定積分2011.ppt

1、,6.4 定積分的應(yīng)用,6.5 廣義積分初步,6.3 定積分的計(jì)算法,6.1 定積分的概念及性質(zhì),6.2 微積分基本定理,第六章,定積分,一、 定積分的定義,二、 定積分的性質(zhì),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,6.1 定積分的概念及性質(zhì),第六章,一、定積分定義,任意分法,任取,總趨于確定的極限 I ,則稱(chēng)此極限 I 為函數(shù),在區(qū)間,上的定積分,即,此時(shí)稱(chēng) f ( x ) 在 a , b 上可積 .,記作,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分,變量用什么字母表示無(wú)關(guān) ,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定積分的幾何意義:,曲邊梯形面積,曲邊梯

2、形面積的負(fù)值,各部分面積的代數(shù)和,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,可積的充分條件:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、定積分的性質(zhì),(設(shè)所列定積分都存在),( k 為常數(shù)),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,6. 若在 a , b 上,則,推論1. 若在 a , b 上,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,7. 設(shè),則,8. 積分中值定理,則至少存在一點(diǎn),使,性質(zhì)7 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、牛頓 萊布尼茲公式,一、變上限積分函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,6.2 微積分基本公式,第六章,一、變上限積分函數(shù),則變上限函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定

3、理1. 若,即,變限積分求導(dǎo)公式：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,（重點(diǎn)）,（1）,（2）,（3）,例1 求,解,例3. 求,解:,原式,說(shuō)明 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2：求,解：,例4：求,解:,原式,解:,原式,二、牛頓 萊布尼茲公式,( 牛頓 - 萊布尼茲公式),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理2.,函數(shù) ,則,牛頓萊布尼茨公式提供了計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便的 基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù) f(x) 的一個(gè)原函數(shù)F(x)，然后計(jì)算原函數(shù)在區(qū)間a,b上的 增量F(b)F(a)即可.該公式把計(jì)算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問(wèn)題，揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系.,例

4、5. 計(jì)算,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,練習(xí)二,例1：求,例2：設(shè),求,例3：,二、定積分的分部積分法,不定積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、定積分的換元法,換元積分法,分部積分法,定積分,換元積分法,分部積分法,6.3 定積分的計(jì)算法,第六章,一、定積分的換元法 （重點(diǎn)）,定理1. 設(shè)函數(shù),單值函數(shù),滿足:,1),2) 在,上,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,則,注意：,1)定積分的換元法在換元后，積分上，下限也要作相應(yīng)的變換，即“換元必?fù)Q限”.,（代換法）,2) 換元公式也可反過(guò)來(lái)使用 , 即,或配元,配元不換限,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,（湊微分）

5、,例1. 計(jì)算,解: 令,則, 原式 =,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,且,例2：求,解：,方法二：,例3 求,解,例4.,證（不要求）,(1) 若,(2) 若,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,偶倍奇零,為偶函數(shù)，,為奇函數(shù)，,例5：（1）,(2),(3),（提示：利用“偶倍奇零”的性質(zhì)。）,例5：（1）,(2),例5：（1）,二、定積分的分部積分法 （重點(diǎn)）,定理2.,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,或,例6. 計(jì)算,解:,原式 =,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7：求,解：,例8: 求,解:,練習(xí)三,求下列積分：,二、 旋轉(zhuǎn)體的體積,一、 平面圖形的面積,機(jī)動(dòng) 目

6、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,6.4 定積分的應(yīng)用,第六章,一、平面圖形的面積（重點(diǎn)）,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 計(jì)算兩條拋物線,在第一象限所圍,圖形的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),所圍圖形,為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺(tái),二、旋轉(zhuǎn)體的體積（重點(diǎn)）,問(wèn)題1：連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有,問(wèn)題2：連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw

7、體積時(shí),有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 計(jì)算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,成的橢球體的體積.,解:,則,(利用對(duì)稱(chēng)性),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,練習(xí)四,例1：求由曲線,和直線,圍成的平面圖形面積。,例2：求由,所圍圖形的面積及其繞 軸旋轉(zhuǎn)體體積。,例3：求由曲線,所圍圖形繞 軸和 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積。,二、無(wú)界函數(shù)的反常積分（不要求）,常義積分,積分限有限,被積函數(shù)有界,推廣,一、無(wú)窮限的反常積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,反常積分,(廣義積分),6.5 廣義（反常）積分初步,第六章,定義1. 設(shè),若,存在 ,則稱(chēng)此極限為 f (x) 的無(wú)窮限反常積分,記作,這時(shí)稱(chēng)反常積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,就稱(chēng)反常積分,發(fā)散 .,類(lèi)似地 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、無(wú)窮限的反常積分,則定義,( c 為任意取定的常數(shù) ),只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱(chēng),發(fā)散 .,無(wú)窮限的反常積分也稱(chēng)為第一類(lèi)反常積分.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,引入記號(hào),則有類(lèi)似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 計(jì)算反常積分,例2. 證明第一類(lèi) p 積分,證:當(dāng) p =1 時(shí)有,當(dāng) p 1 時(shí)有,當(dāng) p