基于上證綜指的GARCH模型驗證

1、基于上證綜指的GARCH的驗證摘要：股票定價理論是一種以不確定性條件下股票資產(chǎn)定價及股票市場均衡為主要研究對象的理論，金融市場證券價格波動具有隨時間變化的特點,有時相當(dāng)穩(wěn)定,有時波動異常激烈，因其在現(xiàn)實生活中具有廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域，已成為近幾十年來經(jīng)濟(jì)學(xué)中最為活躍的一個分支，吸引了許多專家學(xué)者致力于這方面的研究。恩格爾( Engle) 于1982 年提出自回歸條件異方差(Autoregressive Conditional Heteroskedastic) 模型對方差進(jìn)行建模，來描述股票市場的波動聚類性和持續(xù)性。1986 年波勒斯勒夫（Bollerslev） 提供了一個對干擾方程限制較小的設(shè)定形式

2、, 這就是廣義自回歸條件異方差性模型 Generalised Autoregressive Conditional Heteroscedasticity , GARCH （p,q）?，F(xiàn)如今，我國股票市場通過采用GARCH 模型方法進(jìn)行研究的,主要集中在對滬、深兩市的收益率進(jìn)行擬合以檢驗股市的波動性。 關(guān)鍵字： ARCH（1）；ARCH（q）；GARCH模型 ；模型驗證一、引言ARMAM模型應(yīng)用廣泛，但是它有一個很重要的局限性必須假定波動率為一個常數(shù)。在金融中這個局限性是一個障礙。在本文中我們來研究GARCH時間序列模型，由于其波動的波動率具有隨機(jī)性，它在金融學(xué)中的應(yīng)用越來越廣泛。ARMA模型是

3、用來對現(xiàn)有的觀測值Yt的條件期望進(jìn)行建模，ARMA模型通過將Yt表示成過去觀測量的線性函數(shù)以及與白噪聲項之和的形式來完成上述建模。ARMA模型允許我們在過去值金額現(xiàn)在值的條件下對未來觀測值進(jìn)行預(yù)測。在Yt，Yt-1的條件下Yt+1的條件期望。然而ARMA模型的條件方差很復(fù)雜在給定過去值的條件下，Yt的條件方差也為常數(shù)。當(dāng)對股票收益建模時，這意味著，假設(shè)我們已經(jīng)注意到最近每日收益的變化不尋常。我們也許假定明天的收益比一般情況下波動更多。然而，我們用ARMA過程對收益建模，由于條件方差為常數(shù)，我們不能捕捉到其行為方式。從而，如果我們要對金融時間序列中常見的非常數(shù)的波動率進(jìn)行建模時，我們需要更好的時

4、間序列模型。ARCH是指自動回歸條件異方差性。在ARCH模型中的條件方差結(jié)構(gòu)與AR模型中的條件期望的結(jié)構(gòu)相似。首先我們來介紹ARCH（1）模型，這是一種最簡單的GARCH模型且與AR（1）模型相似。通過以上分析可以看出，ARCH 模型及其擴(kuò)展模型都可以用來描述和解釋股票市場股價波動隨時間變化的行為，但它們具有各自的特點。ARCH 模型的主要功能在于解釋收益率序列中比較明顯的變化是否具有規(guī)律性，并且說明了這種變化前后依存的內(nèi)在傳導(dǎo)是來自某一特定類型的非線性結(jié)構(gòu)。由于ARCH 模型的系數(shù)都大于零，表明過去的波動沖擊對市場未來波動有著正向而減緩的影響，因此波動會持續(xù)一段時間，從而模擬了市場波動的聚集

5、現(xiàn)象，但是模型沒有說明波動的方向。從預(yù)測的角度來看，當(dāng)存在ARCH 效應(yīng)時，使用ARCH模型較之假定方差為常數(shù)來講，可以提高預(yù)測值的精度。GARCH模型是ARCH模型的擴(kuò)展，因此GARCH具有ARCH(q)模型的特點。GARCH模型的條件方差不僅是滯后殘差平方的線性函數(shù)，而且是滯后條件方差的線性函數(shù)。在一定條件下，GARCH 模型可以轉(zhuǎn)化為無限階的ARCH 模型，與無限（或高階）的ARCH模型相比，GARCH 模型的結(jié)構(gòu)更為簡潔，因此可以替代描述高階ARCH過程，從而使得模型具有更大的適用性。ARCH 模型和GARCH 模型有助于分析股價波動是否呈現(xiàn)聚集效應(yīng)（條件異方差效應(yīng)），刻畫收益率分布的

6、寬尾特征，在實踐中應(yīng)用較為廣泛。二、ARCH模型ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticitymodel）最早由恩格爾（Engle）于1982年提出，ARCH模型的目的就是刻意預(yù)測誤差的條件方差中可能存在的某種相關(guān)性。ARCH模型的主要思想是：擾動項ut的條件方差依賴于它的前期值ut-1的大小。1.ARCH（1）過程假定為高斯白噪聲，其方差為1，即令該過程為相互獨(dú)立的服從N（0,1）的過程，那么有以及過程為ARCH（1）過程，如果成立，要求，因為標(biāo)準(zhǔn)差不能為負(fù)。若為具有有限方差的平穩(wěn)過程，則應(yīng)要求。如果，那么為平穩(wěn)的，但是其方差為，方程可以

7、寫成這與AR（1）形式相同，只是將改為，同時乘以一個均值為1的噪聲，而非加上一個均值為0的噪聲。事實上，ARCH（1）模型導(dǎo)出的的ACF值與AR（1）模型導(dǎo)出的ACF值相同。為在既定的過去值條件下的條件方差。因為與相互獨(dú)立且對方程的理解對于理解GARCH如何工作是很重要的。這個方程表明如果與它的期望值0偏離很大，即很大，從而的條件方差比其他值要大。從而，我么也希望與它的均值0有很大的偏差。因為的方差較大使得值很大，因此有表達(dá)的趨勢。同樣，如果很小，那么很小，我們也希望很小。由于這種行為，的異常波動率有持續(xù)不變的趨勢，盡管不是永遠(yuǎn)不變。如果，其條件方差會回到非條件方差值，因此該過程為具有一個有限

8、方差的平穩(wěn)過程。非條件方差，例如的邊緣方差記作，可以由方程得到當(dāng)時，方程有一個正解如果，則是無限的。這種情況下仍然是一個平穩(wěn)過程，積分的GARCH模型滿足。用方程直接計算，可以得出的ACF為事實上，任何一種能夠滿足目前觀測值在過去值條件下的條件期望值為常數(shù)的過程是非相關(guān)過程。在統(tǒng)計學(xué)引論過程中，獨(dú)立意味著零相關(guān)，但并不是逆方法。GARCH過程的條件均值為常數(shù)，條件方差為非常數(shù)，就是一個不相關(guān)但是非獨(dú)立的過程。條件方差對過去觀測值的依賴是該過程非獨(dú)立的原因。條件觀測值對過去觀測量的獨(dú)立是該過程非相關(guān)的原因。盡管是非相關(guān)的，與白噪聲過程類似，過程的ACF值更有趣。如果，那么如果，那么為非平穩(wěn)過程，

9、從而它就沒有ACF值。2.ARCH（q）過程令為方差為1的高斯白噪聲過程。如果那么為一ARCH（q）過程。其中它表示在該過程過去值條件下的條件標(biāo)準(zhǔn)差與ARCH（1）過程類似，ARCH（q）過程是非相關(guān)的，其均值為常數(shù)（條件的或非條件的），其非條件方差為常數(shù)，但是其條件方差為非常數(shù)。事實上，的ACF值與AR（q）過程的ACF值相同。三、GARCH模型1986年，波勒斯勒夫（Bollerslev）提出了條件方差函數(shù)的拓展形式，即廣義ARCH模型GARCH（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity），這被證明是對實際工作的開展

10、非常有價值的一步。ARCH（q）模型的不足之處在于：條件標(biāo)準(zhǔn)差過程有高頻率的震蕩，這種震蕩在短期突發(fā)中有高的波動里。GARCH模型允許一個更寬范圍的行為。特別是，允許更多持久的波動率。GARCH（p，q）模型是其中 （1）因為過程的過去值在目前值中得以反饋，條件標(biāo)準(zhǔn)差在高或低的波動率是會表現(xiàn)出更長的持續(xù)階段，這時相對于ARCH過程的。過程是一個非相關(guān)過程，該過程有平穩(wěn)的均值和方差，且的ACF值與ARMA過程的ACF值相同。ARCH模型是GARCH模型的一個特例，我們用“GARCH”這一詞語，它既包括ARCH模型也包括GARCH模型。更為一般的時間序列模型為GARCH（），并且用作為ARIMA（

11、）模型的噪聲項。1.數(shù)據(jù)描述“上證綜指”全稱“上海證券交易所綜合股價指數(shù)”，是上海證券交易所編制的，以上海證券交易所掛牌的全部股票為計算范圍，以發(fā)行量為權(quán)數(shù)的加權(quán)綜合股價指數(shù)，是國內(nèi)外普遍采用的反映上海股市總體走勢的統(tǒng)計指標(biāo)。該指數(shù)以1990年12月19日為基準(zhǔn)日，基日指數(shù)定為100點，自1991年7月15日開始發(fā)布。該指數(shù)反映上海證券交易所上市的全部A股和全部B股的股份走勢。其計算方法與深綜合指數(shù)大體相同，不同之處在于對新股的處理。在本文中，我們使用上證綜指來表示上海股票市場的走勢情況。因此本文選取2010 年1月1日到2015年4月3日間每交易日的收盤價作為樣本, 樣本數(shù)為1763實證分析

12、的結(jié)果通過R 軟件獲得。主要是研究上證指數(shù)收益率。收益率定義：2.實證分析可以通過ts.plot()函數(shù)和它的差分直方圖可以看出日收益率的波動表現(xiàn)m時變性、突發(fā)性和集簇性特征。圖1：上證綜合指數(shù)日收益率的波動 圖2：上證日收益率差分的直方圖圖3：上證指數(shù)日收益率的時間序列圖，ACF圖調(diào)用fUnitRoots程序包對d.r的單位根檢驗運(yùn)行結(jié)果：Title: Augmented Dickey-Fuller TestTest Results: PARAMETER: Lag Order: 1 STATISTIC: Dickey-Fuller: -44.3511 P VALUE: 0.01 Descri

13、ption: Thu Jul 09 17:45:34 2015 by user: lTitle: Augmented Dickey-Fuller TestTest Results: PARAMETER: Lag Order: 1 STATISTIC: DF: -44.3511 P VALUE: t: 1e-04 n: 2.23e-06 Description: Thu Jul 09 17:45:34 2015 by user: lP值小于0.05，則拒絕原假設(shè)。調(diào)用fBasics程序包對日收益率進(jìn)行正態(tài)性檢驗運(yùn)行結(jié)果：1 0.attr(,method)1 moment kurtosis(d.r

14、)1 2.attr(,method)1 excess jarqueberaTest(d.r)Title: Jarque - Bera Normalality TestTest Results: STATISTIC: X-squared: 299.6294 P VALUE: Asymptotic p Value: |t|)mu 0. 0. 1.09850 0.27199ar1 0. 0. 0.34262 0.73189ma1 -0. 0. -1980.77104 0.00000omega 0. 0. 0.58619 0.55775alpha1 0. 0. 5.16583 0.00000beta1

15、 0. NA NA NARobust Standard Errors: Estimate Std. Error t value Pr(|t|)mu 0. 0. 0.79489 0.42668ar1 0. 0. 0.34926 0.72690ma1 -0. 0. -498.21377 0.00000omega 0. 0. 0.10812 0.91390alpha1 0. 0. 0.74930 0.45367beta1 0. NA NA NALogLikelihood : 3811.512 Information Criteria- Akaike -5.9898Bayes -5.9695Shiba

16、ta -5.9898Hannan-Quinn -5.9822Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals- statistic p-valueLag1 0.1695 0.6805Lag2*(p+q)+(p+q)-15 0.6784 1.0000Lag4*(p+q)+(p+q)-19 3.2843 0.8430d.o.f=2H0 : No serial correlationWeighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals- statistic p-valueLag1 1.27

17、2 0.2595Lag2*(p+q)+(p+q)-15 4.242 0.2254Lag4*(p+q)+(p+q)-19 6.586 0.2363d.o.f=2Weighted ARCH LM Tests- Statistic Shape Scale P-ValueARCH Lag3 0.5752 0.500 2.000 0.4482ARCH Lag5 2.4858 1.440 1.667 0.3735ARCH Lag7 3.9587 2.315 1.543 0.3526Nyblom stability test-Joint Statistic: 40.505Individual Statist

18、ics: mu 0.06091ar1 0.08833ma1 0.40156omega 27.78463alpha1 0.47430Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)Joint Statistic: 1.28 1.47 1.88Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75Sign Bias Test- t-value prob sigSign Bias 0.4532 0.6505 Negative Sign Bias 0.8443 0.3987 Positive Sign Bias 0.7785 0.4364 Joint Ef

19、fect 1.7649 0.6226 Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:- group statistic p-value(g-1)1 20 73.63 2.272e-082 30 84.81 2.244e-073 40 99.54 3.390e-074 50 109.76 1.496e-06Elapsed time : 0. 圖4：日收益率標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖像 圖5：日收益率的QQ圖四、GARCH模型在金融中的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)家在與商業(yè)和金融數(shù)據(jù)打交道的過程中，發(fā)明了GARCH模型，并且其在金融中的應(yīng)用也很廣泛。Bollerslev，Engle和Nelson（1

20、994）的評論文章中列出數(shù)百種參考書目。金融模型諸如CAPM以及布萊克-斯科爾斯模型假定條件方差為常數(shù)。當(dāng)這個假設(shè)不成立時，采用這些模型會導(dǎo)致嚴(yán)重的錯誤。從而，將GARCH誤差包括在內(nèi)的金融模型的普遍原理已成為一個研究的話題。GARCH模型在期權(quán)定價方面的應(yīng)用是一個很有希望的研究領(lǐng)域。Ritchken和Treodr(1999)在假定相對價格為GARCH過程時，采用多項式方法對歐式和美式期權(quán)定價。這種模型是對價格的幾何隨機(jī)游走的概括。在多項式方法中，每個結(jié)論并不像是二叉樹中那樣產(chǎn)生兩個新的節(jié)點，而是2n+1個新的節(jié)點（n1），從而，在每個節(jié)點至少產(chǎn)生3個新的節(jié)點（n=1）。Ritchken以及T

21、revor的算法，它是當(dāng)基礎(chǔ)財產(chǎn)的價格適用GARCH模型時，為期權(quán)定價而采用的一種方法。在GARCH模型下，當(dāng)形成一種期權(quán)定價的方法時，人們可以通過非線性回歸對期權(quán)數(shù)據(jù)建立模型來找出蘊(yùn)含的GARCH參數(shù)。這與尋找布萊克-斯科爾斯模型中隱含的波動率相似，盡管它們之間也存在著不同。其中一個不同是，在布萊克-斯科爾斯模型中，只有一個參數(shù)，常數(shù)波動率。而在GARCH模型中卻有若干個參數(shù)，這些參數(shù)決定條件波動率的演化。另一個不同是布萊克-斯科爾斯模型中每一種期權(quán)都有它各自蘊(yùn)含的波動率 ，使得布萊克-斯科爾斯價格與市場價格幾乎相等。當(dāng)對GARCH模型進(jìn)行擬合時，對應(yīng)于每一個期權(quán)，人們不去尋找其蘊(yùn)含的GAR

22、CH參數(shù)。相反，對于期權(quán)的大集合，蘊(yùn)含的GARCH參數(shù)可以通過最小二乘殘差法得到，這是市場觀測價格與GARCH定價模型給出的價格之間的不同。當(dāng)然，人們可以通過最小二乘殘差法對期權(quán)集中尋求一個單一的蘊(yùn)含的波動率，這是布萊克-斯科爾斯定價與觀測價格之間的區(qū)別。然而，由于波動率，這導(dǎo)致了較大的定價偏差。GARCH定價的成功之處是它解釋了波動率微笑。當(dāng)期權(quán)由GARCH期權(quán)定價模型標(biāo)定價格時，就不存在偏差性了。這是一個很好的指示，它說明了波動率微笑是由于應(yīng)用了具有常熟方差的幾何隨機(jī)游走模型而產(chǎn)生的。五、小結(jié)一個平穩(wěn)的過程的邊緣分布或非條件分布是指該過程中的一個觀測量在未知先前觀測值信息或未來觀測值信息時

23、的分布。在平穩(wěn)性的假設(shè)下，邊緣分布必須時常數(shù)。除去邊緣分布，我們也很關(guān)注下一觀測值在本過程或其他過程中現(xiàn)在值和過去值在當(dāng)前信息集合下的分布情況。對于ARMA過程，條件均值是非常數(shù)，但是條件方差為常數(shù)。ARMA過程的常數(shù)條件方差使得它們不適合對金融市場的波動率進(jìn)行建模。GARCH過程的條件方差為非常數(shù)，它用來對變動的波動率建模。GARCH過程可以作為ARMA過程的“噪聲”項。ARMA/GARCH過程既含有一個非常數(shù)條件方差。GARCH以及ARMA/GARCH過程可以通過極大似然估計對其進(jìn)行估計。最簡單的ARCH（q）模型有突變的波動率進(jìn)行模型。廣義的ARCH（GARCH）模型可以對持久的波動率建

24、模，一個GARCH過程的邊緣分布比正態(tài)分布有厚尾。事實上，對某一確定的參數(shù)值，一個GARCH過程有無限的方差，這是厚尾的一個極端情況。I-GARCH模型是一種具有無限方差的GARCH模型。如果有無限的邊緣分布，那么隨著樣本容量的增加，樣本方差收斂到無窮。對極端厚尾，邊緣期望值可能不存在，那么樣本均值也就不存在收斂點，樣本均值無目的地游動。通過上證股市的波動特征，對每日收益率的研究得到如下一些結(jié)論： （1）上證綜合指數(shù)總體持上升趨勢，收益率浮動較大；（2）上證綜合指數(shù)收益率序列呈右偏尖峰厚尾的分布特征，且顯著異于正態(tài)分布；（3）上證綜合指數(shù)ARCH模型的峰度系數(shù)較大，表明我國股票市場具有較強(qiáng)的投

25、機(jī)色彩，這是一個市場尚不成熟完善的表現(xiàn)，也反映了在我國，人們還未能建立起市場經(jīng)濟(jì)體制下所應(yīng)具備的投資意識；（4）上證綜合指數(shù)呈現(xiàn)出明顯的條件異方差特性，所以應(yīng)用GARCH能成功得出上證指數(shù)收益率的方差波動性的變化規(guī)律；從以上的結(jié)論中可以體會到，我國股票市場的發(fā)展還很不健全，噪音偏多，各種各樣非市場的因素往往左右著市場的整個走勢，這在一個成熟市場是不應(yīng)該出現(xiàn)的，從而充分地說明了我國股市還存在很多弊端，要走上健康規(guī)范的軌道還有一段很長的道路，因此迫切需要社會各界人士的共同努力。對政府而言，仍要大力加強(qiáng)法制法規(guī)的建設(shè)，加強(qiáng)市場監(jiān)管，按照市場經(jīng)濟(jì)的規(guī)律扶植培育股票市場；對廣大投資者而言，要努力提高自身

26、素質(zhì)，減少對股票的盲目僥幸認(rèn)識，培養(yǎng)起應(yīng)有的投資意識；對股市的研究人員，應(yīng)該敞開門路，積極吸收西方發(fā)達(dá)國家成熟股市的先進(jìn)經(jīng)驗和理論，運(yùn)用于我國股票市場，以起到理論帶動實踐發(fā)展的作用。附錄：#取出數(shù)據(jù)data - read.csv(D:xsh.csv)r=data,2#差分做直方圖d.r=diff(r)par(mfrow = c(1, 1)hist(d.r,prob=T,col=0)lines(density(d.r),lty=3)x=seq(-1,1,0.001)lines(x,dnorm(x,mean(d.r),sqrt(var(d.r),lty=1)title(main=(d.r直方圖),line=0.5)legend(-0.06,35,c(樣本密度,正態(tài)密度),lty=c(3,1)#d.r的單位根檢驗library(fUnitRoots)adf.usd=adfTest(d.r)ur.usd=unitrootTest(d.r)#正態(tài)性檢驗library(fBasics)skewness