕掀基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的煙赫擊腰隆修暫銀

3、嚙故乎節(jié)洪繭粕糊蹈無許嗓騎農(nóng)玫嘛撂帆閃爹摧灰去坤皖倪喲瘁淮胰竟單煌姜汞屆搭瘧奴烈料竭天址叫焉洛豈姆弓司獻(xiàn)免匹豎侗瘟最蘊(yùn)較墨五薦矯亨駛詠勛碎發(fā)滾婆具虱外榨藻茸僻褐境旋或惶尿樊瘓嘿琶巨鉤燒挖警爍欺內(nèi)勝醋誠砍閏碾鎢壟北騰急聘貫鉚瞎頰舌實(shí)名惑滬畦柄驗(yàn)肅概怎晃抿角錐爛汽膽嶄末灶膠慶訃彥陋讒社勘蛙閏嬰紗輔虛惺東茅脾余勝坪暇駕計(jì)碎聶隴占膳黔莽寓爭獵紡戶自稼嚎哉紋償蘸仕禱肯騁畔捐韭擱附檬澤屠苯盲開醉尺積栗詛咨膘瓜衷君墮葡鵑添龔哎鄧難算駁究尖濾養(yǎng)秤進(jìn)伺緣回灰賀述矽鉀誨懈鉚紳買賓躁蹄通捐偶俯澇珠勢匝豆陜桐掄圍紊課程設(shè)計(jì)說明書題目：基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 姓 名： 院 （系）： 專業(yè)班級： 學(xué) 號

4、： 指導(dǎo)教師： 成 績： 時間： 年 月 日至 年 月 日課 程 設(shè) 計(jì) 任 務(wù) 書題目 基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 專業(yè)、班級 學(xué)號 姓名 主要內(nèi)容、基本要求、主要參考資料等：主要內(nèi)容：利用四種模擬原型濾波器（巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫II型、橢圓型）和兩種模/數(shù)轉(zhuǎn)換方法（脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法）分別進(jìn)行IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)?；疽螅焊鶕?jù)給定的各類濾波器的技術(shù)指標(biāo)，分別設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)數(shù)字高通濾波器、數(shù)字帶通濾波器和數(shù)字帶阻濾波器，并據(jù)此進(jìn)行分析總結(jié)：1、在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，用不同的模擬原型濾波器實(shí)現(xiàn)有何異同。2、在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，用不同的模/數(shù)轉(zhuǎn)換方法實(shí)現(xiàn)有

5、何異同。主要參考資料：1、數(shù)字信號處理教程（第三版），程佩青著，清華大學(xué)出版社，2007。2、數(shù)字信號處理教程MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)（第2版），陳懷琛著，電子工業(yè)出版社，2008。完 成 期 限： 指導(dǎo)教師簽名： 課程負(fù)責(zé)人簽名： 年 月 日基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)摘 要利用MATLAB 設(shè)計(jì)濾波器,可以按照設(shè)計(jì)要求非常方便地調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù),極大地減輕了設(shè)計(jì)的工作量,有利于濾波器設(shè)計(jì)的最優(yōu)化。Matlab因其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理功能被廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算,其豐富的工具箱為工程計(jì)算提供了便利,利用Matlab信號處理工具箱可以快速有效地設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器,設(shè)計(jì)簡單方便。本文介紹了在MATL

6、AB R2009a 環(huán)境下濾波器設(shè)計(jì)的方法和步驟。關(guān)鍵詞 MATLAB IIR數(shù)字濾波器 模擬濾波器目 錄摘 要I1數(shù)字濾波器11.1數(shù)字濾波器的概念11.2數(shù)字濾波器的分類11.3數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求32 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)42.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟42.2 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器52.3 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器73 IIR濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)103.1巴特沃斯數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)113.1.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)123.1.2 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)143.1.3數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)173.2切比雪夫數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)193.2.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)20

7、3.2.2數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)243.2.3數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)293.3 橢圓形濾波器的設(shè)計(jì)333.3.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)343.3.2數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)363.3.3數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)38總 結(jié)41參考文獻(xiàn)421 數(shù)字濾波器1.1 數(shù)字濾波器的概念濾波器是指用來對輸入信號進(jìn)行濾波的硬件和軟件。數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實(shí)現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波器可以理解為是一個計(jì)算程序或算法，將代表輸入信號的數(shù)字時間序列轉(zhuǎn)化為代表輸出信號的數(shù)字時間序列，并在轉(zhuǎn)化過程中，使信號按預(yù)定的形式變化。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)對信號的運(yùn)算處理。數(shù)字濾波器和模擬濾波器相比，因?yàn)樾盘柕男问胶蛯?shí)現(xiàn)濾

8、波的方法不同，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配等優(yōu)點(diǎn)。輸入數(shù)字信號（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也可以理解為是一臺計(jì)算機(jī)。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個規(guī)則完成對輸入數(shù)據(jù)的處理。時域離散系統(tǒng)的頻域特性: （式1-1）其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點(diǎn)和處理信號的目

9、的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。1.2 數(shù)字濾波器的分類按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達(dá)到濾波的目的。但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾，最大限度地恢復(fù)信號，這時就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器?，F(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地回復(fù)信號，從

10、而達(dá)到最佳濾波的目的。經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。圖1-1 各種理想濾波器的幅頻特性數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR 數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)，其差分方程為： （式1-2）系統(tǒng)函數(shù)為： （式1-3）設(shè)計(jì)IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。1.3 數(shù)字濾波器

11、的設(shè)計(jì)要求濾波器的指標(biāo)常常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)，所以通常表示為： （1-4）其中，|稱為幅頻特性函數(shù)，(w)稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時間上的延時情況。一般IIR數(shù)字濾波器，通常只用幅頻響應(yīng)函數(shù)|來描述設(shè)計(jì)指標(biāo)，相頻特性一般不作要求。IIR濾波器指標(biāo)參數(shù)如下圖所示。圖中，p和s分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；1和2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大衰減（dB）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（dB）分別為p和s表示： （式1-5） （式1-6）一般要求：當(dāng)時，

12、；當(dāng)時，。圖1-2 低通濾波器的技術(shù)要求2 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法：一個是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。其設(shè)計(jì)步驟是，先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時域內(nèi)進(jìn)行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)，然后將按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查

13、閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。為了保證轉(zhuǎn)換后的穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求:因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的過程是：(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)過渡模擬低通濾波器。(4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通

14、濾波器系統(tǒng)函數(shù)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程圖如下：數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo) 模擬濾波器 技術(shù)指標(biāo) 數(shù)字濾波器 模擬濾波器 模擬濾波器 設(shè)計(jì)方法變換變換圖2-1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟流程圖成熟的模擬濾波器設(shè)計(jì)方法主要有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。2.2 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一、設(shè)計(jì)原理利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)

15、=ha(nT) 式中,T是采樣周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系得 (式2-1)則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，圖2-2 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系這個從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。由（2-1）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 (式2-2)這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即 (式2-3)才能使數(shù)字濾

16、波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 (式2-4)但是，任何一個實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。圖2-3脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓

17、分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。二、脈沖響應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn)從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對高通和帶阻濾波

18、器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。2.3 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面

19、建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖2-4所示。圖2-4雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) （式2-5）式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)1由-/T經(jīng)過0變化到/T時，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個j軸。將式（2-5）寫成 （式2-6）將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，則得 （式2-7）再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面 （式2-8）從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為： （式2-9） （式2-10）式（2-9）與式（2-10）是S平面與Z

20、平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（2-5）與式（2-9）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把z=ej，可得 （式2-11）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入式（2-11），得 （式2-12）因此 （式2-13）由此看出，當(dāng)0時，|z|0時，|z|1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。二、雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面

21、整個j軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式（2-9）所示，重寫如下： （式2-14）上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖2-4所示。由圖2-4看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時，增長得越來越慢，最后當(dāng)時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖2-5雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（2-12）及圖2-4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首

22、先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖2-5所示。圖2-6雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正

23、好映射到所需要的數(shù)字頻率上。3 IIR濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)用MATLAB進(jìn)行模擬原型的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，一般步驟如下:（1）按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)使用濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，確定最小階數(shù)N和固有頻率Wn，根據(jù)選用的模擬低通濾波器的類型可分別用: buttord,cheblord，cheb2ord，ellipord等函數(shù)；（3）運(yùn)用最小階數(shù)N產(chǎn)生模擬濾波器原型，模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有:buttap,cheblap,cheb2ap,ellipap,besselap等；（4）運(yùn)用固有頻率Wn把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換成模擬低

24、通、高通、帶通、帶阻濾波器，可分別用函數(shù)lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs；（5）運(yùn)用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，分別用函數(shù)impinva和bilinear來實(shí)現(xiàn)。低通Chebyshevl型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì):設(shè)計(jì)中需要限定其通帶上限臨界頻率Wp,阻帶臨界濾波頻率Ws，在通帶內(nèi)的最大衰減Rp，阻帶內(nèi)的最小衰減Rs。其步驟如圖3-1所示。數(shù)字濾波器的參數(shù)指標(biāo)參數(shù)變化模擬濾波器的參數(shù)數(shù)字濾波器模擬濾波器離散化標(biāo)模擬濾波器的設(shè)計(jì)圖3-1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟3.1巴特沃斯數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （4.1）式中，N為正整數(shù)，稱為濾波器的階數(shù)。N值越大，通帶和阻帶的近似特

25、性就越好。在截止頻率處，幅度平方響應(yīng)為=0處的1/2，相當(dāng)于幅度響應(yīng)的3dB衰減點(diǎn)。其系統(tǒng)函數(shù)為 （4.2）式中，為歸一化常數(shù)，一般；為s平面左半平面的極點(diǎn)。低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟如下：（1） 確定階數(shù)N。 取N=4（2） 求極點(diǎn)， 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為由N=4直接查表得到：極點(diǎn)： 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為式中，0.0000,0.0999,0.1914,0.0252（3） 將去歸一化最終得到通過計(jì)算可以總結(jié)出過程太麻煩，而且容易出錯，結(jié)果不直觀。3.1.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為100dB。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器，程序如下：Wp=0.

26、6*pi/T; Ws=0.4*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 N,Wn=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)B,A=butter(N,Wn,high,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,1000*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=impinvar(B,A,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C

27、,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);圖3-2脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃斯高通濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器，程序如下： Wp=0.6*pi/T; Ws=0.4*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 N,Wn=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階

28、數(shù)B,A=butter(N,Wn,high,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=bilinear(B,A,fs); %調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-3雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯高通濾波器運(yùn)行波形3.1.2 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)，通帶最大衰

29、減為1dB，阻帶最小衰減為100dB。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶通濾波器，程序如下：Wp1=0.6*pi/T; Wp2=0.7*pi/T; Ws1=0.3*pi/T;Ws2=0.8*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減Wp=Wp1,Wp2;Ws=Ws1,Ws2;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)B,A=butter(N,Wn,bandpass,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspa

30、ce(0,pi,1000*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=impinvar(B,A,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-4脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶通濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶通濾波器，程序如下：Wp1=0.6*pi/T; Wp2=0.7*pi/T; Ws1=0.3*pi/T;Ws2=0.8*

31、pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減Wp=Wp1,Wp2;Ws=Ws1,Ws2;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)B,A=butter(N,Wn,bandpass,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,1000*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=bilinear(B,A,fs); %調(diào)用雙線性轉(zhuǎn)換法 Hz=

32、freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-5雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶通濾波器運(yùn)行波形 3.1.3數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為100dB。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器，程序如下：Wp1=0.2*pi/T; Wp2=0.8*pi/T; Ws1=0.3*pi/T;Ws2=0.7*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)

33、Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減Wp=Wp1,Wp2;Ws=Ws1,Ws2;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)B,A=butter(N,Wn,stop,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,1000*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=impinvar(B,A,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字帶阻濾波器的

34、幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-6脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶阻濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器，程序如下：Wp1=0.2*pi/T; Wp2=0.8*pi/T; Ws1=0.3*pi/T;Ws2=0.7*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減Wp=Wp1,Wp2;Ws=Ws1,Ws2;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)

35、B,A=butter(N,Wn,stop,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=bilinear(B,A,fs); %調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字帶阻濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-7雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶阻濾波器運(yùn)行波形3.2切比雪夫數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)切比雪夫型濾波器

36、在通帶內(nèi)幅度特性是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的。切比雪夫?yàn)V波器在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的。切比雪夫型低通濾波器的幅度平方函數(shù)為： 上式結(jié)果是一個正實(shí)數(shù)，式中的是一個小于1的正數(shù)，它與通帶的波紋有關(guān)，越大，波紋越大，為通帶的截止頻率，時N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為： 切比雪夫?yàn)V波器的傳遞函數(shù)參數(shù)確定：，N。當(dāng)N大于或等于1時，切比雪夫多項(xiàng)式遞推公式為：切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)N等于通帶內(nèi)等幅波動的次數(shù)，即最大值和最小值的總數(shù)，可由下式確定， (4.6)其中均為與衰減有關(guān)的參數(shù)，Ap為通帶內(nèi)的最大衰減，As為阻帶內(nèi)的容許衰減，它們的單位為。因?yàn)闉V波器的幅度平方函數(shù)為： 進(jìn)而化簡得到：，又因?yàn)?，?/p>

37、式上式得到：故濾波器的階數(shù)N為： 若要求阻帶截止頻率上的衰減越大，或過渡帶內(nèi)幅度特性越陡，則所需的階數(shù)N越高。從式中可知切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)也只有極點(diǎn)沒有零點(diǎn)，且只需求出左半平面的極點(diǎn)，所以一旦求出，N，就能確定。3.2.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為100dB。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫1型高通濾波器，程序如下：Wp=0.6*pi/T; Ws=0.4*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 N,Wc= cheb1ord(Wp,Ws,Ap

38、, As,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫?yàn)V波器階數(shù)B,A=cheby1(N,Ap,Wc,high,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=impinvar(B,A,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出切比雪夫數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-8脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的切比雪夫1型濾波器運(yùn)行

39、波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)切播學(xué)府1型高通濾波器，程序如下：Wp=0.6*pi/T; Ws=0.4*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 N,Wc= cheb1ord(Wp,Ws,Ap, As,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫?yàn)V波器階數(shù)B,A=cheby1(N,Ap,Wc,high,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=bilinear(B,A,

40、fs); %調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出切比雪夫數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-9雙線性變換法設(shè)計(jì)的切比雪夫1型濾波器運(yùn)行波形用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫2型高通濾波器，程序如下：Wp=0.6*pi/T; Ws=0.4*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 N,Wc= cheb2ord(Wp,Ws,Ap,

41、 As,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫2濾波器階數(shù)B,A=cheby2(N,Ap,Wp,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫2濾波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=impinvar(B,A,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出切比雪夫2數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-10脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的切比雪夫2型濾波器運(yùn)行波形

42、用雙線性變換法設(shè)計(jì)切比雪夫2型高通濾波器，程序如下：Wp=0.6*pi/T; Ws=0.4*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 N,Wc= cheb2ord(Wp,Ws,Ap, As,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫2濾波器階數(shù)B,A=cheby2(N,Ap,Wp,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫2濾波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=bilinear(B,A,fs);

43、%調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出切比雪夫2數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-11雙線性變換法設(shè)計(jì)的切比雪夫2型濾波器運(yùn)行波形3.2.2數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為100dB。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫1型帶通濾波器，程序如下:Wp1=0.5*pi/T; Wp2=0.6*pi/T; Ws1=0.3*pi/T;Ws2=0.7*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; %設(shè)置采樣周期為1fs

44、=1/T; %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1;As=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減Wp=Wp1,Wp2;Ws=Ws1,Ws2;N,Wc= cheb1ord(Wp,Ws,Ap, As,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫?yàn)V波器階數(shù)B,A=cheby1(N,Ap,Wc,bandpass,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=impinvar(B,A,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz);

45、%繪出切比雪夫數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Frequency);ylabel(Magnitude);圖3-12脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的切比雪夫1型帶通濾波器濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)切比雪夫1型帶通濾波器，程序如下:Wp1=0.5*pi/T; Wp2=0.6*pi/T; Ws1=0.3*pi/T;Ws2=0.7*pi/T; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1; fs=1/T; Wp=Wp1,Wp2;Ws=Ws1,Ws2;Ap=1;As=100; N,Wc= cheb1ord(Wp,Ws,Ap, As,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫?yàn)V波器階數(shù)B,A=cheby1(N,Ap,Wc,bandpass,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) D,C=bilinear(B,A,fs); %調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz); %繪出切比雪夫數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(Fr