信號(hào)采樣及零階保持器

1、.82信號(hào)的采樣和復(fù)現(xiàn)的數(shù)學(xué)描述一、 采樣過(guò)程所謂理想采樣，就是把一個(gè)連續(xù)信號(hào)e(t ) ，按一定的時(shí)間間隔逐點(diǎn)地取其瞬時(shí)值，從而得到一串脈沖序列信號(hào)e (t ) 。可見在采樣瞬時(shí)，e (t ) 的脈沖強(qiáng)度等于相應(yīng)瞬時(shí)e(t) 的幅值，即e(0t ) , e(1t ) , e( 2t) , e(nt ) ，如圖 88 所示。因此，理想采樣過(guò)程可以看成是一個(gè)幅值調(diào)制過(guò)程，如圖 89 所示。采樣器好比是一個(gè)幅值調(diào)制器， 理想脈沖序列t (t ) 作為幅值調(diào)制器的載波信號(hào)，t (t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為t (t )(t - nt)(81)n -其中 n 0,1,2,e(t ) 調(diào)幅后得到的信號(hào)，即采樣信號(hào)

2、e (t ) 為e (t) e(t )t (t )e(t )(tnt )(82)n通常在控制系統(tǒng)中，假設(shè)當(dāng) t0 時(shí)，信號(hào) e(t )0 ，因此e (t)e( 0)(t ) e(t )(t t)e(2t )(t2t )e(nt ) (tnt )(83)或e (t )e(nt )(tnt )(84)n 0式 (84)為一無(wú)窮項(xiàng)和式，每一項(xiàng)中的 (t nt ) 表示脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻；而 e(nt ) 代表這一時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度。式 (82)或 (84)表示了采樣前的連續(xù)信號(hào)與采樣后的離散信號(hào)之間的關(guān)系。 然而，一個(gè)值得提出的問題是：采樣后的斷續(xù)信號(hào)能否全面而真實(shí)地代表原來(lái)的連續(xù)信號(hào)呢?或者說(shuō)它是否包含了

3、原連續(xù)信號(hào)的全.部信息呢 ?因?yàn)閺牟蓸?(離散化 )過(guò)程來(lái)看，“采樣”是有可能會(huì)損失信息的。下面我們將從頻率域著手研究這個(gè)問題。二、 采樣信號(hào)的頻譜假設(shè)連續(xù)信號(hào) e(t ) 的富氏變換式為 e( j) ，采樣后信號(hào) e* (t ) 的富氏變換式用 e* ( j) 表示，下面我們來(lái)看 e ( j) 的具體表達(dá)式。由于理想脈沖序列t (t) 是一個(gè)周期函數(shù)，其周期為 t，因此它可以展開成指數(shù)形式的富氏級(jí)數(shù)，即t (t)1e jn st（85）t n其中s2t 為采樣角頻率。將式 (85)的結(jié)果代入 (82)式得e (t ) e(t)t (t )1e(t)ejnst（86）t n根據(jù)復(fù)位移定理；若

4、f e(t)e( j) ，則f e(t )e at e( jma)因此，式 (86)的富氏變換式為f e (t )e ( j )1(87)e( jjn s )t n假定連續(xù)信號(hào) e(t ) 的頻譜如圖 810(a)所示，則根據(jù)式 (87)可得采樣 (離散 )信號(hào) e (t ) 的頻譜如圖 810(b)所示。由圖 810，可得到如下結(jié)論：1(1) n0 的項(xiàng)為e( j) ，通常稱為基本頻譜。它正比于原連續(xù)信號(hào)e(t ) 的頻譜。t.(2) 同時(shí)派生出以1jn s ) ，其中 n 1，s 為周期的，無(wú)限多個(gè)高頻頻譜分量e( jt 2,。 h以上表明了連續(xù)信號(hào)與它所對(duì)應(yīng)的離散信號(hào)在頻譜上的差別。從富

5、氏變換及其反變換的有關(guān)定理可知，在一定條件下，原函數(shù)e(t ) 與其富氏變換式 e( j) 是一一對(duì)應(yīng)的，亦即由富氏變換式e( j) 可以唯一地還原成原函數(shù) e(t) ?？梢栽O(shè)想，如果讓采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)圖811 所示的理想濾波器，將所有派生出來(lái)的高頻分量全部濾掉，而同時(shí)保留其基本頻譜信號(hào)。那么經(jīng)過(guò)這樣處理后的信號(hào)，只要將其幅值放大倍，就能完全重現(xiàn)原信號(hào)。t由圖 810 不難看出，要想完全濾掉高頻分量，篩選出基本頻譜，從而根據(jù)采樣信號(hào)e (t ) 來(lái)復(fù)現(xiàn)采樣前的連續(xù)信號(hào) e(t ) ，采樣頻率s 必須大于或等于連續(xù)信號(hào)e(t) 頻譜中最高頻率max 的兩倍，即s2 max(88)這就是有名的香農(nóng)

6、 (shannon)采樣定理。這一定理告訴我們，只要采樣頻率足夠高， 我們完全不必?fù)?dān)心采樣過(guò)程會(huì)損失任何信息。由圖 810 也可看出，若采樣頻率不夠高，即s2max 時(shí)，則將會(huì)出現(xiàn)如圖 812 所示的頻譜重疊現(xiàn)象。很明顯，這時(shí)，我們就無(wú)法再把基本頻譜和派生高頻頻譜分開；從而，也就無(wú)法重現(xiàn)原信號(hào)，或者說(shuō)，采樣過(guò)程將損失信息。另外，需要指出的是，如圖811 所示的理想濾波器，實(shí)際上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能與理想濾波器相近似的低通濾波器，其中最常用的低通濾波器就是零階保持器。三、 零階保持器的數(shù)學(xué)模型零階保持器的輸入、輸出關(guān)系如圖8 13 所示。因此，零階保持器的作用是在信號(hào)傳遞過(guò)程中

7、，把第nt 時(shí)刻的采樣信號(hào)值一直保持到第( n1)t 時(shí)刻的前一瞬時(shí)，把第( n1)t 時(shí)刻的采樣值一直保持到(n2)t 時(shí)刻，依次類推，從而把一個(gè)脈沖序列e (t) 變成一個(gè)連續(xù)的階梯信號(hào)eh (t) 。因?yàn)樵诿恳粋€(gè)采樣區(qū)間內(nèi) eh (t) 的值均為常值，亦即其一階導(dǎo)數(shù)為零，故稱為零階保持器，可用“zoh”來(lái)表示。如果把階梯信號(hào) eh (t ) 的中點(diǎn)連起來(lái)，則可以得到與 e(t) 形狀一致而時(shí)間上遲后半個(gè)采樣周期 (t 2) 的響應(yīng)曲線 e(t t ) ，如圖 813 中的虛線所示。 由此也可初步估計(jì)到零階保持器對(duì)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影2響。.為了求取零階保持器 (zoh) 的數(shù)字模型，可以從

8、圖8 13 中任取一個(gè)采樣周期來(lái)進(jìn)行分析。零階保持器的輸入是脈沖函數(shù)，為了敘述方便，假設(shè)脈沖強(qiáng)度為1，即為單位脈沖函數(shù)，于是零階保持器的輸出就是單位脈沖過(guò)渡函數(shù)，該單位脈沖過(guò)渡函數(shù)的拉氏變換式，即為零階保持器的傳遞函數(shù)。零階保持器的單位脈沖過(guò)渡函數(shù)的圖形是高度為1，寬度為 t 的矩形波，如圖814(a)所示。為了求其拉氏變換式，可以把它分解成兩個(gè)階躍函數(shù)之和，如圖814(b)所示。于是，脈沖過(guò)渡函數(shù)可表示為y(t)1(t)1(tt )相應(yīng)的拉氏變換式為11ets 1 e tsy(s)sss這就是零階保持器的傳遞函數(shù)，即1e tsg h (s)(89)s而零階保持器的頻率特性為1 e j tt sin(t 2)gh ( j )tt 2j2其頻率特性曲線如圖815 所示。與理想濾波器圖8 11 相比較，可見，兩者都能起低通濾波作用。不過(guò).零階保持器的頻率特性不很理想。信號(hào)經(jīng)過(guò)零階保持器以后， 其高頻分量不能完全濾掉。此外，零階保持器具有t 2 的相角遲后。因此，零階保持器的引入