材料力學(xué)課件ppt-3扭 轉(zhuǎn).ppt

1、,第三章 扭 轉(zhuǎn),材料力學(xué),31 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 32 外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖 33 純剪切 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 35 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 36 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念,第三章 扭 轉(zhuǎn),目錄,3-1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例,一、工程實(shí)例,目錄,工 程 實(shí) 例,汽車傳動(dòng)軸,目錄,工 程 實(shí) 例,汽車方向盤,目錄,軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、 石油鉆機(jī)中的鉆桿等。,扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。,二、扭轉(zhuǎn)的概念,目錄,扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。 剪應(yīng)變（）：直角的改變量。,目錄,直接計(jì)算,3-2

2、、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,1.外力偶矩,3-2,目錄,按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算,電機(jī)每秒輸入功：,外力偶作功完成：,已知 軸轉(zhuǎn)速n 轉(zhuǎn)/分鐘 輸出功率P 千瓦 求：力偶矩Me,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,目錄,3-2,目錄,截 面 法 求 扭 矩,3 扭矩的符號(hào)規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。,扭轉(zhuǎn),二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩,目錄,3-2,目錄,扭 矩 的 符 號(hào) 規(guī) 定,扭轉(zhuǎn),4 扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。,目 的,x,T,目錄,扭轉(zhuǎn),例1已知：一傳動(dòng)軸， n =3

3、00r/min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。,解：計(jì)算外力偶矩,目錄,扭轉(zhuǎn),求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）,目錄,扭轉(zhuǎn),繪制扭矩圖,BC段為危險(xiǎn)截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,目錄,3-2,目錄,圓 筒 變 形,33 純剪切,3-2,目錄,圓 筒 單 元 體,扭轉(zhuǎn),一、實(shí)驗(yàn)：,1.實(shí)驗(yàn)前：,繪縱向線，圓周線； 施加一對(duì)外力偶 m。,目錄,扭轉(zhuǎn),2.實(shí)驗(yàn)后：,圓周線不變； 縱向線變成斜直線。,3.結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。 各縱向線均傾斜了同一微小角度 。

4、 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,目錄,扭轉(zhuǎn),無正應(yīng)力 橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。,4. 與 的關(guān)系：,微小矩形單元體如圖所示：,目錄,扭轉(zhuǎn),二、薄壁圓筒剪應(yīng)力 大小：,A0：平均半徑所作圓的面積。,目錄,扭轉(zhuǎn),三、剪應(yīng)力互等定理：,上式稱為剪應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。,目錄,扭轉(zhuǎn),四、剪切虎克定律：,單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。,目錄,扭轉(zhuǎn)

5、,T=m,剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。,目錄,五、剪切變形能 由純剪切單元體：,扭轉(zhuǎn),目錄,扭轉(zhuǎn),式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。,剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：,可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來。,目錄,扭轉(zhuǎn),34 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度條件,1. 橫截面變形后 仍為平面； 2. 軸向無伸縮； 3.

6、縱向線變形后仍為平行。,一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：,目錄,目錄,扭轉(zhuǎn),二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：,1. 變形幾何關(guān)系：,距圓心為 任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比。, 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。,目錄,扭轉(zhuǎn),2. 物理關(guān)系：,虎克定律： 代入上式得：,目錄,扭轉(zhuǎn),3. 靜力學(xué)關(guān)系：,令,代入物理關(guān)系式 得：,目錄,扭轉(zhuǎn),橫截面上距圓心為處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。,4. 公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面 直桿。, 式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。,目錄,扭轉(zhuǎn),單位：mm4，m4。, 盡管由

7、實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是Ip值不同。,目錄,扭轉(zhuǎn),目錄,扭轉(zhuǎn), 應(yīng)力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（實(shí)心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。,目錄,扭轉(zhuǎn), 確定最大剪應(yīng)力：,Wt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。,目錄,四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算,強(qiáng)度條件：,對(duì)于等截面圓軸：,( 稱為許用剪應(yīng)力。),強(qiáng)度計(jì)算三方面：, 校核強(qiáng)度：, 設(shè)計(jì)截面尺寸：, 計(jì)算許可載荷：,目錄,扭轉(zhuǎn),例2 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸圖， 許用剪應(yīng)力 =30M

8、Pa, 試校核其強(qiáng)度。,T,m,解：求扭矩及扭矩圖,計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度,此軸滿足強(qiáng)度要求。,x,目錄,35 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形,一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形,由公式,知：長為 l一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 為,目錄,二、單位扭轉(zhuǎn)角 ：,或,三、剛度條件,或,GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。, 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。,目錄,剛度計(jì)算的三方面：, 校核剛度：, 設(shè)計(jì)截面尺寸：, 計(jì)算許可載荷：,有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。,目錄,例3長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑

9、；若=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。,解：設(shè)計(jì)桿的外徑,目錄,扭轉(zhuǎn),40Nm,x,T,代入數(shù)值得：,D 0.0226m。, 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度,目錄,扭轉(zhuǎn),40Nm,右端面轉(zhuǎn)角為：,目錄,例4 某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？,扭轉(zhuǎn),解：圖示狀態(tài)下,扭矩如 圖，由強(qiáng)度條件得：,T,x,7.024,

10、 4.21,(kNm),目錄,扭轉(zhuǎn),由剛度條件得：,T,x,7.024,4.21,(kNm),目錄,扭轉(zhuǎn),綜上：,全軸選同一直徑時(shí),目錄,扭轉(zhuǎn), 軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng) 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時(shí),軸的最大直徑才 為 75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,目錄,扭轉(zhuǎn),解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：,平衡方程；,幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；,補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。,四、圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題,目錄,扭轉(zhuǎn),例5長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑

11、之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。,解：桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：,目錄,扭轉(zhuǎn),幾何方程變形協(xié)調(diào)方程, 綜合物理方程與幾何方程，得補(bǔ)充方程：, 由平衡方程和補(bǔ)充方程得：,另:此題可由對(duì)稱性直接求得結(jié)果。,目錄,扭轉(zhuǎn),36 非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形,非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。,目錄,扭轉(zhuǎn),一、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。,二、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。,三、矩形桿橫截面上的剪應(yīng)力:,1. 剪應(yīng)力分布如圖： （角點(diǎn)、形心、長短邊中點(diǎn)）,目錄,扭轉(zhuǎn),2. 最大剪應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角,其中：,其中：It相當(dāng)極慣性矩。,目錄,扭轉(zhuǎn),注意！ 對(duì)于W t 和 It ，多數(shù)教材與手冊(cè)上有如下定義：,查表求 和 時(shí)一