高中數(shù)學 2.3.1 數(shù)學歸納法課件 北師大版選修4-5.ppt

1、3數(shù)學歸納法與貝努利不等式,3.1數(shù)學歸納法,對數(shù)學歸納法的理解 (1)數(shù)學歸納法原理: 數(shù)學歸納法原理是設有一個關于正整數(shù)n的命題,若當n取第1個值n0時該命題成立,又在假設當n取第k個值時該命題成立后可以推出n取第k+1個值時該命題成立,則該命題對一切自然數(shù)nn0都成立. (2)數(shù)學歸納法: 數(shù)學歸納法可以用于證明與正整數(shù)有關的命題.證明需要經(jīng)過兩個步驟: 驗證當n取第一個值n0(如n0=1或2等)時命題正確. 假設當n=k時(kN+,kn0)命題正確,證明當n=k+1時命題也正確.在完成了上述兩個步驟之后,就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)都正確.,探究一,探究二,探究三,探究四,

2、探究一用數(shù)學歸納法證明恒等問題 數(shù)學歸納法可以證明與自然數(shù)有關的恒等式問題,證明此類問題的關鍵在于第二步,它有一個基本格式,我們不妨設命題為P(n):f(n)=g(n).其第二步相當于做一道條件等式的證明題,已知:f(k)=g(k),求證:f(k+1)=g(k+1).通?？刹捎玫母袷椒譃槿?(1)找出f(k+1)與f(k)的遞推關系;(2)把歸納假設f(k)=g(k)代入;(3)作恒等變形化為g(k+1).示意圖為:,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,點評 用數(shù)學歸納法證明一個代數(shù)恒等式,解題前先要分析清楚等式兩邊的構成情況.解這

3、類題的關鍵在第二步,將式子轉(zhuǎn)化為與歸納假設的等式結構相同的形式湊假設.然后應用歸納假設,經(jīng)過恒等變形得到結論所需形式湊結論.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究二用數(shù)學歸納法證明整除問題 利用數(shù)學歸納法證明整除性問題時,第二步一般先將n=k+1代入原式,然后將原式作適當?shù)暮愕茸冃?湊出歸納假設,這是證明的關鍵和難點. 典型例題2 求證:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,nN+. 思路分析:對于多項式A,B,如果A=BC,C也是多項式,那么A能被B整除.若A,B都能被C整除,則A+B,A-B也能被C整除. 證明:(1)當n=1時,a1+1+(a+

4、1)21-1=a2+a+1,命題顯然成立.,探究一,探究二,探究三,探究四,(2)假設n=k(kN+,且k1)時,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, 則當n=k+1時, ak+2+(a+1)2k+1 =aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1. 由歸納假設,得上式中的兩項均能被a2+a+1整除,故n=k+1時命題成立. 由(1)(2)知,對nN+,命題成立. 點評 證明整除性問題的關鍵是“湊項”,而采用增項、減項、拆項、

5、因式分解等手段,湊出n=k時的情形,從而利用歸納假設使問題得證.,探究一,探究二,探究三,探究四,變式訓練2求證:對任意正整數(shù)n,34n+2+52n+1能被14整除. 證明:(1)當n=1時,34n+2+52n+1=36+53=854=1461,能被14整除,命題成立. (2)假設當n=k時命題成立,即34k+2+52k+1能被14整除, 那么當n=k+1時, 34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+234+52k+152 =34k+234+52k+134-52k+134+52k+152 =34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52) =34(34k+2+52k+1)-56

6、52k+1. 因為34k+2+52k+1能被14整除,56也能被14整除, 所以34(k+1)+2+52(k+1)+1能被14整除,故命題成立. 由(1)(2)知,命題對任意正整數(shù)n都成立.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究三用數(shù)學歸納法證明幾何問題 對于幾何問題的證明,可以先從有限情形中歸納出一個變化的過程,或者說體會出是怎樣變化的,然后再去證明,也可以用“遞推”的方法來證明.證明的關鍵是尋找f(k+1)與f(k)之間的遞推關系,基本策略是“往后退”,從f(k+1)中將f(k)分離出來. 典型例題3 平面內(nèi)有n個圓,任意兩個圓都相交于兩點,任意三個圓不相交于同一點,求證:這n個圓將平面分

7、成f(n)=n2-n+2個部分(nN+). 思路分析:因為f(n)為n個圓把平面分割成的區(qū)域數(shù),那么再有一個圓和這n個圓相交,就有2n個交點,這些交點將增加的這個圓分成2n段弧,且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二,因此,增加一個圓后,平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n個,即f(n+1)=f(n)+2n. 有了上述關系,數(shù)學歸納法的第二步證明可迎刃而解.,探究一,探究二,探究三,探究四,證明:(1)當n=1時,一個圓將平面分成兩個部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1時命題成立. (2)假設當n=k(kN+,且k1)時命題成立, 即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分, 則當n=k+1時,

8、在k+1個圓中任取一個圓O,剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分,而圓O與k個圓有2k個交點,這2k個點將圓O分成2k段弧,每段弧將原平面一分為二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. 所以當n=k+1時,命題成立. 綜合(1)(2)可知,對一切nN+,命題成立. 點評 證明幾何問題的難點是找出由f(k)到f(k+1)增加了幾個量.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,1 2 3 4,1.下列代數(shù)式中,nN+,則可能被13整除的是() A.n3+5nB.34n+1+52n+1 C.62n-1+1D.42n+1+3n+2 解析:當n=1時,只有D項能被13整除. 答案:D,1 2 3 4,2.凸n邊形有f(n)條