高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3 模擬方法——概率的應(yīng)用教案 北師大版必修

1、3 模擬方法概率的應(yīng)用整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 這部分是新增加的內(nèi)容.介紹幾何概型主要是為了更廣泛地滿足隨機(jī)模擬的需要,但是對(duì)幾何概型的要求僅限于初步體會(huì)幾何概型的意義,所以教科書中選的例題都是比較簡單的.隨機(jī)模擬部分是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容.幾何概型是另一類等可能概型,它與古典概型的區(qū)別在于試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè),利用幾何概型可以很容易舉出概率為0的事件不是不可能事件的例子,概率為1的事件不是必然事件的例子. 本節(jié)的教學(xué)需要一些實(shí)物模型為教具,教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作,以使學(xué)生相信模擬結(jié)果的真實(shí)性,然后再通過計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn),得到模擬的結(jié)果.在這個(gè)過程中,要讓學(xué)生體會(huì)結(jié)果的隨機(jī)

2、性與規(guī)律性,體會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,結(jié)果的精度會(huì)越來越高. 幾何概型也是一種概率模型,它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè).它的特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布,所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀、位置無關(guān),只與該區(qū)域的大小有關(guān).如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn),由于單點(diǎn)的長度、面積、體積均為0,則它出現(xiàn)的概率為0,但它不是不可能事件;如果一個(gè)隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn),則它出現(xiàn)的概率為1,但它不是必然事件.三維目標(biāo)1.通過師生共同探究,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成,正確理解幾何概型的概念；掌握幾何概型的概率公式： P(A)=,學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的

3、聯(lián)系,培養(yǎng)邏輯推理能力.2.本節(jié)課的主要特點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)多,學(xué)習(xí)時(shí)養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣,會(huì)根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型,會(huì)進(jìn)行簡單的幾何概率計(jì)算,培養(yǎng)學(xué)生從有限向無限探究的意識(shí).重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解幾何概型的定義、特點(diǎn),會(huì)用公式計(jì)算幾何概率.教學(xué)難點(diǎn)：等可能性的判斷與幾何概型和古典概型的區(qū)別.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1. 復(fù)習(xí)古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)：(1)所有的基本事件只有有限個(gè);(2)每個(gè)基本事件發(fā)生都是等可能的.那么對(duì)于有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢?為此我們學(xué)習(xí)幾何概型.思路2. 圖1中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,

4、規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少?圖1 為解決這個(gè)問題,我們學(xué)習(xí)幾何概型.思路3.在概率論發(fā)展的早期,人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的,還必須考慮有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況.例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00至9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子,石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個(gè).這就是我們要學(xué)習(xí)的幾何概型.推進(jìn)新課新知探究提出問題(1)隨意拋擲一枚均勻硬幣兩次,求兩次出現(xiàn)相同面的概率？(2)試驗(yàn)1.取一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷.問剪得兩段的長都不小于1

5、 m的概率有多大？試驗(yàn)2.射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán).從外向內(nèi)為白色,黑色,藍(lán)色,紅色,靶心是金色,金色靶心叫“黃心”.奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運(yùn)動(dòng)員在70 m外射箭,假設(shè)射箭能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的.問射中黃心的概率為多少？(3)問題(1)(2)中的基本事件有什么特點(diǎn)?兩事件的本質(zhì)區(qū)別是什么?(4)什么是幾何概型?它有什么特點(diǎn)?(5)如何計(jì)算幾何概型的概率?有什么樣的公式?(6)古典概型和幾何概型有什么區(qū)別和聯(lián)系?活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)問題思考討論,回顧古典概型的特點(diǎn),把問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識(shí)解決,教師引導(dǎo)學(xué)生比較概括.討論結(jié)果：(1)硬幣落地后會(huì)出

6、現(xiàn)四種結(jié)果：分別記作(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反).每種結(jié)果出現(xiàn)的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=.兩次出現(xiàn)相同面的概率為+=.(2)經(jīng)分析,第一個(gè)試驗(yàn),從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn). 第二個(gè)試驗(yàn)中,射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)基本事件,這一點(diǎn)可以是靶面直徑為122 cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn). 在這兩個(gè)問題中,基本事件有無限多個(gè),雖然類似于古典概型的“等可能性”,但是顯然不能用古典概型的方法求解. 考慮第一個(gè)問題,如圖2,記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一

7、段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的,圖2于是事件A發(fā)生的概率為P(A)=.第二個(gè)問題,如圖3,記“射中黃心”為事件B,由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為1222 cm2的大圓內(nèi),而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為12.22 cm2的黃心內(nèi)時(shí),事件B發(fā)生,于是事件B發(fā)生的概率P(B)=0.01.圖3(3)硬幣落地后會(huì)出現(xiàn)四種結(jié)果(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)是等可能的,繩子從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn),也是等可能的,射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的,但是硬幣落地后只出現(xiàn)四種結(jié)果,是有限的,而剪斷繩子的點(diǎn)和射中靶面的點(diǎn)是無限的,即一個(gè)基本事件

8、是有限的,而另一個(gè)基本事件是無限的.(4)幾何概型. 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣,而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn),稱為幾何概型. 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型(geometric models of probability),簡稱幾何概型. 幾何概型的基本特點(diǎn)：a.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)；b.每個(gè)基本事件出現(xiàn)的

9、可能性相等.(5)幾何概型的概率公式：P(A)=.(6)古典概型和幾何概型的聯(lián)系是每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的;區(qū)別是古典概型的基本事件是有限的,而幾何概型的基本事件是無限的,另外兩種概型的概率計(jì)算公式的含義也不同.應(yīng)用示例思路1例1 判斷下列試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是古典概型,還是幾何概型.(1)拋擲兩顆骰子,求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率;(2)如圖4所示,有一個(gè)轉(zhuǎn)盤,甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝,求甲獲勝的概率.圖4活動(dòng)：學(xué)生緊緊抓住古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系,然后判斷.解：(1)拋擲兩顆骰子,出現(xiàn)的可能結(jié)果有66=36種,且它們都是等可能的,因此屬于古典

10、概型;(2)游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果,而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”,概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量,即與區(qū)域長度有關(guān),因此屬于幾何概型.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是幾何概型與古典概型的特點(diǎn),古典概型具有有限性和等可能性,而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無限多個(gè)結(jié)果,且與事件的區(qū)域長度有關(guān).例2 某人午休醒來,發(fā)覺表停了,他打開收音機(jī)想聽電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間短于10分鐘的概率.活動(dòng)：學(xué)生分析,教師引導(dǎo),假設(shè)他在060之間的任一時(shí)刻,打開收音機(jī)是等可能的,但060之間有無數(shù)個(gè)時(shí)刻,不能用古典概型的公式來計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率,因?yàn)樗?60之間的任一時(shí)刻打開收音機(jī)是等可能的,所

11、以他在哪個(gè)時(shí)間段打開收音機(jī)的概率只與該時(shí)間段的長度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件,所以可用幾何概型的概率計(jì)算公式計(jì)算.圖5解：記“等待的時(shí)間小于10分鐘”為事件A,打開收音機(jī)的時(shí)刻位于50,60時(shí)間段內(nèi)則事件A發(fā)生. 由幾何概型的求概率公式得P(A)=，即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過10分鐘”的概率為. 打開收音機(jī)的時(shí)刻X是隨機(jī)的,可以是060之間的任何時(shí)刻,且是等可能的.我們稱X服從0,60上的均勻分布,X稱為0,60上的均勻隨機(jī)數(shù).變式訓(xùn)練 某路公共汽車5分鐘一班準(zhǔn)時(shí)到達(dá)某車站,求任一人在該車站等車時(shí)間少于3分鐘的概率(假定車到來后每人都能上).解：可以認(rèn)為人在任一時(shí)刻到站是

12、等可能的.設(shè)上一班車離站時(shí)刻為a,則某人到站的一切可能時(shí)刻為=(a,a+5),記Ag=等車時(shí)間少于3分鐘,則他到站的時(shí)刻只能為g=(a+2,a+5)中的任一時(shí)刻,故P(Ag)=.點(diǎn)評(píng)：通過實(shí)例初步體會(huì)幾何概型的意義.思路2例1 某人欲從某車站乘車出差,已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班,求此人等車時(shí)間不多于20分鐘的概率.活動(dòng)：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個(gè)時(shí)刻,不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班,他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車是等可能的,所以他在哪個(gè)時(shí)間

13、段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件.解：設(shè)A=等待的時(shí)間不多于20分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時(shí)刻位于40,60這一時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得P(A)=.即此人等車時(shí)間不多于20分鐘的概率為.點(diǎn)評(píng)：在本例中,到站等車的時(shí)刻X是隨機(jī)的,可以是0到60之間的任何一刻,并且是等可能的,我們稱X服從0,60上的均勻分布,X為0,60上的均勻隨機(jī)數(shù).變式訓(xùn)練 在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲(chǔ)藏著石油,假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探,鉆到油層面的概率是多少？分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機(jī)的，而40平

14、方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積,由幾何概型公式可以求得概率.解：記“鉆到油層面”為事件A,則P(A)=0.004.答：鉆到油層面的概率是0.004.例2 小明家的晚報(bào)在下午5：306：30之間任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到,小明一家人在下午6：007：00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚餐,則晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是多少？活動(dòng)：學(xué)生讀題,設(shè)法利用幾何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐標(biāo)系,如圖5中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5圍成一個(gè)正方形區(qū)域G.設(shè)晚餐在x(6x7)時(shí)開始,晚報(bào)在y(5.5y6.5)時(shí)被送到,這個(gè)結(jié)果與平面上的點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng).于是試驗(yàn)的所有可能結(jié)果就與G中的所有點(diǎn)

15、一一對(duì)應(yīng).圖5 由題意知,每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,因此,試驗(yàn)屬于幾何概型.晚報(bào)在晚餐開始之前被送到,當(dāng)且僅當(dāng)yx,因此圖5中的陰影區(qū)域g就表示“晚報(bào)在晚餐開始之前被送到”.容易求得g的面積為,G的面積為1.由幾何概型的概率公式,“晚報(bào)在晚餐開始之前被送到”的概率為P(A)=.變式訓(xùn)練 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)取出10毫升,則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少？分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機(jī)的,取得的10毫升種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域,1升種子可視作試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,可用“體積比”公式計(jì)算其概率.解：取出10毫升種子,其中“含有病

16、種子”這一事件記為A,則P(A)=0.01.答：取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是0.01.知能訓(xùn)練1.已知地鐵列車每10 min一班,在車站停1 min,求乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率.答案：由幾何概型知,所求事件A的概率為P(A)=.2.兩根相距6 m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,求燈與兩端距離都大于2 m的概率.答案：記“燈與兩端距離都大于2 m”為事件A,則P(A)=.3.在500 mL的水中有一個(gè)草履蟲,現(xiàn)從中隨機(jī)取出2 mL水樣放到顯微鏡下觀察,則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是( )A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能確定答案：C提示：由于取水樣的隨機(jī)性,所求事件A：“

17、在取出2 mL的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比=0.004.4.平面上畫了一些彼此相距2a的平行線,把一枚半徑ra的硬幣任意擲在這個(gè)平面上,求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.圖6答案：把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A,為了確定硬幣的位置,由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM,垂足為M,如圖6所示,這樣線段OM長度(記作OM)的取值范圍就是0,a,只有當(dāng)rOMa時(shí)硬幣不與平行線相碰,所以所求事件A的概率就是P(A)=.拓展提升1.約會(huì)問題 兩人相約8點(diǎn)到9點(diǎn)在某地會(huì)面,先到者等候另一人20分鐘,過時(shí)就可離去,試求這兩人能會(huì)面的概率.解：因?yàn)閮扇苏l也沒有講好確

18、切的時(shí)間,故樣本點(diǎn)由兩個(gè)數(shù)(甲、乙兩人各自到達(dá)的時(shí)刻)組成.以8點(diǎn)鐘作為計(jì)算時(shí)間的起點(diǎn),設(shè)甲、乙各在第x分鐘和第y分鐘到達(dá),則樣本空間為：(x,y)|0x60,0y60,畫成圖為一正方形.以x,y分別表示兩人的到達(dá)時(shí)刻,則兩人能會(huì)面的充要條件為|x-y|20.圖7 這是一個(gè)幾何概型問題,可能的結(jié)果全體是邊長為60的正方形里的點(diǎn),能會(huì)面的點(diǎn)的區(qū)域用陰影標(biāo)出(如圖7). 所求概率為P=.2.蒲豐(Buffon)投針問題平面上畫很多平行線,間距為a.向此平面投擲長為l(la)的針,求此針與任一平行線相交的概率.解：以針的任一位置為樣本點(diǎn),它可以由兩個(gè)數(shù)決定：針的中點(diǎn)與最接近的平行線之間的距離x,針與平行線的交角(見圖8).樣本空間為：(,x)|0,0x為一矩形.針與平行線相交的充要條件是g：xsin(