《晶體的特征》PPT課件.ppt

1、固 體 物 理,高 偉 2010.03,1. 黃昆原著，韓汝琦改編，固體物理學(xué)，高等 教育出版社 2. 方俊鑫，陸棟主編，固體物理學(xué)，上海科學(xué) 技術(shù)出版社 3. C. 基泰爾著，項金鐘，吳興惠譯固體物理導(dǎo) 論（原著第八版），化學(xué)工業(yè)出版社 4. N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics, 世界圖書出版公司,主要參考書,第一章 晶體結(jié)構(gòu)和X-射線衍射,第一節(jié) 晶體的特征,1.1.1 固體的分類,1.1.2 晶體的宏觀特性,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.1.1 固體的分類,固體,晶體:,非晶體:,準晶體:,長程有序,不具有長程序的特點,短程有序。,

2、有長程取向性，而沒有長程的平移對稱性。,單晶體,多晶體,至少在微米量級范圍內(nèi)原子排列具有周期性。,長程有序:,1.固體分類(按結(jié)構(gòu)),1.1 晶體的特征,(a)晶體結(jié)構(gòu)的規(guī)則網(wǎng)格,非晶體中原子排列不具有長程的周期性，但基本保留了原子排列的短程序，即近鄰原子的數(shù)目和種類、近鄰原子之間的距離(鍵長)、近鄰原子配置的幾何方位(鍵角)都與晶體相近。,(b)非晶體結(jié)構(gòu)的無規(guī)則網(wǎng)格,(c)Penrose拼接圖案,準晶體具有長程的取向序，但沒有長程的平移對稱序，可以用Penrose拼接圖案顯示其結(jié)構(gòu)特點。,2.晶體的分類,晶 體,按晶胞分立方晶系六方晶系四方晶系三方晶系正交晶系單斜晶系三斜晶系,晶體所具有的

3、自發(fā)地形成封閉凸多面體的能力稱為自限性。,2.晶體的解理性:,晶體沿某些確定方位的晶面劈裂的性質(zhì)，稱為晶體的解理性，這樣的晶面稱為解理面。,1.1.2 晶體的宏觀特性,1.自限性:,晶面的交線稱為晶棱，晶棱互相平行的晶面的組合稱為晶帶，如右圖中a，1，b，2。,互相平行的晶棱的共同方向稱為該晶帶的帶軸，晶軸是重要的帶軸。如右圖中OO,3.晶面角守恒定律：,屬于同一品種的晶體，兩個對應(yīng)晶面間的夾角恒定不變。,石英晶體：,a、b 間夾角總是14147； a、c 間夾角總是11308； b、c 間夾角總是12000。,4.晶體的各向異性,在不同方向上，晶體的物理性質(zhì)不同。,由右圖可以看出，在不同的方

4、向上晶體中原子排列情況不同，故其性質(zhì)不同。,5.晶體的均勻性,晶體中任意兩點(在同一方向上)的物理性質(zhì)相同。,6.晶體的對稱性:,晶體在某幾個特定方向上可以異向同性，這種相同的性質(zhì)在不同的方向上有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)，稱為晶體的對稱性。,7.晶體固定的熔點:,給某種晶體加熱，當加熱到某一特定溫度時，晶體開始熔化，且在熔化過程中保持不變，直到晶體全部熔化，溫度才開始上升，即晶體有固定的熔點。,晶體為什么具有這些宏觀特性呢?,晶體的宏觀特性是由晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性決定的,即晶體的宏觀特性是微觀特性的反映。,自限性、晶面角守恒、解理性、晶體的各向異性、晶體的均勻性、晶體的對稱性、固定的熔點。,晶體的宏觀特

5、性：,第二節(jié) 晶體結(jié)構(gòu),本節(jié)主要內(nèi)容:,1.2.1 晶體結(jié)構(gòu)的周期性,1.2.2 原胞,1.2.3 密堆積、配位數(shù)和致密度,(a)、(b)、(c)為二維晶體結(jié)構(gòu)示意圖，它們有何異同?,1.2 晶體結(jié)構(gòu),1.2.1 晶體結(jié)構(gòu)的周期性,所有晶體的結(jié)構(gòu)可以用晶格來描述，這種晶格的每個格點上附有一群原子，這樣的一個原子群稱為基元，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。,一個理想的晶體是由完全相同的結(jié)構(gòu)單元在空間周期性重復(fù)排列而成的。,1.基元、格點和晶格,在晶體中適當選取某些原子作為一個基本結(jié)構(gòu)單元，這個基本結(jié)構(gòu)單元稱為基元，基元是晶體結(jié)構(gòu)中最小的重復(fù)單元，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。,

6、(1)基元,任何兩個基元中相應(yīng)原子周圍的情況是相同的，而每一個基元中不同原子周圍情況則不相同。,(2)晶格,晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是由一些相同的點子在空間有規(guī)則地做周期性無限分布，通過這些點做三組不共面的平行直線族，形成一些網(wǎng)格，稱為晶格(或者說這些點在空間周期性排列形成的骨架稱為晶格)。,晶格是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象，它忽略了晶體結(jié)構(gòu)的具體內(nèi)容，保留了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。,用矢量表示 格點的排列。,(3)格點,晶格中的點子代表著晶體結(jié)構(gòu)中相同的位置，稱為格點。,一個格點代表一個基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的點子。,晶格+基元=晶體結(jié)構(gòu),2.布拉維晶格、簡單晶格和復(fù)式

7、晶格,(1)布拉維晶格,格點的總體稱為布拉維晶格，這種格子的特點是每點周圍的情況完全相同。,(2)簡單晶格和復(fù)式晶格,簡單晶格：如果晶體由完全相同的一種原子組成，且每個原子周圍的情況完全相同，則這種原子所組成的網(wǎng)格稱為簡單晶格。,復(fù)式晶格：如果晶體由兩種或兩種以上原子組成，同種原子各構(gòu)成和格點相同的網(wǎng)格，稱為子晶格，它們相對位移而形成復(fù)式晶格。,簡單晶格,復(fù)式晶格,在晶格中取一個格點為頂點，以三個不共面的方向上的周期為邊長形成的平行六面體作為重復(fù)單元，這個平行六面體沿三個不同的方向進行周期性平移，就可以充滿整個晶格，形成晶體，這個平行六面體即為原胞，代表原胞三個邊的矢量稱為原胞的基本平移矢量，

8、簡稱基矢。,1.2.2 原胞,在晶格中取一個格點為頂點，以三個不共面的方向上的周期為邊長形成的平行六面體作為重復(fù)單元，這個平行六面體沿三個不同的方向進行周期性平移，就可以充滿整個晶格，形成晶體，這個平行六面體即為原胞，代表原胞三個邊的矢量稱為原胞的基本平移矢量，簡稱基矢。,特點：格點只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點，平均每個固體物理學(xué)原胞包含1個格點。它反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。,構(gòu)造：取一格點為頂點，由此點向近鄰的三個格點作三個不共面的矢量，以此三個矢量為邊作平行六面體即為固體物理學(xué)原胞。,(1)固體物理學(xué)原胞(簡稱原胞),1.原胞的分類,基矢：固體物理學(xué)原胞基矢通常用 表示。,體積

9、為：,原胞內(nèi)任一點的位矢表示為：,在任意兩個原胞的相對應(yīng)點上，晶體的物理性質(zhì)相同。,(2)結(jié)晶學(xué)原胞（簡稱單胞）,構(gòu)造：使三個基矢的方向盡可能地沿著空間對稱軸的方向，它具有明顯的對稱性和周期性。,基矢：結(jié)晶學(xué)原胞的基矢一般用 表示。,特點：結(jié)晶學(xué)原胞不僅在平行六面體頂角上有格點，面上及內(nèi)部亦可有格點。其體積是固體物理學(xué)原胞體積的整數(shù)倍。,體積為：,(3)維格納-塞茨原胞,構(gòu)造：以一個格點為原點，作原點與其它格點連接的中垂面(或中垂線)，由這些中垂面(或中垂線)所圍成的最小體積(或面積)即為W-S原胞。,特點：它是晶體體積的最小重復(fù)單元，每個原胞只包含1個格點。其體積與固體物理學(xué)原胞體積相同。,

10、(1)一維原子鏈,2.幾種晶格的實例,一維單原子鏈,一維雙原子鏈,(2)二維,固體物理學(xué)原胞,維格納-塞茨單胞,(3)三維,立方晶系,布拉維原胞的體積:,設(shè)晶格常量(布拉維原胞棱邊的長度)為a,取 為坐標軸的單位矢量,即立方體邊長為a,(a)簡立方,每個布拉維原胞包含1個格點。,固體物理學(xué)原胞的體積,布拉維晶格(簡單格),平均每個布拉維原胞包含4個格點。,(b)面心立方,固體物理學(xué)原胞的體積,(c)體心立方,平均每個布拉維原胞包含2個格點。,固體物理學(xué)原胞的體積,(a)金剛石結(jié)構(gòu),金剛石結(jié)構(gòu)屬面心立方，每個結(jié)晶學(xué)原胞包含4個格點。,金剛石結(jié)構(gòu)是由兩個面心立方子晶格沿體對角線位移1/4的長度套構(gòu)

11、而成,其布拉維晶格為面心立方。,金剛石結(jié)構(gòu)每個固體物理學(xué)原胞包含1個格點,基元由兩個碳原子組成,位于（000）和 處。,(b)氯化鈉結(jié)構(gòu),氯化鈉結(jié)構(gòu)由兩個面心立方子晶格沿體對角線位移1/2的長度套構(gòu)而成。,Cl-和Na+分別組成面心立方子晶格。,其布拉維晶格為面心立方。,氯化鈉結(jié)構(gòu)屬面心立方。,每個固體物理學(xué)原胞包含1個格點，每個結(jié)晶學(xué)原胞包含4個格點。,氯化鈉的固體物理學(xué)原胞選取方法與面心立方簡單格子的選取方法相同。,基元由一個Cl-和一個Na+組成。,(c)氯化銫結(jié)構(gòu),氯化銫結(jié)構(gòu)是由兩個簡立方子晶格沿體對角線位移1/2的長度套構(gòu)而成。 Cl-和Cs+分別組成簡立方格子，其布拉維晶格為簡立方

12、，氯化銫結(jié)構(gòu)屬簡立方。,每個固體物理學(xué)原胞包含1個格點，每個結(jié)晶學(xué)原胞包含1個格點。基元由一個Cl-和一個Cs+組成。,(d)鈣鈦礦結(jié)構(gòu),鈣鈦礦結(jié)構(gòu)常寫成ABO3的形式。,鋇、鈦和3個氧各組成簡立方子晶格，鈦酸鋇是由5個簡立方子晶格套構(gòu)而成的。,一個晶胞包含1個鋇原子、1個鈦原子和3個氧原子。,鈣鈦礦的氧八面體結(jié)構(gòu),(e)-鎢結(jié)構(gòu),兩個B原子和6個A原子各組成簡立方。,-鎢結(jié)構(gòu)由8個子晶格套構(gòu)而成。,一個晶胞包含2個B原子和6個A原子。,1.2.3 密堆積、配位數(shù)和致密度,1.配位數(shù),一個粒子周圍最近鄰的粒子數(shù)稱為配位數(shù).,它可以描述晶體中粒子排列的緊密程度，粒子排列越緊密，配位數(shù)越大。,2.

13、密堆積,如果晶體由完全相同的一種粒子組成，而粒子被看作小圓球，則這些全同的小圓球最緊密的堆積稱為密堆積。,第一層：每個球與6個球相切，有6個空隙，如編號1,2,3,4,5,6。,第二層：占據(jù)1,3,5空位中心。,第三層：在第一層球的正上方形成ABABAB排列方式。,(1)六角密積,六角密積是復(fù)式格，其布拉維晶格是簡單六角晶格。,(2)立方密積,第一層：每個球與6個球相切，有6個空隙，如編號為1,2,3,4,5,6。,第二層：占據(jù)1，3，5空位中心。,第三層：占據(jù)2，4，6空位中心，按ABCABCABC方式排列，形成面心立方結(jié)構(gòu)，稱為立方密積。,密堆積特點：結(jié)合能低，晶體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定；配位數(shù)最大為1

14、2。,3.配位數(shù)的可能值,配位數(shù)的可能值為：12(密堆積)，8(氯化銫型結(jié)構(gòu))，6(氯化鈉型結(jié)構(gòu))，4(金剛石型結(jié)構(gòu))，3(石墨層狀結(jié)構(gòu))，2(鏈狀結(jié)構(gòu))。,下面以幾個實例來看配位數(shù)與球半徑的關(guān)系。,1 氯化銫型和氯化鈉型結(jié)構(gòu)兩種球的半徑之比。,取大球中心為立方體的頂角，小球位于立方體的中心。,設(shè)大小球半徑分別為R和r，且晶格常量為a。,取配位數(shù)為8的氯化銫型結(jié)構(gòu)。,2 氯化鈉型結(jié)構(gòu),設(shè)大小球半徑分別為R和r，且晶格常量為a，當大小球恰能相切時，,為氯化鈉型結(jié)構(gòu)，配位數(shù)為6。,3.致密度：,如果把等體積的硬球放置在晶體結(jié)構(gòu)中原子所在的位置上，球的體積取得盡可能大，以使最近鄰的球相切，我們把一個

15、晶胞中被硬球占據(jù)的體積和晶胞體積之比稱為致密度(堆積比率或最大空間利用率)。,設(shè)晶格常量為a，原子半徑為R，則,例1：求面心立方的致密度.,N是單胞中原子個數(shù),內(nèi)部原子數(shù),面上原子數(shù),棱上原子數(shù),頂角上原子數(shù),典型的晶體結(jié)構(gòu),(Cu),4,(000),(W),2,(000),CsCl,Cs+ 1,Cl- 1,(000),12,8,8,典型的晶體結(jié)構(gòu),8,(000),4,金剛石,NaCl,Na+ 4,Cl- 4,(000),6,第三節(jié) 晶向、晶面和它們的標志,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.3.1 晶向及晶向指數(shù),1.3.2 晶面及密勒指數(shù),1.3 晶向、晶面和它們的標志,1.3.1 晶向及晶向指數(shù),1.晶

16、向,通過晶格中任意兩個格點連一條直線稱為晶列，晶列的取向稱為晶向，描寫晶向的一組數(shù)稱為晶向指數(shù)(或晶列指數(shù))。,過一格點可以有無數(shù)晶列。,(3)晶列族中的每一晶列上， 格點分布都是相同的；,(4)在同一平面內(nèi)，相鄰晶列間的距離相等。,(1)平行晶列組成晶列族，晶列族包含所有的格點；,(2)晶列上格點分布是周期性的；,晶列的特點,2.晶向指數(shù),如果從晶列上一個格點沿晶向到任一格點的位矢為, 晶列上格點的周期= ?,為固體物理學(xué)原胞基矢,如遇到負數(shù)，將該數(shù)的上面加一橫線。,其中 為整數(shù)，將 化為互質(zhì)的整數(shù) ， 記為 ， 即為該晶列的晶列指數(shù)。,(2)以布拉維原胞基矢表示,如果從晶列上一個格點沿晶向

17、到任一格點的位矢為,其中 為有理數(shù),將 化為互質(zhì)的整數(shù) m,n,p, 記為mnp，mnp即為該晶列的晶列指數(shù).,例1：如圖在立方體中， D是BC的中點，求BE,AD的晶列指數(shù)。,解：,晶列BE的晶列指數(shù)為：,011,AD的晶列指數(shù)為:,求AD的晶列指數(shù)。,注意:,(1)晶列指數(shù)一定是一組互質(zhì)的整數(shù)； (2)晶列指數(shù)用方括號表示 ； (3)遇到負數(shù)在該數(shù)上方加一橫線。,(4)等效晶向。,在立方體中有，沿立方邊的晶列一共有6個不同的晶向，由于晶格的對稱性，這6個晶向并沒有什么區(qū)別，晶體在這些方向上的性質(zhì)是完全相同的，統(tǒng)稱這些方向為等效晶向，寫成。,1.3.2 晶面及密勒指數(shù),在晶格中，通過任意三個

18、不在同一直線上的格點作一平面，稱為晶面，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為晶面指數(shù)。,1.晶面,(1)平行的晶面組成晶面族，晶面族包含所有格點；,(3)同一晶面族中的每一晶面上，格點分布(情況)相同；,(4)同一晶面族中相鄰晶面間距相等。,(2)晶面上格點分布具有周期性；,2.晶面指數(shù),晶面方位,晶面的法線方向(法線方向與三個坐標軸夾角),晶面在三個坐標軸上的截距,(1)以固體物理學(xué)原胞基矢表示,如圖取一格點為頂點，原胞的三個基矢 為坐標系的三個軸，設(shè)某一晶面與三個坐標軸分別交于A1,A2,A3,設(shè)晶面的法線ON交晶面A1A2A3于N，ON長度為d，d為該晶面族相鄰晶面間的距離，為整數(shù)，該晶面法線方向的

19、單位矢量用 表示，則晶面A1A2A3的方程為：,取 為天然長度單位，則得：,晶面的法線方向與三個坐標軸(基矢)的夾角的余弦之比，等于晶面在三個軸上的截距的倒數(shù)之比。,可以證明：r,s,t必是一組有理數(shù)-阿羽依的有理數(shù)定理。,(2)同一晶面族中的晶面平行且相鄰晶面間距相等,故在原點與基矢的末端間一定只有整數(shù)個晶面。,(1)所有格點都包容在一族晶面上；因此給定晶面族中必有一個晶面通過坐標系的原點；在基矢 末端上的格點也一定落在該晶面族的晶面上；,取 為天然長度單位得：,又,晶面的法線與三個基矢的夾角余弦之比等于三個整數(shù)之比。,可以證明h1，h2，h3一定是互質(zhì)的，稱它們?yōu)樵摼孀宓拿嬷笖?shù)，記為(h

20、1h2h3 ) 。,任一晶面在坐標軸上的截距r，s，t必是一組有理數(shù)。,因為h1、h2、h3為整數(shù)，所以r、s、t必為有理數(shù)。,綜上所述，晶面指數(shù)(h1h2h3 )表示的意義是；,(3)晶面的法線與基矢夾角的方向余弦的比值。,(2)以 為各軸的長度單位所求得的晶面在坐標軸上的截距倒數(shù)的互質(zhì)比；,(1)基矢 被平行的晶面等間距的分割成h1、h2、h3 等份；,例2：如圖所示 ，I和H分別為BC，EF之中點，試求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密勒指數(shù)。,AEG ABCD DIHG,1,1,1,1,2,1,在三個坐標軸上的截距,1:1:1,(hkl),(111),(001),(120),

21、AEG 的密勒指數(shù)是(111)；,OEFG的密勒指數(shù)是(001)；,DIHG的密勒指數(shù)是(120)。,例3: 在立方晶系中畫出(210)、 晶面。,晶面在三個坐標軸上的截距分別為：,1,(210),1,1,密勒指數(shù)是(210) 的晶面是ABCD面；,第四節(jié) 倒格,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.4.1 倒格定義,1.4.3 倒格與傅里葉變換,1.4.2 倒格與正格的關(guān)系,1.4 倒格,倒格,正格（點位）矢：,倒格基矢,倒格（點位）矢：,晶體結(jié)構(gòu)=晶格+基元,正格基矢,正格,一個晶體結(jié)構(gòu)有兩個格子，一個是正格，另一個為倒格。,1.4.1 倒格定義,倒格基矢定義為：,其中 是正格基矢，,是固體物理學(xué)原胞體積,

22、倒格基矢的方向和長度如何呢？,一個倒格基矢是和正格原胞中一組晶面相對應(yīng)的，它的方向是該晶面的法線方向，它的大小則為該晶面族面間距倒數(shù)的2倍。,1.4.2 倒格與正格的關(guān)系,其中 分別為正格點位矢和倒格點位矢。,4.倒格矢 與正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其長度為 。,設(shè)ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點最近的晶面，,ABC在基矢 上的 截距分別為 。,由圖可知：,(2)證明 的長度等于 。,由平面方程： 得：,在晶胞坐標系 中，,1.4.3 倒格與傅里葉變換,在任意兩個原胞的相對應(yīng)點上，晶體的物理性質(zhì)相同。,上式兩邊分別按傅里葉級數(shù)展開：,是正格矢。,一定是倒格矢。,晶體結(jié)構(gòu),1.

23、,1.,2.與晶體中原子位置 相對應(yīng)；,2.與晶體中一族晶面相對應(yīng)；,3.是與真實空間相聯(lián)系的傅里葉空間中點的周期性排列；,3.是真實空間中點的周期性排列；,4.線度量綱為長度,4.線度量綱為長度-1,已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？,晶體結(jié)構(gòu),正格,正格基矢,倒格基矢,倒格,例1：下圖是一個二維晶體結(jié)構(gòu)圖，試畫出其倒格點的排列。,倒格是邊長為的正方形格子。,例2：證明體心立方的倒格是面心立方。,倒格矢：,同理得：,體心立方的倒格是邊長為4/a的面心立方 。,例3：證明簡立方晶面(h1h2h3)的面間距為,證明：,簡立方：,法一：,法二：,設(shè)ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點最近的晶面，,AB

24、C在基矢 上的截距分別為 ，,由平面方程 得：,對于立方晶系：,且：,第五節(jié) 晶體的對稱性,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.5.1 對稱性與對稱操作,1.5.2 晶系和布拉維原胞,1.5.1 對稱性與對稱操作,對稱操作所依賴的幾何要素。,1.對稱操作與線性變換,經(jīng)過某一對稱操作，把晶體中任一點 變?yōu)?可以用線性變換來表示。,1.5 晶體的對稱性,對稱性：,經(jīng)過某種動作后，晶體能夠自身重合的特性。,對稱操作：,使晶體自身重合的動作。,對稱素：,操作前后，兩點間的距離保持不變，,O點和X點間距與O點和 點間距相等。,I為單位矩陣，即：,或者說A為正交矩陣，其矩陣行列式 。,2.簡單對稱操作(旋轉(zhuǎn)對稱、中心反映

25、、鏡象、旋轉(zhuǎn)反演對稱),(1)旋轉(zhuǎn)對稱(Cn,對稱素為線),若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)對稱軸。,下面我們計算與轉(zhuǎn)動對應(yīng)的變換矩陣。,當OX繞Ox1轉(zhuǎn)動角度時，圖中,若OX在Ox2x3平面上投影的長度為R，則,晶體中允許有幾度旋轉(zhuǎn)對稱軸呢?,設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶面上的一個晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個格點。,若晶體繞通過格點A并垂直于紙面的u軸順時針轉(zhuǎn)角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過格點B也有一轉(zhuǎn)軸u。,是 的整數(shù)倍，,相反若逆時針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則,是 的整數(shù)倍，,晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。,綜合上述證明得：,正

26、五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)720恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列充滿一個平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對稱軸。,(2)中心反映(i，對稱素為點),取中心為原點，經(jīng)過中心反映后，圖形中任一點,變?yōu)?(3)鏡象(m，對稱素為面),如以x3=0面作為對稱面，鏡象是將圖形的任何一點,變?yōu)?(4)旋轉(zhuǎn)-反演對稱,若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后，再經(jīng)過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸。,旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸只能有1，2，3，4，6度軸。,旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸用 表示。,旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：,正四面體既無四度軸也無對稱心,1，

27、2，3，4，6 度旋轉(zhuǎn)對稱操作。,1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對稱操作。,(3)中心反映：i。,(4)鏡象反映：m。,C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符號表示）,S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號表示）,點對稱操作：,(2)旋轉(zhuǎn)反演對稱操作：,(1)旋轉(zhuǎn)對稱操作：,獨立的對稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。,立方體對稱性,(1)立方軸C4：,3個立方軸；,4個3度軸；,(2)體對角線C3：,(3)面對角線C2：,6個2度軸；,與4度軸正交的對稱面,與2度軸正交的對稱面,所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合

28、來完成。一個晶體的全部對稱操作構(gòu)成一個群，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點對稱操作構(gòu)成的群，稱作點群。,理論證明，所有晶體只有32種點群，即只有32種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。,如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。,（5）n度螺旋軸：若繞軸旋轉(zhuǎn)2/n角以后，再沿軸方向平移l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期， l是小于n的整數(shù)。 n只能取1、2、3、4、6。,（6）滑移反映面：若經(jīng)過某面進行鏡象操作后

29、，再沿平行于該面的某個方向平移T/n后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。 T是平行方向的周期， n可取2或4。,點對稱操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)有230種空間群，即有230種對稱類型。,1.5.2 晶系和布拉維原胞,根據(jù)不同的點對稱性，將晶體分為7大晶系，14種布拉維晶格。,7大晶系的特征及布拉維晶格如下所述：,1.三斜晶系：,2.單斜晶系：,3.三角晶系：,簡單三斜(1),簡單單斜(2),底心單斜(3),三角(4),4.正交晶系：,簡單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8),5.四角系： (正方晶系),簡單四角(9)，體心四角(10),6.六角晶系：,六角

30、(11),7.立方晶系：,簡立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14),簡單三斜(1),簡單單斜(2),底心單斜(3),1.三斜晶系：,2.單斜晶系：,3.三角晶系：,三角(4),4.正交晶系：,簡單正交(5),底心正交(6),體心正交(7),面心正交(8),5.四角系：(正方晶系),體心四角(10),簡單四角(9),6.六角晶系：,六角(11),7.立方晶系：,簡立方(12),體心立方(13),面心立方(14),第六節(jié) 晶體的X射線衍射,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.6.1 晶體衍射的基本方法,1.6.3 晶體X射線衍射的幾種方法,1.6.2 X射線衍射方程,1.6.4 原子散射因子和幾何結(jié)構(gòu)因

31、子,1.6.1 晶體衍射的基本方法,1.6 晶體衍射,1.X射線衍射,(nm),X射線是由被高電壓V加速了的電子，打擊在“靶極”物質(zhì)上而產(chǎn)生的一種電磁波。,nm,在晶體衍射中，常取U-40千伏，所以-0.03nm 。,(nm),nm,2.電子衍射,電子波受電子和原子核散射，散射很強透射力較弱，電子衍射主要用來觀察薄膜。,3.中子衍射,中子主要受原子核的散射，輕的原子對于中子的散射也很強，所以常用來決定氫、碳在晶體中的位置。,中子具有磁矩，尤其適合于研究磁性物質(zhì)的結(jié)構(gòu)。,1.布拉格反射公式,衍射加強的條件：,n為整數(shù)，稱為衍射級數(shù)。,1.6.2 X射線衍射方程,是否可以用可見光進行晶體衍射呢？,

32、不能用可見光進行晶體衍射。,由上式可以看出：,，,設(shè)X射線源和晶體的距離以及觀測點和晶體的距離都比晶體線度大得多。,(1)入射線和衍射線為平行光線；,(2)略去康普頓效應(yīng)；,(3) 分別為入射和衍射線方向的單位矢量；,(4)只討論布拉維晶格。,2.勞厄衍射方程,波程差,衍射加強條件為：,-勞厄衍射方程,設(shè)A為任一格點，格矢,波矢,面指數(shù)，,衍射面指數(shù)。,3.反射公式與衍射方程是等價的,4.反射球,則 必落在以 和 的交點C為中心，2/為半徑的球面上，反之，落在球面上的倒格點必滿足，這些倒格點所對應(yīng)的晶面族將產(chǎn)生反射，所以這樣的球稱為反射球。,反射球中心C并非倒格點位置，O為倒格點。,如何作反射

33、球呢?,若,設(shè)入射線沿CO方向，取線段 ，其中是所用單色X射線的波長，再以C為心，以 為半徑所作的球就是反射球。,O、P、Q是反射球上的倒格點， CO是X射線入射方向，則CP是以O(shè)P為倒格矢的一族晶面(h1h2h3)的反射方向，OP間無倒格點,所以CP方向的反射是n=1的一級衍射。,而OQ聯(lián)線上還有一倒格點，所以CQ方向的反射是二級衍射。,問題：,如果入射方向一定， 波長一定，一族晶面是否可能同時產(chǎn)生不同的反射級呢？,1.6.3 晶體X射線衍射的幾種方法,1.勞厄法,(1)單晶體不動，入射光方向不變；,(2)X射線連續(xù)譜，波長在 間變化，反射球半徑 。,在紅色區(qū)域的倒格點和各球心的連線都表示晶

34、體可以產(chǎn)生反射的方向(衍射極大方向)。,倒格點的分布,衍射斑點分布,倒格點對稱性,晶格的對稱性,當X光入射方向與晶體的某對稱軸平行時，勞厄衍射斑點具有對稱性。,衍射斑點與倒格點相對應(yīng)。,2.轉(zhuǎn)動單晶法,(1)X射線是單色的；,(2)晶體轉(zhuǎn)動。,用勞厄法可確定晶體的對稱性,CO為入射方向,晶體在O點處,晶體轉(zhuǎn)動,倒格轉(zhuǎn)動,反射球繞過O的軸轉(zhuǎn)動,CP的方向即為反射線的方向,實際反射線是通過晶體O的,反射線構(gòu)成以轉(zhuǎn)軸為軸的一系列圓錐,在圓筒形底片上衍射斑點形成一系列直線,由直線間距計算晶格常量,根據(jù)衍射斑點間的距離可以求晶體的晶格常量。,3.粉末法,(1)X射線單色(固定)；,(2)樣品為取向各異的

35、單晶粉末。,由于樣品對入射線方向是“軸對稱”的，不同晶面族的衍射線構(gòu)成不同圓錐。衍射線與圓筒形相交，形成圖示衍射條紋。,據(jù)不同的晶面族的衍射條紋位置和波長，可求出晶面族面間距，進而確定晶格常量。,例1：設(shè)有某一晶體具有簡單正交格子的結(jié)構(gòu)，其棱邊長度分別為a、b、c，現(xiàn)在沿該晶體的1，0，0方向入射X射線。（1）確定在哪些方向上出現(xiàn)衍射極大？并指出在什么樣的波長下，能觀察到這些衍射極大。（2）如果采用勞厄法作X-射線衍射實驗，請指出衍射斑點的分布。,解：,簡單正交格子正格基矢：,表示沿三個坐標軸方向的單位矢量。,其倒格基矢：,倒格矢：,據(jù)題意，入射的X射線的波矢,設(shè)衍射波矢為,（衍射前后波長保持

36、不變）,簡單正交格子正格基矢：,由勞厄衍射方程：,得：,（2）由波長一式可以看出，如果（nh,nk,nl）滿足衍射極大的話，那么 也滿足衍射極大。,與 對應(yīng)的衍射方向表示成 。,它們是以1，0，0為軸二度旋轉(zhuǎn)對稱的，所以其衍射斑點將呈現(xiàn)出二度旋轉(zhuǎn)對稱性。,1.6.4 原子散射因子和幾何結(jié)構(gòu)因子,X射線與晶體相互作用,X射線受原子散射,X射線受原子中電子的散射,各原子的散射波間相互干涉,某些方向干涉極大某些方向干涉極小,原子散射因子,幾何結(jié)構(gòu)因子,原子內(nèi)每個電子對X射線散射波振幅Ae,原子內(nèi)所有電子對X射線散射波振幅Aa,原子散射因子f=Aa/Ae,1.原子散射因子,(1)定義,原子內(nèi)所有電子的

37、散射波的振幅的幾何和與一個電子的散射波的振幅之比稱為該原子的散射因子。,(2)計算,為原子中某一點P的位矢，,設(shè)O處一個電子在觀測點產(chǎn)生的振幅為Ae，則P點的一個電子在觀測點產(chǎn)生的振幅就是：,和 分別為入射方向和散射方向的單位矢量，則P點和O點散射波之間的位相差為：,為電子分布函數(shù)(概率密度)， 在P點附近體積元d內(nèi)的電子個數(shù)為： 。,這 個電子在觀測點產(chǎn)生的振幅就是：,原子中所有電子引起的散射波在觀察點的總振幅為：,原子散射因子：,討論：,(1)因為 一定， 只依賴于散射方向，因此，散射因子是散射方向的函數(shù)；,(2)不同原子， 不同，因此，不同原子具有不同的散射因子；,(3),原子所引起的散

38、射波的總振幅也是散射方向的函數(shù)，也因原子而異。,若電子分布函數(shù)是球面對稱的，,當,沿入射方向，原子散射波的振幅等于各個電子散射波的振幅的代數(shù)和。,由傅里葉逆變換得：,實驗測知原子散射因子，可求出電子在原子內(nèi)的分布。,2.幾何結(jié)構(gòu)因子,總的衍射強度取決于兩個因素：,(1)各衍射極大的位相差； (2)各衍射極大的強度。,-各子晶格的相對位置。,-不同原子的散射因子。,(1)定義,原胞內(nèi)所有原子的散射波，在所考慮方向上的振幅與一個電子的散射波的振幅之比。,(2)計算,設(shè)原胞內(nèi)有n個原子，它們的位矢分別為,位矢為 的原子和原點處的原子的散射波的位相差為：,在所考慮方向上,幾何結(jié)構(gòu)因子為,例2：面心立方

39、晶格的幾何結(jié)構(gòu)因子。,得：,當 部分為奇數(shù)或部分為偶數(shù)時，幾何結(jié)構(gòu)因子為零，相應(yīng)的反射消失。,例3： 金剛石結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)因子,金剛石結(jié)構(gòu)平均每個布拉維原胞包含8個原子，將其坐標：,代入,S1正是在面心立方格點上所放置的基元 的結(jié)構(gòu)因子 。,A離子坐標為 ,B離子坐標為,(3),對應(yīng)于最小的衍射角=300，,例5：采用轉(zhuǎn)動單晶法對某一具有簡單四角格子結(jié)構(gòu)的單晶體作X射線衍射實驗，晶體繞四度旋轉(zhuǎn)軸-C軸進行轉(zhuǎn)動，波長= 0. 1542nm的X射線沿著垂直于C軸的方向入射。感光膠卷的半徑r=3cm。第0層線上的衍射斑點離中心點(即入射線的斑點)的距離分別為0.54，0.75，1.08，1.19，1

40、.52，1.63，1.71，1.97cm。而第1層線與第0層線間的距離為0.66cm。試求該晶體的晶格常量a和c。,解：四方晶系：,正格基矢：,倒格基矢：,中心點,第0層,第1層,(1)求c：,第0層,第1層,第2層,第0層線上的截面圖,(2)求a：,1,例6：已知Ta晶體屬于立方晶系，現(xiàn)以波長 =0.15405nm的X射線對Ta晶體粉末作德拜法(粉末法)衍射實驗，假設(shè)膠卷的半徑r=5cm。在膠卷上測得一系列衍射譜線，其中離中心點最近的5條譜線離中心點的距離分別如下表所示：,(1)決定Ta晶體屬于體心立方結(jié)構(gòu)還是面心立方結(jié)構(gòu)；,(2)求出Ta晶體的晶格常量。,解：(1)確定結(jié)構(gòu)：,對于立方晶系

41、：,正格基矢：,倒格基矢：,r=5cm.,1,Ta晶體屬于什么結(jié)構(gòu)呢?,考慮到幾何結(jié)構(gòu)因子：,對于體心立方必須滿足：nh+nk+nl=偶數(shù)。,對于面心立方必須滿足：nh，nk，nl全為奇數(shù)或全為偶數(shù)。,Ta晶體屬于體心立方結(jié)構(gòu)。,由 值比較可知，Ta晶體屬于體心立方結(jié)構(gòu)。,1,(2)求a：,/度,sin,第一章 晶體結(jié)構(gòu)和X-射線衍射 總 結(jié),晶體的特征,晶體結(jié)構(gòu)及其描述,晶體的對稱性,倒格,晶體X射線衍射,晶體的特征,1.微觀特征,固體分類 (按結(jié)構(gòu)),晶體：,非晶體：,準晶體：,長程有序,不具有長程序的特點，短程有序。,有長程取向性,而沒有長程的平移對稱性。,單晶體,多晶體,至少在微米量級

42、范圍內(nèi)原子排列具有周期性。,長程有序：,晶體的宏觀特性是由晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性決定的，即晶體的宏觀特性是微觀特性的反映。,自限性、晶面角守恒、解理性、均勻性、晶體的各向異性、對稱性、固定的熔點。,2.宏觀特征,一個理想的晶體是由完全相同的結(jié)構(gòu)單元在空間周期性重復(fù)排列而成的。所有晶體結(jié)構(gòu)可以用晶格來描述，這種晶格的每個格點上附有一群原子，這樣的一個原子群稱為基元,基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。,1.晶格+基元=晶體結(jié)構(gòu),晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是由一些相同的點子在空間有規(guī)則地做周期性無限分布，這些點子的總體稱為晶格。,(1)晶格,晶體結(jié)構(gòu)及其描述,一、晶體結(jié)構(gòu),晶格中的點子代表著晶體結(jié)

43、構(gòu)中相同的位置，稱為格點。一個格點代表一個基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的點子。,在晶體中適當選取某些原子作為一個基本結(jié)構(gòu)單元，這個基本結(jié)構(gòu)單元稱為基元?；诳臻g周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。,(2)基元,(3)格點,晶格+基元=晶體結(jié)構(gòu),基矢：固體物理學(xué)原胞基矢通常用 表示。,特點：格點只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點，平均每個固體物理學(xué)原胞包含1個格點。它反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。,1.固體物理學(xué)原胞(簡稱原胞),構(gòu)造：取一格點為頂點，由此點向近鄰的三個格點作三個不共面的矢量，以此三個矢量為邊作平行六面體即為固體物理學(xué)原胞。,體積：,二、原胞的分類,2.結(jié)晶

44、學(xué)原胞（單胞、晶胞、慣用晶胞）,構(gòu)造：使三個基矢的主軸盡可能地沿空間對稱軸的方向。它具有明顯的對稱性和周期性。,基矢：結(jié)晶學(xué)原胞的基矢一般用 表示。,特點：結(jié)晶學(xué)原胞不僅在平行六面體頂角上有格點，面上及內(nèi)部亦可有格點。其體積是固體物理學(xué)原胞體積的整數(shù)倍。,體積：,特點：它是晶體體積的最小重復(fù)單元，每個原胞只包含1個格點。,3.維格納-塞茨原胞,構(gòu)造：以一個格點為原點，作原點與其它格點連線的中垂面(或中垂線)，由這些中垂面(或中垂線)所圍成的最小體積(或面積)即為W-S原胞。,體積：與固體物理學(xué)原胞體積相同。,通過晶格中任意兩個格點連一條直線稱為晶列，晶列的取向稱為晶向，描寫晶向的一組數(shù)稱為晶向指數(shù)(或晶列指數(shù))。,在晶格中，通過任意三個不在同一直線上的格點作一平面，稱為晶面，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為晶面指數(shù)。,三、晶列及晶面,1.晶列及晶