自動(dòng)控制原理電子教案-控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型課件

1、第二章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,第一節(jié) 概論 第二節(jié) 機(jī)理分析建模方法 第三節(jié) 拉氏變換和傳遞函數(shù) 第四節(jié) 典型環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性 第五節(jié) 系統(tǒng)方框圖等效變換和信號(hào)流圖 第六節(jié) 實(shí)驗(yàn)建模方法 第七節(jié) PID 控制器,第一節(jié) 概論,控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的定義 揭示系統(tǒng)各變量?jī)?nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式和關(guān)系圖表 數(shù)學(xué)模型的類型 靜態(tài)特性模型和動(dòng)態(tài)特性模型 圖，表，表達(dá)式 圖 ： 方框圖，信號(hào)流圖，特性關(guān)系圖 表達(dá)式： 微分方程，傳遞函數(shù)，頻率特性函數(shù)，差分方程 數(shù)學(xué)模型的建立原則 分清主次，合理簡(jiǎn)化，選定類型，整理歸納 數(shù)學(xué)模型的建立方法 分析法： 據(jù)物理化學(xué)規(guī)律推導(dǎo) 實(shí)驗(yàn)法： 據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合,第二節(jié) 機(jī)理分析

2、建模方法,2.2.1 建立模型的方法 2.2.2 建立模型舉例 2.2.2.1 機(jī)械系統(tǒng) 2.2.2.2 電氣系統(tǒng) 2.2.2.3 液力系統(tǒng) 2.2.2.4 熱力系統(tǒng) 2.2.3 物理系統(tǒng)的相似性,2.2.1 建立模型的步驟,劃分系統(tǒng)元件, 確定各元件的輸入和輸出 根據(jù)物理化學(xué)定律列寫(xiě)各元件的動(dòng)態(tài)方程式, 為使問(wèn)題簡(jiǎn)化可忽略次要因素 物理化學(xué)定律例如: 牛頓第一定律,能量守恒定律,基爾霍夫定律,歐姆定律，道爾頓定律 消除元件動(dòng)態(tài)方程式中的中間變量, 推導(dǎo)元件的輸入輸出關(guān)系式 整理出系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系式,2.2.2.1 建模舉例-機(jī)械系統(tǒng),1). 彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng) 已知: 彈簧系數(shù) K ,質(zhì)

3、量 M , 外力F(t) , 阻尼系數(shù) f . 求: 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式. 解: 根據(jù)牛頓第二定律 整理成規(guī)范形式,2.2.2.1 建模舉例-機(jī)械系統(tǒng),2). 彈簧-阻尼系統(tǒng) 已知: 彈簧系數(shù) K , 外力 x , 阻尼系數(shù) f , 位移 y. 求: 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式. 解: 根據(jù)牛頓第三定律 整理成規(guī)范形式,K,f,y,x,2.2.2.1 建模舉例-機(jī)械系統(tǒng),3). 無(wú)固定的彈簧-阻尼-質(zhì)量系統(tǒng) 已知: 彈簧系數(shù) K , 位移 x , 阻尼系數(shù) f , 位移 y, 質(zhì)量 M. 求: 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式. 解: 根據(jù)牛頓第二定律 整理成規(guī)范形式,2.2.2.1 建模舉例-機(jī)械系統(tǒng),4). 機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)

4、已知: 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J , 轉(zhuǎn)矩 T , 摩擦系數(shù) f , 轉(zhuǎn)角 . 求: 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式. 解: 根據(jù)牛頓第二定律,T,f,J,2.2.2.2 建模舉例-電氣系統(tǒng),1). RLC 電路 已知: RLC 電路如圖 . 求: 以U i為輸入，U o為輸出的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式. 解: 根據(jù)基爾霍夫定律 消去中間變量，,Ui,Uo,C,L,R,2.2.2.2 建模舉例-電氣系統(tǒng),2). RC 串并聯(lián)電路 已知: RC 電路如圖 . 求: 以U i為輸入，U o為輸出的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式. 解: 應(yīng)消去中間變量,2.2.2.2 建模舉例-電氣系統(tǒng),2). RC 串并聯(lián)電路(續(xù)),2.2.2.3 建模舉例-液力系

5、統(tǒng),1). 單容水箱 已知: 流入量 Qi, 流出量 Qo, 截面 A; 液位 H 求: 以 Qi 為輸入，H 為輸出的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式. 解: 根據(jù)物質(zhì)守恒定律 或 中間變量為 Qo, 據(jù)流量公式 線性化處理: 規(guī)范化,Qi,Qo,A,H,或,2.2.2.3 建模舉例-液力系統(tǒng),2). 雙容水箱 已知: 流量 Q1,Q2,Q3; 截面 F1,F2; 液位 H1,H2; 液阻 K1,K2 求: 以Q 1為輸入，H2 為輸出的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式.,F1,H1,F2,H2,K1,K2,Q3,Q2,Q1,2.2.2.3 建模舉例-液力系統(tǒng),2). 雙容水箱(續(xù)1) 解: 根據(jù)物質(zhì)守恒定律 和流量近似公式,

6、中間變量為 Q2, Q3, H1, 由(2),(4),或,2.2.2.3 建模舉例-液力系統(tǒng),2). 雙容水箱(續(xù)2),由(1)(5)得,由(3), (5), (6),2.2.2.3 建模舉例-液力系統(tǒng),2) . 雙容水箱(續(xù)3),2.2.2.4 建模舉例-熱力系統(tǒng),1). 絕熱加熱過(guò)程 已知: 進(jìn)熱量 Qi , 出熱量 Qo, 工質(zhì)流量 G , 溫度, 比熱 Cp， 器內(nèi)質(zhì)量 M 求: 以 Qi 為輸入 為輸出的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式. 解: 根據(jù)能量守恒定律,G,Qi,M,Cp,Qo,中間變量為 Qo,2.2.2.4 建模舉例-熱力系統(tǒng),2). 加熱裝置 已知: 進(jìn)熱量 hi , 工質(zhì)流量 q ,

7、 進(jìn)口溫度i, 出口溫度 o, 環(huán)境溫度c, 熱容 C， 進(jìn)口工質(zhì)比熱 Cp ，熱阻 R 求: 絕熱時(shí)和不加熱時(shí)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式. 解: 根據(jù)能量守恒定律,o,hi,C,Cp,Cp,q, i,c,絕熱且不加熱時(shí),絕熱時(shí),2.2.3 物理系統(tǒng)的相似性,物理系統(tǒng)遵循基本的物理定律, 不同的物理系統(tǒng)質(zhì)同形不同, 有相似性. 上述四種物理系統(tǒng)的相似性: 物理系統(tǒng) 勢(shì) 流 阻 容 感 電氣系統(tǒng) U I R C L 液力系統(tǒng) h q R A 熱力系統(tǒng) Q R C 機(jī)械系統(tǒng) F v f K m 利用物理系統(tǒng)的相似性, 可使機(jī)理分析建模工作大為簡(jiǎn)化,第三節(jié) 拉氏變換與傳遞函數(shù),2.3.1 拉普拉斯(Lapla

8、ce )變換 2.3.1.1 定義 2.3.1.2 典型函數(shù)的拉氏變換 2.3.1.3 拉氏變換的性質(zhì)與定理 2.3.1.4 用拉氏變換法求解微分方程 2.3.2 傳遞函數(shù) 2.3.2.1 定義 2.3.2.2 傳遞函數(shù)的求取方法 2.3.2.3 傳遞函數(shù)的性質(zhì),2.3.1 拉普拉斯(Laplace )變換,2.3.1.1 定義 拉氏變換的定義 其中 x(t)-原函數(shù), X(s)-象函數(shù), 復(fù)變量 s = + j 拉氏反變換的定義,2.3.1.2 典型函數(shù)的拉氏變換 1) 單位階躍函數(shù)的拉氏變換 2）單位斜坡函數(shù)的拉氏變換,2.3.1 拉普拉斯(Laplace )變換,或,2.3.1.2 典型

9、函數(shù)的拉氏變換(續(xù)),3)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換,2.3.1.2 典型函數(shù)的拉氏變換(續(xù)),4）正弦函數(shù)的拉氏變換,實(shí)際中的拉氏變換不是推算而是查拉氏變換表,2.3.1.3 拉氏變換的性質(zhì)與定理,1) 線性定理 2) 微分定理 3) 積分定理 4) 終值定理 5) 初值定理 6) 遲延定理 7) 位移定理 8) 卷積定理,2.3.1.3 拉氏變換的性質(zhì)與定理,1) 線性定理 設(shè) (下同) 2) 微分定理,2.3.1.3 拉氏變換的性質(zhì)與定理,2) 微分定理（續(xù)）,各初值為0時(shí),3) 積分定理,2.3.1.3 拉氏變換的性質(zhì)與定理,3) 積分定理（續(xù)）,各初值為0時(shí),2.3.1.3 拉氏變換的性質(zhì)與

10、定理,4）終值定理 5) 初值定理 6) 遲延定理(實(shí)平移定理）,2.3.1.3 拉氏變換的性質(zhì)與定理,7) 位移定理(復(fù)平移定理） 8) 卷積定理,2.3.1.4 用拉氏變換法求解微分方程(1),1) 求解步驟 對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換 求系統(tǒng)輸出變量表達(dá)式 將輸出變量表達(dá)式展開(kāi)為部分分式 查表求各分式的拉氏反變換 整理出方程解 2) 部分分式展開(kāi)法 通分法（適用于簡(jiǎn)單函數(shù)） 例：,2.3.1.4 用拉氏變換法求解微分方程(2),留數(shù)法（適用于復(fù)雜函數(shù)) 設(shè) 零點(diǎn): 極點(diǎn): (1) 當(dāng)F(s)只有相異實(shí)極點(diǎn)時(shí) 根據(jù)復(fù)變函數(shù)留數(shù)定理,2.3.1.4 用拉氏變換法求解微分方程(3),例: 求 的部

11、分分式 解: (2) 當(dāng)F(s)含有共軛復(fù)極點(diǎn)時(shí),2.3.1.4 用拉氏變換法求解微分方程(4),根據(jù)上述方程，令實(shí)部=實(shí)部，虛部=虛部，可解出a1，a2 例: 求 的部分分式 解: 虛部=虛部: 實(shí)部=實(shí)部:,2.3.1.4 用拉氏變換法求解微分方程(5),化簡(jiǎn): 求解得: (3) 當(dāng)F(s)含有重極點(diǎn)時(shí), 設(shè)p1r為重極點(diǎn),2.3.1.4 用拉氏變換法求解微分方程(6),例: 求 的部分分式 解:,2.3.1.4 用拉氏變換法求解微分方程(7),3) 求解微分方程舉例 已知: 求: 解: 對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換,令,2.3.1.4 用拉氏變換法求解微分方程(8),2.3.2 傳遞函數(shù),2.3.2.1 定義 文字定義: 零初始條件下系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比 數(shù)學(xué)式定義: 設(shè)輸入為r(t),輸出為 y(t) ,